《圆周角定理》练习题(A)

《圆周角定理》练习题

一.选择题（共16小题）

1.如图，A、B、C三点在。O上,若NBOC=76。，则/BAC的度数是（）

A.152°B.76°C.38°D.14°

2.如图，。。是AABC的外接圆,NACO=45。,则NB的度数为（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

第2题图

3.如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个.

A.1B.2C.3D.4

4.如图，在0O中，直径CD垂直于弦AB,若NC=25。，则NBOD的度数是（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

5.如图，已知在。O中，点A,B,C均在圆上，ZAOB=80°,则NACB等于（）A.130°

B.140°C.

第4题图第5题图第6题图

6.如图，MN是＜30的宜径,ZPBN=50°,则NMAP笔于（）

A.50。B.40°C.30°D.20°

7.如图，CD是。O的直径，A、B是。0上的两点，若NABD=20。，则NADC的度数为）

A.40°B.50°C.60°D.70°

8.如图,AB是半圆的直径,点D是AC的中点，ZABC=50°,则NDAB等于（）

C.65°D.70°

R

第7题图第8题图第9题图

9.如图，AB是。O的直径，C,D为圆上两点,ZAOC=130",则ND等于（）

A.25°B.30°C.35°D.50°

10.如图，Nl、N2、N3、N4的大小关系是（）

A.Z4<Z1<Z2<Z3B.Z4<Z1=Z3<Z2

C.Z4<Z1<Z3Z2D.Z4<Z1<Z3=Z2

11.如图，AB是半圆O的直径，ZBAC=60°,D是半圆上任意一点，那么ND的度数是（）

12.如图，在00中，OAJ_BC,ZAOC=50°,则NADB的度数为（）

A.15。B.20。C.25°D.50°

13.在OO中，点A、B在（DO上，且/AOB=84。，则弦AB所对的圆周角是（）

A.42°B.84°C.42°或138°D.84°或96°

14.如图所示，在。。中，AB是。O的直径，NACB的角平分线CD交。O于D,则NABD

的度数等于（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

15.已知如图，AB是。O的直径，CD是。O的弦，ZCDB=40°,则NCBA的度数为（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

16.如图，AB是圆的直径，AB±CD,ZBAD=30°,则NAEC的度数等于（）

A.30°B.50°C.60°D.70°

二.填空题（共8小题）

17.如图，。0的直径CD经过弦EF的中点G,ZDCF=20°,则NEOD等于

3

第17题图第18题图第19题图

18.如图，点A、B在。0上，ZAOB=l（Xr,点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一

点，则NC=。.

19.在00中，弦AB=2cm,ZACB=30°,则。O的直径为cm.

20.如图，0O中弦AB等于半径R,则这条弦所对的圆心角是，圆周角是.

第22题图

21.如图，等腰AABC的底边BC的长为4cm,以腰AB为直径的。0交BC于点D,交

AC于点E,则DE的长为cm.

22.如图，在"世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同

样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点.有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二

种是甲将球传给乙，由乙射门.第三种是甲将球传给丙，由丙射门.仅从射门角度考虑,

应选择一种射门方式.

三.解答题（共16小题）

25.28.如图，AB是。0的直径，C是。O上的点，AC=6cm,BC=8cm,NACB的平分

线交。0于点D,求AB^BD的长.

26.如图，已知CD是。0的直径，弦AB_LCD,垂足为点M,点P是标上一点，且N

BPC=60°.试判断AABC的形状，并说明你的理由.

3

30.如图，AB是。O的直径，过圆上一点C作CDJ_AB于点D,点C是弧AF的中点，连

接AF交CD于点E,连接BC交AF于点G.

(1)求证：AE=CE；.

31.如图，Z^ABC中，AB>AC,NBAC的平分线交外接圆于D,DE_LAB于E,DM1AC

于M.

(1)求证：BE=CM.

(2)求证：AB-AC=2BE.

32.如图，OA是。0的半径，以OA为直径的0C与。0的弦AB相交于点D.求证:AD=BD.

