2025年中考数学总复习《二次函数中新定义型存在性问题》专项检测卷附答案

第第页2025年中考数学总复习《二次函数中新定义型存在性问题》专项检测卷附答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知y是以x为自变量的函数，当x=m时，函数值为M，若存在实数m，使得M=3m−3，则称点(m，M)是函数y的“奇妙点”，以下函数存在两个“奇妙点”的是（）A．y=−1x B．y=5x2−x 2．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数y=x2−x+c（c为常数）在−2<x<4A．−2<c<14 B．−4<c<94 C．二、填空题3．对于一个二次函数y=a(x−m)2+k（a≠0）中存在一点P(x',y三、解答题4．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“琦点”．例如，点(1,−1)是函数y=x−2的图象的“琦点”．（1）分别判断函数y=−x+4，y=x（2）若抛物线y=ax2+2ax+b(a>0)有两个“琦点”为点A(1,m),B(n,−n)（3）若函数y=−x2+6的图象记为W1，将其绕点(0,m)旋转180°后的图象记为5．定义：对于两个关于x的函数，如果存在x取某一值时，两个函数的函数值相等，那么称两个函数互为“明盟函数”，其中x的值叫做这两个函数的“明盟点”，相等的函数值叫做“明盟值”．例如：对于函数y1＝2x与y2＝﹣x+3，当x＝1时，y1＝y2＝2，因此，y1、y2互为“明盟函数”，x＝1是这两个函数的“明盟点”，“明盟值”为2．（1）下列函数中是y＝﹣2x的“明盟函数”的有（填序号）；①y＝x﹣2；②y=1x；③y＝x（2）已知函数y1＝m（x+2）﹣3与函数y2=x−3(x≥3)3−x(x＜3)，若y1与y2只存在一个“明盟点”，求（3）若无论n取何值，y=3x−n(n+1n+2w)(w为常数）与函数y＝x2﹣（2n﹣3）x+4n﹣1（n为常数，﹣1＜n6．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若关于x的函数y＝(m+1)x2+(m2-1)x是“T函数”，求m的值；（2）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝−4x(x<0)tx2(（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足x1+x2＝x1x2时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．7．我们不妨称Pm,m+2为“长梅点”，例如0.2（1）下列函数图象中存在“长梅点”的是________．①y=x−2；②y=3x；③（2）在反比例函数y=6x1≤x≤16的图象上存在三点At,6t、Bs,6s、C（3）设Q是二次函数y=x2图象上的“长梅点”，一次函数y=kx+b与二次函数y=x2相交于点M、N（不妨设M在8．新定义：对于抛物线y=ax2+bx+c，若b（1）求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标；（2）点B2,k①点Cc,−12②在射线AB上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与△AOD相似，求：P点坐标．9．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数y=1（1）分别判断函数y=x+2,y=x（2）设函数y=3x(x>0),y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为10．定义：如果两个函数y1，y2存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2互为“等值函数”，对应的x值为y1，y2的“等值根”．（1）函数y1＝12x+b与y2=（2）如图所示的是y＝﹣|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝﹣x2﹣2x的图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝12x+b与y2＝﹣|x2+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，求b11．规定：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点P（2，4）在函数y=x2上，点Q（−2，−4）在函数y=−2x−8上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y=x（1）函数y=−2x−1和函数y=4x是否互为“守望函数”？若是，求出它们的“守望点”，若不是，请说明理由；（2）已知函数y=x2+2x（3）已知二次函数y=ax2+bx+ca>0与y=2bx+1互为“守望函数”，有且仅有一对“守望点”，若二次函数的顶点为M，与x轴交于Ax1,0，Bx2,0，其中0<x12．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”.例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则点P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”.（1）求一次函数y＝﹣2x﹣3的“互反点”.（2）若二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a只有一个“互反点”，且与y轴交于正半轴，求当1≤x≤3时，y的取值范围.（3）若对于任意的实数n，在二次函数y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的图象上，恒有两个相异的“互反点”，求m的取值范围.13．新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，a+2），则称点P为函数图象上的“朴实点”．例如：直线y＝2x+1上存在的“朴实点”是P（1，3）．（1）判断直线y＝13（2）若抛物线y＝x2+3x+2-k上存在两个“朴实点”，两个“朴实点”之间的距离为22，求k的值；（3）若二次函数y＝18x2四、实践探究题14．新定义：若函数图象一定过点m,n，我们称m,n为该函数的“永固点”．如：一次函数y=k(x−2)(k≠0)，无论k值如何变化，该函数图象一定过点2,0，则点2,0称为这个函数的“永固点”．【初步理解】一次函数y1【理解应用】二次函数y2【知识迁移】点P为抛物线y2=−mx2+2mx+3mm>0的顶点，设点A到直线y1=−mx+3mm>0的距离为d15．小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：【理解应用】（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是垂等四边形，点A的坐标为4,0，点C的坐标为0,3，求点B的坐标；【规律初探】（2）如图2，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上，点F在边BC上，点G在边CD上，点H在边AD上，若四边形满足EG=FH，请直接写出四边形EFGH面积S的取值范围；【综合探究】（3）如图3，已知抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于M、N两点，点M在点N的左侧，P、Q两点在该抛物线上．若以M、N、P、Q为顶点的四边形是垂等四边形且MN∥PQ．设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n参考答案1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】44．【答案】（1）函数y=−x+4的图象上不存在“琦点”；函数y=x2−2x的图象上存在“琦点”为(0,0)（2）y=x（3）m=258或2或5．【答案】（1）①③（2）解：当直线y1＝m（x+2）﹣3与y＝x﹣3平行时，y1与y2只存在一个交点，此时m＝1，∴m≥1时，y1与y2只存在一个“明盟点”；当y1＝m（x+2）﹣3经过点（3，0）时，m=35，此时y1与y当直线y1＝m（x+2）﹣3与y＝3﹣x平行时，y1与y2不存在交点，此时m＝﹣1，∴m＜﹣1时，y1与y2只存在一个交点；综上所述：m≥1或m=35或m＜﹣1时，y1与y（3）解：由题可得3x﹣n（n+1n+整理得，x2﹣2nx+4n+2nw+n2＝0，∵只有一个“明盟点”，∴Δ＝0，即16n+8nw＝0，∵无论n取何值都成立，∴w＝﹣2，当w＝﹣2时，x2﹣2nx+n2＝0，解得x＝n，y＝﹣n2+7n﹣1＝﹣（n−72）2∴y≤456．【答案】（1）解：依题意：m2-1=0，且m+1≠0，得m=1；（2）解：∵A，B关于y轴对称，∴s＝﹣1，r＝4，∴A的坐标为（1，4），把A（1，4）代入是关于x的“T函数”中，得：t＝4，故答案为r＝4，s＝﹣1，t＝4；（3）解：∵y＝ax2+bx+c过原点，∴c＝0，∵y＝ax2+bx+c是“T函数”，∴b＝0，∴y＝ax2，联立直线l和抛物线得：y=ax2y=mx+n∴x1+x又∵x1+x2＝x1x2，∴ma∴y＝mx+n＝mx﹣m，当x＝1时，y＝0，∴直线l必过定点（1，0）．7．【答案】（1）②（2）2（3）一次函数y=kx+b过定点(1,2)或(1,0)或(−2,3)或(−2,5)8．【答案】（1）y=x2（2）①14；②12,49．【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”；函数y=x2−x的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）b=43或−2310．【答案】（1）解：12x+b=4x，

