数学 第四册（五年制高职） 教案 2.3-17.3.4 直线与平面所成的角

五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学（第三册）》教案课题17.3.4直线与平面所成的角授课时间学习目标通过观察、实践研究、思考交流，归纳出直线与平面所成的角的求解方法。通过整体观察、直观感知、思辨论证、度量计算，完善思维结构、发展空间想象能力。通过本节课的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学精神等核心素养。教学重点直线与平面所成的角的求解方法教学难点直线与平面所成的角的理解教学准备PPT教学过程教学内容教师活动学生活动一、问题探究二、抽象概括三、例题讲析四、合作交流五、思维拓展六、课内练习九、课堂小结我国是一个有着悠久造桥历史的国家，也是一个拥有世界顶级造桥技术的国家.现在外出旅游到处可见各式各样美轮美奂的斜拉桥，每座斜拉桥都有很多根斜拉索，这些斜拉索相对于桥面的倾斜程度明显不同，那么，如何表示这些不同的倾斜程度呢？直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形，如果一条直线与一个平面相交且不垂直，那么就称这条直线为这个平面的斜线.一、问题探究如图17-42，在长方体中，直线BA1，BD1是平面ABCD的两条斜线，如何表示它们相对于图17-42通过变换角度观察图形可以发现，斜线BA1在平面ABCD内的正投影为直线BA,用BA1和BA的夹角来表示斜线BA1相对于平面ABCD的倾斜程度是合理的（这个角是斜线BA1与平面ABCD内所有过点B的直线的夹角中最小的角）.同样的，斜线BD1在平面ABCD内的正投影为直线BD,用BD图17-43斜线与平面的交点称为斜足.过斜线上一点（除斜足外）向平面引垂线，过垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面内的射影（正投影）.如图17-44，直线为平面的斜线，点为斜足，直线为平面的垂线，点为垂足，直线就是斜线在平面内的射影.线段的长称为点P到平面α的距离.图17-44二、抽象概括一般地，平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与这个平面所成的角.特别地，若一条直线与一个平面垂直，则称它们所成的角是直角；若一条直线与一个平面平行或在这个平面内，则称它们所成的角是.因此，直线与平面所成的角的取值范围是0°≤θ≤容易证明，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的任意一点到这个平面的距离为定值，这个定值称为这条直线到这个平面的距离.如图17-43，长方体中，棱AA1(或BB1)的长即为直线三、例题讲析例5如图17-45,在棱长为1的正方体中，求：（1）直线与底面所成角的大小；（2）直线到平面ADD1图17-45四、合作交流从平面外一点向平面引若干斜线段（指以该点和斜足为短线的线段），如果斜线段的长相等，那么它们在平面内的射影长相等吗？五、思维拓展虎丘塔，又称云岩寺塔，是驰名中外的宋代古塔，建于公元959—961年，比意大利著名的比萨斜塔早建200多年，被尊称为“中国第一斜塔”.该塔为仿楼阁式砖木结构，共七层，高47.5m.从明代起，虎丘塔开始向西北倾斜，现塔顶中心偏离底层中心2.34m，求该塔与地面所成角的大小（精确到0.1°）.六、课内练习1.如果两条直线与同一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？2.已知斜线段的长是它在平面上射影长的倍，求斜线段所在直线与该平面所成的角.3.如图，长方体中，BC＝2，CC1（1）直线与平面所成角的大小；（2）直线到平面CDD1C(第3题)九、课堂小结1.空间中直线与平面的位置关系2.直线与平面垂直的判定与性质认真思考，尝试回答从具体到抽象，从特殊到一般尝试用自己的语言进行