冶金传输原理（第2版）传输原理 6 边界层理论

第六章边界层理论

6.1边界层理论的基本概念6.2边界层微分方程6.3冯·卡门动量积分方程6.1边界层的基本概念边界层理论建立的意义雷诺数很大时，纳维-斯托克斯方程中的黏性项与惯性项相比是很小的，黏性项的作用可以忽略不汁，因此纳维-斯托克斯方程就简化为理想流体的欧拉方程。在这样的情况下，流体运动的阻力等于零，而这显然违背事实。历史上，这个矛盾被称为达朗贝尔之迷，并一度使人们对理想流体模型莫衷一是。直到20世纪初，普朗特提出附面层理论之后，才解决了这个矛盾。6.1边界层理论的基本概念一、边界层理论普朗特认为：当雷诺数很高时，流体摩擦的影响将局限于靠近物体表面的薄层(即边界层)内，同时，边界层内的压力与边界层外理想流动的压力是一样的。边界层理论的意义在于，当采用分析方法处理黏性流动时，可使问题得到简化。下图中的整个流场可划分为边界层，尾迹流和势流三个区域。III区是有流体向右流动的，图中画成空白是为了与另外两个区域区分。

IIIIIIυυ6.1边界层理论的基本概念二、边界层的厚度一般规定，边界层厚度δ是主体流动速度99%处到平板表面的距离。下图给出流体流过一固定平板的边界层厚度δ的变化情况，板的长度记为L。在平板的前缘o处(称为驻点)，边界层厚度为零，在流体流动的方向上，边界层厚度逐渐增加。6.1边界层理论的基本概念这表明边界层的相对厚度δ/L与ReL的平方根成反比。由于ReL>>1，所以边界层的厚度很薄，通常是毫米量级。在边界层内，惯性力与黏性力之比属同量级，即：于是在图中，距平板前缘x处，边界层厚度δ(x)应为：或式中三、边界层的状态和特点边界层内的流动同样有层流或湍流。在边界层的前部，由于δ较小，速度梯度dυx/dx很大，黏性切应力作用很大，流动属于层流，称为层流边界层。当Rex达到一定数值时，经过一个过渡区后，层流转变为湍流，形成所谓湍流边界层。从层流边界层转变为湍流边界层的点xtr称为转捩(lie)点。影响边界层转捩点的因素很复杂，其中重要因素有边界层外流体的压力分布、壁面性质、来流的湍流强弱及其各种扰动等。确定转捩点的临界雷诺数主要依靠实验。6.1边界层理论的基本概念对于流过平板的流动，实验数据表明：Rex<2×105，边界层为层流；2×105<Rex<3×106，边界层可能是层流，也可能是湍流；Rex>3×106，边界层为湍流。流过平板的边界层有下面特点：与绕流物体长度比较，边界层的厚度很小。厚度δ从前驻点起沿流动方向逐渐增厚，δ随Re数增加而减小。边界层内沿厚度方向有急剧的速度变化(速度梯度大)，边界层外为势流区。边界层内黏性力和惯性力具有相同的数量级。边界层可以全部是层流，或全部是湍流(有层流底层)，或一部分是层流，另一部分是湍流。6.1边界层理论的基本概念一、微分方程的简化由于雷诺数很大时边界层相当薄，因此纳维-斯托克斯方程得到若干重要的简化。对于流经平板的不可压缩、稳定的二维流动，连续性方程为：6.2边界层微分方程又因为质量力可以忽略，因此纳维-斯托克斯方程如下：6.2边界层微分方程选定了特征参数之后，可引入无因次量如下：将这些无因次量代入上述公式中，并利用整理后可得：6.2边界层微分方程带“*”的量及其导数皆有1的量级，因此上式各项的量级完全取决于各项无因次系数的量级。因为所讨论的是雷诺数ReL>>1(或δ/L<<1)的问题，所以l/ReL<<1，l/ReL2<<1，于是方程式中带有系数l/ReL和l/ReL2的项可以忽略。将无因次方程还原为有因次形式的方程组为：这就是沿平壁面的不可压缩流体层流边界层内的微分方程组，通常称为普朗特边界层微分方程。它与一般黏性流体力学方程组相比已大为简化，未知量由原来的υx、υy、P三个减少为υx、υy两个。6.2边界层微分方程二、平板层流边界层的布拉修斯(Blasius)解平板层流边界层内的定常流动是一种非常重要的情况。根据伯努利方程，对于平行于平板表面的流动，υ∞(x)＝υ∞，dP/dx=0。于是，待解的方程为：边界条件：y=0时，υx=υy=0；y=∞时，υx=υ∞布拉修斯首次引入流函数Ψ，以求解上式。Ψ能自动满足二维连续性方程公式。通过把独立变量x、y转变成η,以及把非独立变量从Ψ(x，y)转变为f(η)的法，可以将微偏微分方程组简化为一个常微分方程。Ψ(x，y)和f(η)表达式如下：6.2边界层微分方程联立上述方程可得：简化后可得到下面的方程：定解条件为：η=0时，f=f′=0(初始条件)；η=∞时，f′=2(边界条件)。6.2边界层微分方程上式虽然是常微分方程，但不是线性的。该方程首先由布拉修斯解出。他用级数展开式来表达在坐标原点的f(η)函数，并使用一个渐近解来满足在η=∞处的边界条件。右图给出了由布拉修斯解得到的曲线与试验点。其后，霍华斯(Howarth)做了基本上相同的工作，但是却得出了更为精确的结果。下表列出了霍华斯的主要数值结果。其中