∴x2-2bx-8=0，

△=(2b)2+32=4b2+32>0，

∴方程总有两个不相等的实数根，

∴函数y1＝12x+b与y2=4x是互为“等值函数”；

当b=1时，则有x（2）解：如图，当直线在点A与点O之间运动时，与y＝﹣|x2+2x|的图象有两个等值根，

当﹣|x2+2x|=0时，

解得x=-2或0，

∴点A（-2，0），点O（0，0），

当y1＝12x+b过点A时，12×（-2）+b=0，

解得b=1，

当y1＝12x+b过点O时，12×0+b=0，

解得b=0，

∴0<b<1，y1＝12x+b与y2＝﹣|x2+2x|互为“等值函数”，

当-2<x<0，二次函数y=x2+2x，当y1＝12x+b与y2＝x2+2x有一个等值根时，即x2+2x=12x+b，

整理得：△=x2+32x-b=0，

△=b2-4ac=94+4b=0，

解得b=-916，

∴当b<-916，y1＝12x+b与y2＝﹣|x2+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，

∴当0<b<1或b<-11．【答案】（1）解：设Pa,b在y=−2x−1上，则Q−a,−b在y=4x，∴b=−2a−1−b=−4a，

解得a=−16b=−23，

∴（2）解：设Ps,t在y=x2+2x上，则Q−s,−t在y=4x+n−2022上，∴t=s2+2s−t=−4s+n−2022，

∴消去t得s2−2s+n−2022=0，

∵是“守望函数”，

∴Δ=4−4n−2022≥0，

∴n≤2023，即n有最大值2023，

当n=2023时，s（3）解：设Px,y在y=ax2+bx+c，则Q−x,−y在y=2bx+1上，∴y=ax2+bx+c−y=−2bx+1，

整理得ax2−bx+c+1=0，

∵有且仅有存在一对“守望点”，

∴Δ=b2−4ac+1=0，即4ac−b24a=−1，

∴顶点M的纵坐标为−1，

∵由二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于Ax1,0，Bx2,0，即x1，x2为ax2+bx+c=0两个根，

∴x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，

∴AB=x1+x22−4x1x2=2a，

∵AB=2，

∴a=1，

∵a=4c12．【答案】（1）解：设一次函数y＝﹣2x﹣3的“互反点”为（x，﹣2x﹣3），则：﹣2x﹣3+x＝0，解得：x＝﹣3，∴﹣2x﹣3＝3.∴一次函数y＝﹣2x﹣3的“互反点”为（﹣3，3）；（2）解：设二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a的“互反点”为（x，x2﹣（2a+1）x+a），则：x2﹣（2a+1）x+a+x＝0.∴x2﹣2ax+a＝0.∵二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a只有一个“互反点”，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a＝0.即：4a2﹣4a＝0.解得：a1＝0，a2＝1.令x＝0，则y＝a，∴抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+a与y轴交于点（0，a）.∵二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a与y轴交于正半轴，∴a＞0.∴a＝1.∴y＝x2﹣3x+1.当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝1.∴1≤x≤3时，y的取值范围为：﹣1＜y＜1.（3）解：二次函数y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的图象上的“互反点”为（x，（m+1）x2+nx+n﹣1），则：（m+1）x2+nx+n﹣1+x＝0.即：（m+1）x2+（n+1）x+n﹣1＝0.∵二次函数y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的图象上，恒有两个相异的“互反点”，∴Δ1＝（n+1）2﹣4（m+1）（n﹣1）＞0.∴n2﹣（4m+2）n+4m+5＞0.∵对于任意的实数n，此不等式恒成立，∴Δ2＝[﹣（4m+2）]2﹣4×1×（4m+5）＜0.∴16m2+16m+4﹣16