B

D

33.如图，已知：AB是C»O的弦，D为。O上一点DC_LAB于C,DM平分NCDO.求

证：M是弧AB的中点.

34.如图，Z\ABC的三个顶点都在。O上，CD是高,

ZBCE.

35.已知：如图，AE是0O的直径，AF_LBC于D,证明：BE=CF.

A

B

D

36.已知AB为。O的直径，弦BE=DE,AD,BE的延长线交于点C,求证：AC=AB.

37.如图，AB是圆O的直径，OC_LAB,交。O于点C,D是弧AC上一点，E是AB上

一点，EC1CD,交BD于点F.问：AD与BF相等吗？为什么？

38.如图，AB是€)0的直径，AC、DE是。O的两条弦，且DE_LAB,延长AC、DE相交

于点F,求证：ZFCD=ZACE.

39.如图，已知。。是△ABC的外接圆，AD是。。的直径，作CEJ_AD,垂足为E,CE

的延长线与AB交于F.试分析NACF与NABC是否相等，并说明理由.

40.如图，ZXABC内接于30,AD为aABC的外角平分线，交。O于点D,连接BD,CD,

判断aDBC的形状，并说明理由.

41.如图，AB是（DO的直径，弦CD_LAB,垂足为点E,G是菽上的任意一点，AG、DC

的延长线相交于点F,NFGC与NAGD的大小有什么关系？为什么？

42.如图，AB是圆O的直径，C是圆0上一点，D是弧AC中点，DEJ_AB垂足为E，AC

分别与DE、DB相交于点F、G,则AF与FG是否相等？为什么？

43.如图，0A是。0的巨径，以0A为直径的0C与00的弦AB交于点D,求证：D是

AB的中点.

44.如图，在AABC中，NACB=9()。，D是AB的中点，以DC为直径的。O交AABC的

边于G,F,E点.

求证：(1)F是BC的中点;

(2)ZA=ZGEF.

45.如图，圆内接四边形ABCD的外角NDCH=NDCA,DP_LAC垂足为P,垂足

为H,求证：CH=CP,AP=BH.

《圆周角定理》2222222222

参考答案与试题解析

一.选择题（共16小题）

1.（2012•呼伦贝尔）如图，A、B、C三点在OO上，若NBOC=76。，则NBAC的度数是（）

【解答】解：•・•菽所对的圆心角是NBOC,圆周角是NBAC,

又•・・/BOC=76°,

工NA=76°X_L=38°.

2

故选C.

2.（2015•眉山）如图，。。是AABC的外接圆，NACO=45°,则NB的度数为（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【解答】解：VOA=OC,ZACO=45°,

AZOAC=45°,

:.ZAOC=180°-45°-45°=90°,

3.（2010秋•海淀区校级期末）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：N1和N3符合圆周角的定义，

N2顶点不在圆周上，

Z4的一边不和圆相交，

故图中圆周角有N1和N3两个.

故选B.

4.（2015•珠海）如图，在。O中，直径CD垂直于弦AB,若NC=25。，则NBOD的度数是

（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

【解答】解：•・•在。O中，直径CD垂直于弦AB,

，盛奇,

/.ZDOB=2ZC=50°.

故选：D.

5.（1997•陕西）如图，已知在。O中，点A,B,C均在圆上，ZAOB=80°,则NACB等

A.130°B.140°C.145°D.150°

【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA,EB

•/ZAOB=80°

NE」NAOB=40°

2

/.ZACB=180°-ZE=140°.

故选：B.

6.如图，MN是。O的直径，ZPBN=50°,则NMAP等于（）

A.50°B.40°C.30°D.20°

【解答】解：连接OP,

可得NMAP=L/MOP,ZNBP=-1ZNOP,

22

*/MN为直径，

/.ZMOPiZNBP=180°,

•••NMAP+NNBP=90°,

,?NPBN=5()。，

・•・ZMAP=90°-ZPBN=40°.

故选B.

