数学 第四册（五年制高职） 教案 3.2-18.2.1双曲线的定义及其标准方程

五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第四册）》教案课题18.2.1双曲线的定义及其标准方授课时间学习目标1.知道双曲线的概念及形成过程，知道如何化简形成双曲线的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；2.能根据条件求出双曲线的标准方程；3.逐步提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养教学重点根据条件求双曲线的标准方程教学难点双曲线标准方程的推导与化简教学准备PPT教学过程教学内容一、问题探究二、抽象概括（一）双曲线的概念（二）双曲线的标准方程：教师活动取一条两边长度不等的拉链（如图18-11），将拉链的两边分别固定在两个定点F1，F2上（拉链两边的长度之差小于F1把铅笔尖固定在拉链锁口M处，随着拉链逐渐打开，笔尖就画出一条曲线；再将拉链的两边交换位置，用同样的方法可以画出另一条曲线．笔尖到两固定点的距离之差有什么特点？图18-11容易发现，在移动笔尖的过程中，即使拉链两端交换了位置，始终保持了笔尖到拉链两端的长度差不变，即笔尖到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（即拉链长的一边多出的部分）.二、抽象概括（一）双曲线的概念1双曲线的定义：一般地，平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数（小于|F1F2|）的点的轨迹称为双曲线，这两个定点F2辨析：双曲线定义中的常数为什么要小于|F绝对值又起到了什么作用？（二）双曲线的标准方程：如图18-12，以经过双曲线两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2学生活动讨论并总结，抽象出双曲线定义体会双曲线定义中常数小于|F教学过程教学内容教师活动学生活动三、例题讲析图18-12设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距F1F2=2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(-c,0)，(c,0)，设M图18-12则，即．于是有.将上式化简（类似于求椭圆的方程），得．由双曲线的定义知，，即，因此．令，则上式变为，两边同时除以，得1.双曲线的标准方程方程称为焦点在轴上的双曲线的标准方程，其中焦点坐标为，且.三、例题讲析例1已知双曲线的焦点分别为，，且双曲线上任一点到它们的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.带领学生经历建系，设点，列式，化简等过程，得到焦点在x轴的双曲线的标准方程。辨析双曲线与椭圆a,b,c的大小关系的不同教学过程教学内容教师活动学生活动四、思维拓展五、课内练习六、问题探究例2求下列双曲线的焦点坐标与焦距.；（2）.四、思维拓展平面内到两个定点，的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是双曲线吗？五、课内练习1.已知两点，，求到它们的距离之差的绝对值等于2的动点的轨迹方程.2.求下列双曲线的焦点坐标与焦距.（1）；（2）.六、问题探究图18-13图18-13如图18-13，以经过双曲线两焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则双曲线的标准方程是什么？设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距，则焦点，的坐标分别为，.设与两个焦点距离之差的绝对值为，由，令，可推导出双曲线的方程为.练习讨论、交流、记忆让学生独立完成焦点在y轴的双曲线的标准方程。七、合作交流八、例题讲析九、思维拓展十、课内练习十一、课堂小结2.双曲线的标准方程方程是焦点在轴上的双曲线的标准方程，其中的关系仍为.七、合作交流焦点在轴上与轴上两种形式双曲线的标准方程有何异同？八、例题讲析例3已知双曲线的焦点在轴上，焦距为10，且双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值为6，求双曲线的标准方程.例4根据下列双曲线的方程求出其焦点坐标和焦距.；（2）.例5已知表示焦点在x轴上的双曲线，求的取值范围.九、思维拓展已知表示双曲线，求的取值范围.十、课内练习1.已知双曲线的焦点在轴上，焦距为6，双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值为2，求双曲线的标准方程.2.根据下列双曲线的方程求出其焦点坐标和焦距.（1）；（2）.3.已知表示焦点在y轴上的双曲线，求的取