由图可见，理论曲线与试验点是非常的吻合。6.2边界层微分方程平行于平板层流的f、f′、f′′和υx/υ∞的值6.2边界层微分方程三、布拉修斯解的作用求得边界层厚度δ：当η＝2.5时，有υx/υ∞＝0.99，令此点处的y=δ，可得：求出平板表面上的速度梯度：6.2边界层微分方程表面上的剪应力：表面摩擦系数：又因为质量力可以忽略，因此纳维-斯托克斯方程如下：平均摩擦系数CfL同局部摩擦系数Cfx的关系为：6.2边界层微分方程对于块宽为W、长为L的平板，由布拉修斯解得到的平均摩擦系数为：边界层微分方程是边界层计算的基本方程式。但由于它的非线性，即使对于形状很简单的物体的绕流，求解也十分困难。对布拉修斯解题的方法和思想要理解和掌握。6.3冯·卡门动量积分方程冯·卡门动量积分方程式就是一种近似方法，它只要求边界层内每一点的物理量在积分意义上满足边界层方程。这种简便方法能快速给出实际绕流物体表面的摩擦力。它既适合于层流，又适合于湍流。一、冯·卡门积分方程的导出考虑右图所示的控制体，它在xy平面上的边界由图中ABCD构成，在垂直xy平面方向上具有单位厚度。这属于二维不可压缩的定常流动。

对边界层进行动量积分分析的控制体

对边界层进行动量积分分析的控制体6.3冯·卡门动量积分方程对上述控制体进行动量分析。在x方向上动量定律为：

控制体受力如下：作用在控制体诸面上的外力沿x方向的分量为：BC面上，粘性力可近似忽略不计，故只有法向作用力固体壁面AD作用在流体上摩擦切应力的合力为6.3冯·卡门动量积分方程单位时间内作用在控制体上所有外力沿x方向分力的冲量之和为将上式展开，略去高阶微量表面积分项表示控制体表面动量的输入和输出：6.3冯·卡门动量积分方程对于定常流动，动量积累项为：由质量守恒方程：由稳态流动可得：得到从控制体顶部流入的质量流量

：为从控制体BC面流入的质量流量6.3冯·卡门动量积分方程根据动量定理，于是有并考虑P和υx仅在x轴方向上有变化，可以得出不可压缩流体边界层动量积分关系式边界层概念假设了边界层外面为理想流动。对此，伯努利方程为：6.3冯·卡门动量积分方程冯·卡门积分方程既适合层流，又适合湍流。下面分析流过平板的层流情况，作为公式的应用实例。主体流动速度为常数，因此二、冯·卡门积分方程的应用简化为波尔豪森(Pohlhausen)假定速度分布曲线为三次函数，即：波尔豪森(Pohlhausen)假定速度分布曲线为三次函数：6.3冯·卡门动量积分方程应用上述边界条件可得：速度分布的表达式：6.3冯·卡门动量积分方程由于主流速度为常数，得到关于δ的简单常微分方程：局部摩擦系数

为：在x=0与x=L之间对上式中

包含的变量x进行积分，求出平均摩擦系数为动量积分方法对于不能得出精确解的情况，它能以足够好的精度求出边界层的厚度和表面摩擦系数。动量积分方法还可用于由速度分布求解剪应力。6.4小结普朗特提出的边界层概念，在传输原理(流体力学)的发展中具有里程碑的意义。由此发展起来的边界层理论，至今仍具有广泛的理论和实际意义。边界层特征为：

①边界层很薄②边界层内速度梯度很大，边界层内黏性不可忽略③边界层内压力沿壁面法向不变④边界层内流向速度分布具有渐进性本章较为详细地讨论了两种分析边界层的方法，所导出的许多结果对于对流换热和质量传递具有同意的重要性，边界层是整个传递过程中是最重要的一个环节