7.（2007•太原）如图，CD是。O的直径，A、B是。O上的两点，若NABD=20。，则NADC

的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【解答】解：VZABD=20°

/.ZC=ZABD=20°

VCD是。O的直径

JZCAD=90°

AZADC=90°-20°=70°.

故选D.

8.（2013•苏州）如图,AB是半圆的直径,点D是菽的中点，ZABC=50°,则NDAB等于

【解答】解：连结BD,如图，

丁点D是菽的中点，即弧CD二弧AD,

.\ZABD=ZCBD,

而NABC=50。，

.\ZABD=-1X5O°=25°,

2

VAB是半圆的直径，

.,.ZADB=90°,

，ZDAB=90°-25°=65°.

9.（2009•枣庄）如图，AB是00的直径，C,D为圆上两点，ZAOC=130°,则ND等于

A.25。B.30。C.35°D.50。

【解答】解：•；NAOC=130°,

/.ZBOC=50°,

・・・ND:工NBOC=25°.故选A.

2

10.（2013秋•沙洋县校级月考）如图，Nl、N2、/3、N4的大小关系是（）

A.Z4<ZI<Z2<Z3B.Z4<ZI=Z3<Z2C.Z4<Z1<Z3Z2D.Z4<Z1

<Z3=Z2

【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：Z1=Z3=Z5=Z6,

根据三角形的外角的性质得：Z5>Z4,Z2>Z6,

:.Z4<Z1=Z3<Z2,

故选B.

11.（2012秋•天津期末）如图，AB是半圆O的直径，ZBAC=60°,D是半圆上任意一点,

那么ND的度数是（）

A.30。B.45°C.60°D.90°

【解答】解:连接BC,

〈AB是半圆的直径

ZACB=90°

VZBAC=60°,

・••ZABC=90°-ZBAC=3D°,

.*.ZD=ZABC=30°.

故选A.

12.（2009•塘沽区二模）如图，在。O中，OAJ_BC,ZAOC=50°,则/ADB的度数为（）

D

B

A.15°B.20°C,25°D.50°

【解答】解:VOAXBC,ZAOC=50%

工AB二AC，

.,.ZADB=-1ZAOC=250.

2

故选C.

13.（2012秋•宜兴市校级期中）在。。中，点A、B在00上，且/AOB=84。，则弦AB所

对的圆周角是（）

A.42°B.84°C.42°或138°D.84°或96°

【解答】解：如图，VZAOD=84%

NACB=L/AOB=LX840=42°,

22

/.ZADB=1800-ZACB=138°.

，弦AB所对的圆周角是:42。或138°.

故选C.

14.（2011•南岸区一模）如图所示，在。O中，AB是00的直径，NACB的角平分线CD

交。O于D,则NABD的度数等于（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【解答】解：连接AD,

;在。O中，AB是。O的直径，

.*.ZADB=90°,

〈CD是NACB的角平分线，

，AD二BD,

•••△ABD是等腰直角三角形,

ZABD=45°.

故选C.

15.（2015秋•合肥校级期末）已知如图，AB是。0的直径，CD是的弦，ZCDBM00,

则NCBA的度数为（）

VAB是。O的直径，

/.ZACB=90°,

VZA=ZCDB=40%

/.ZCBA=900-ZA=50°.

故选B.

16.（2013•万州区校级模拟）如图,AB是圆的直径,AB±CD,ZBAD=30°,则NAEC的

度数等于（

D

B

A.30°B.50°C.60°D.70°

【解答】解：・・・NBAD=30。

/.BD=60°,

•二AB是圆的直径，AB_LCD,

BC=B^60°,

AAC=180°-60。=120。，

ii

:.ZAEC=—AC=—XI20°=60°.

22

故选C.

二.填空题（共8小题）

17.（2016•大冶市模拟）如图,00的直径CD经过弦EF的中点G,NDCF=20。，则NEOD

等于40。.

【解答】解：・・・。0的直径CD过弦EF的中点G,ZDCF=20°,

，弧DF二弧DE,且弧的度数是40。，

/.ZDOE=40\

答案为40。.

18.（2015•历城区二模）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，ZABC=504,则

ZDAB的度数是一65°.

【解答】解：连结BD,如图，

,:点、D是菽的中点,即弧CD二弧AD,

/.ZABD=ZCBD,

而NABC=50。，

.,•NABD,X5（T=25。，

2

VAB是半圆的直径，

AZADB=90°,

・・・NDAB=90°-25°=65°.

19.（2013秋•滨湖区校级期末）如图，点A、B在OO上，NAOB=10（）。，点C是劣弧AB

上不与A、B重合的任意一点，则NO130

【解答】解：在优弧AB上取点D,连结AD、BD,如图,

・•・ZD=-1ZAOB=-Ix100°=50°,

22

VZD+ZC=180°,

・・・/C=180°・50°=130°.

故答案为130.

20.（2008秋•苏州校级期中）球员甲带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点.有两种

射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑,

应选择第二种种射门方式较为合理.

【解答】解:连接OC.

根据圆周角定理，得NPCQ=NB,

根据三角形的外角的性质，得NPCQ>NA,

则NB>NA.

故答案为第二种.

p.

8、'

21.（2015•黄岛区校级模拟）在。O中，弦AB=2cm,ZACB=30°,则。O的直径为4cm.

【解答】解：连接OA,OB,

VZACB=30%

AZAOB=60°,

/.AAOB是等边三角形，

OA=OB=AB=2cm,

AOO的直径=4cm.

22.（2014春•海盐县校级期末）如图，OO中弦AB等于半径R,则这条弦所对的圆心角是

【解答】解：连结OA、OB,NAPB和NAPB为弦AB所对的圆周角，如图,

•・•弦AB等于半径R,

/.△OAB为等边三角形，

/.ZAOB=60°,

.*.ZAPB=iZAOB=30°,

2

•••NAP'B=1800-ZAPB=150°,

即这条弦所对的圆心角是60。，圆周角是30。或150°.

故答案为60。：是30。或150。.

23.（2012•义乌市模拟）如图，等腰AABC的底边BC的长为4cm,以腰AB为直径的。。

交BC于点D,交AC于点E,则DE的长为2cm.

解：连接AD,

VZDEC为圆内接四边形ABDE的外角，

AZDEC=ZB,

又等腰△ABC,BC为底边，

AAB=AC,

AZB=ZC,

AZDEC=ZC,

，DE=DC,

,・，AB为圆O的直径,

AZADB=90°,即AD_LBC,

・・・BD:CD」BC,又BC=4cm,

2

/.DE=2cm.

故答案为：2

24.（2012秋•哈密地区校级月考）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进

攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点.有三种射门方式：

第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.第三种是甲将球传给丙，由丙射

门.仅从射门角度考虑，应选择—第二种射门方式.

【解答】解：设AP与圆的交点是C,连接CQ：

则NPCQ>NA；

由圆周角定理知：ZPCQ=ZB；

所以NB>NA；

因此选择第二种射门方式更好.

故答案为：第二.

三.解答题（共16小题）

25.（2009•沈阳模拟）如图，AABC的高AD、BE相交于点H,延长AD交ABC的外接圆

于点G,连接BG.

求证：HD=GD.

【解答】证明：VZC=ZG,4ABC的高AD、BE,

.\ZC+ZDAC=90°,ZAHE+ZDAC=90°,

AZC=ZAHE,

VZAHE=ZBHG=ZC,

.,.ZG=ZBHG,

ABH=BG,

又TADJLBC,

/.HD=DG.

26.（2013秋•虞城县校级期末）如图，已知CD是。O的直径，弦AB_LCD,垂足为点M,

点P是踊上一点，且NBPC=60。.试判断aABC的形状，并说明你的理由.

【解答】解：AABC为等边三角形.理由如下：

VABXCD,CD为。0的直径,

引RAC=^BC,

AAC=BC,

又・・・NBPC=NA=60°,

•••△ABC为等边三角形.

27.（2013秋•耒阳市校级期末）已知：如图，AB为。0的直径，AB=AC,BC交。O于点

D,AC交。O于点E.ZBAC=40°

（1）求NEBC的度数；

AZABC=ZC,

ZBAC=40°,

AZC=-t(18()。-40。)=7()。,

2

〈AB为。O的直径，

AZAEB=90°,

・•・ZEBC=90°-ZC=20°；

证明：连结AD,如图，

〈AB为。O的直径,

/.ZADB=90°,

AADIBC,

而AB=AC,

28.（2014秋•高密市期中）如图，AB是。。的直径，C是。O上的点，AC=6cm,BC=8cm,

NACB的平分线交。O于点D,求AB和BD的长.

c

D

【解答】解：如图，TAB是。0的直径,

ZACB=90°,ZADB=90°.

(cm).

AC=6cm,BC=8cm,

•CD是NACB的平分线.

.ZACD=ZBCD,则AI>BD，

2

综上所述，AB和BD的长分别是10cm,5&cm.

29.（2013秋•宜兴市校级期中）如图，AABC是。O的内接一：角形，NA=30。，BC=3cm.求

OO的半径.

【解答】解：作直径CD,连结BD,如图,

〈CD为直径，

ZCBD=90°,

VZD=ZA=30°,

ACD=2BC=2X3=6,

的半径为3cm.

30.（2010秋•瑞安市校级月考）如图，AB是。O的直径，过圆上一点C作CDJ_AB于点

D,点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E,连接BC交AF于点G.

(1)求证：AE=CE；

(2)已知AG=10,ED：AD=3：4,求AC的长.

【解答】(1)证明：•・•点C是弧AF的中点,

/.ZB=ZCAE,

〈AB是。0的直径，

/.ZACB=90°,

BPZACE+ZBCD=90°,

VCD±AB,

AZB+ZBCD=90o,

.*.ZB=ZCAE=ZACE,

AAE=CE...(6分)

⑵解:VZACB=90°,

・・・NCAE+/CGA=90。，

又•.•/ACE+NBCD=90°,

AZCGA=ZBCD,

VAG=1(),

.\CE=EG=AE=5,

VED：AD=3：4,

ADM,DE=3»

=2222

'ACVAD+CD=74+8=4V5-(10分).

31.(2015秋•扬中市期中)如图，AABC中，AB>AC,NBAC的平分线交外接圆于D,

DE_LAB于E,DM_LAC于M.

(1)求证：BE二CM.

(2)求证：AB-AC=2BE.

A

b

B

D

【解答】证明：(l)连接BD,DC,

,・，AD平分NBAC,

...ZBAD=ZCAD,

・•・弧BD二弧CD,

.\BD=CD,

VZBAD=ZCAD,DE±AB,DM±AC,

VZM=ZDEB=90°,DE=DM,

在RtADEB和Rt^DMC中，

：BD二DC,

'DERM'

ARtADEB^RtADMC(HL),

/.BE=CM.

(2)VDEIAB,DM1AC,

VZM=ZDEA=90°,

在RtADEA和RtADMA中

；AD二AD

,DE二DM

ARtADEA^RtADMA(HL),

/.AE=AM,

AAB-AC,

=AE+BE-AC,

=AM+BE-AC,

二AC+CM+BE-AC,

=BE+CM,

=2BE.

32.（2013•宁夏模拟）如图，OA是。。的半径，以OA为直径的。C与。0的弦AB相交于

点D.求证：AD=BD.

【解答】证明：连结0D,如图,

•••OA为。C的直径，

，ZADO=90",

AOD±AB,

AAD=BD.

33.（2011秋•宁波期中）如图，已知：AB是。O的弦，D为。O上一•点，DC_LAB于C,

DM平分NCDO.求证：M是弧AB的中点.

【解答】解：连接OM

VODOM,

/.ZODM=ZOMD,

VDM平分NODC,

/.ZODM=ZCDM,

.•.ZCDM=ZOMD,

・・・CD〃OM,

VCD1AB,

AOM1AB,

工弧AM二引IBM,

即点M为劣弧AB的中点.

D

\cH\i/

34.（2009秋•哈尔滨校级期中）如图,△ABC的三个顶点都在OO上，CD是高，D是垂

口足，CE是直径，求证：ZACD=ZBCE.

【解答】解：连接AE,

VCE为直径，

/.NEAC=90°,

ZACE=90°-ZAEC,

,「CD是高，D是垂足，

/.ZBCD=90°-ZB,

VZB=ZAEC（同弧所对的圆周角相等），

AZACE=ZBCD,

二/.ZACE+ZECD=ZBCD+ZECD,

/.ZACD=ZBCE.

35.已知：如图，AE是0O的直径，AF_LBC于D,证明：BE=CF.

【解答】证明：TAE是。0的直径，

AZABE=90%

/.ZE+ZBAE=90°,

•・・AF_LBC于D,

.\ZFAC+ZACB=90o,

VZE=ZACB,

AZBAE=ZFAC,

・•・弧BE二弧CF,

ABE=CF.

36.（2015秋•哈尔滨校级期中）己知AB为。。的直径，弦BE=DE,AD,BE的延长线交

于点C,求证：AC=AB.

.\ZAEB=90%

.*.ZAEB=ZAEC=90°,

;弦BE=DE,

ADE=BE,

AZDAE=ZBAE,

,/ZC=900-ZDAE,ZB=900-ZBAE,

/.ZB=ZC,

AC=AB.

37.如图，AB是圆O的直径，OC_LAB,交。O于点C,D是弧AC上一点，E是AB上

一点，EC1CD,交BD于点F.问：AD与BF相等吗？为什么？

【解答】解：AD和BF相等.理由：如图,

VOC1AB,

・•・ZDOC=90°

AZBDC=ZBAC=45°

VEC±CD,

/.ZDCE=ZACB=90%

•••△DCF和4ACB都是等腰直角三角形,

/.DC=FC,AC=BC,

NDCA+NACF=NBCF+NACF=9()°,

AZDCA=ZFCB

在4ACD和ABCF中，

AC=BC

｛，ZACD=ZFCB-,-△ACD^ABCF

CD=CF

ADA=BF.

38.如图，AB是。O的直径，AC、DE是。O的两条弦，且DE_1_AB,延长AC、DE相交

于点F,求证：ZFCD=ZACE.

【解答】证明：连接AD,AE,

：AB是直径.ABIDE,

・・・AB平分DE,弧ACE二弧AD,

，NACD=NADE,

,:A、C、E、D四点共圆,

AZFCE=ZADE,

.\ZFCE=ZACD,

,NFCE+NDCE=NDAC+/ECD,

AZFCD=ZACE.

F

39.如图，已知。O是△ABC的外接圆，AD是。O的直径，作CE_LAD,垂足为E,CE

的延长线与AB交于F.试分析NACF与NABC是否相等，并说明理由.

【解答】解：-------/

延长CE交（DO于M,

：AD是。O的直径，作CE_LAD,

・••弧AC=MAM,

.\ZACF=ZABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）.

40.如图，Z\ABC内接于30,AD为AABC的外角平分线，交。O于点D,连接BD,CD,

判断aDBC的形状，并说明理由.

E

D

【解答】解：ADBC为等腰三角形.理由如下:

VAD为4ABC的外角平分线，

，NEAD=NDAC,

VZEAD=ZDCB,ZDBC=ZDAC,

.\ZDBC=ZDCB,

•••△DBC为等腰三角形.

一.解答题（共6小题）

1.如图，AB是。0的直径，弦CD_LAB,垂足为点E,G是菽上的任意一点，AG、DC

的延长线相交于点F,NFGC与/AGD的大小有什么关系？为什么？

【解答】解：/FGC与/AGD相等.理由如下:

连接AD,如图，

VCD1AB,

,AD=AC，

，NAGD=NADC,

VZFGC=ZADC,

，ZFGC=ZAGD

2.如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DEJLAB垂足为E,AC

分别与DE、DB相交于点F