四川省自贡市2024年中考数学试卷附真题解析

四川省自贡市2024年中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在0，，，四个数中，最大的数是（）A． B．0 C． D．【答案】C【解析】【解答】解：∵<<0<，∴最大的数是，

故答案为：C.【分析】按数的大小排序得出最大值.2．据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界.70000用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：.故答案为：B.【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.3．如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：依题意，AM=AN=BM=BN，

∴四边形AMNB是菱形，

∴∠MBN=∠A=40°，故答案为：A.【分析】根据尺规作图痕迹可判断为菱形，利用菱形的性质得出结果.4．下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：对于A，圆锥的主视图为三角形，俯视图为圆形，故A错误，不符合题意；

对于B，圆柱的主视图为长方形，俯视图为圆形，故B错误，不符合题意；

对于C，正方体的主视图和俯视图均为正方形，故C正确，符合题意；

对于D，棱台的主视图为梯形，俯视图为长方形组合图，故D错误，不符合题意.故答案为：C.

【分析】由几何直观结合三视图逐一判断其主视图与俯视图即可.5．学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（）A．3，4 B．4，4 C．4，5 D．5，5【答案】D【解析】【解答】解：将数据3，5，7，4，5按小到大的顺序排列位3，4，5，5，7，

∴其中位数为5，众数也为5.故答案为：D.

【分析】根据给出数据按小到大排列得出其中位数，其中5出现次数为2次判断为众数.6．如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵Rt△OAB是Rt△OCD逆时针旋转90°所得，

∴△OAB≌△OCD，

又∵点D(4，-2)

∴OA=OC=4，AB=CD=2，

∴点B(2，4)故答案为：A.【分析】根据旋转全等得到对应边相等，利用线段相等得到点B坐标.7．我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（）A．是轴对称图形B．是中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形【答案】B【解析】【解答】解：根据“赵爽弦图”旋转180°后其形状不变，故其为中心对称图形；故答案为：B.

【分析】由轴对称和中心对称图形的判定即可.8．关于x的一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【解析】【解答】解：∵，

∴，

故一元二次方程有两个不相等的实数根，

故选：A.

【分析】由含参数k的方程代入判别式中，利用非负性判断得出结论.9．一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：由图可知，

①一次函数与y轴交于正半轴：

∴-2n+4>0，解得n<2，②反比例函数在一三象限，

∴n+1>0，解得n>-1，

③抛物线对称轴在x轴右侧，

∴，解得n<1，

综上所述，.

故答案为：C.

【分析】由函数图象位置对应解析式系数关系列出不等式组解出n即可.10．如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【解答】解：如图所示，设P、Q点运动时间为t，则AP=t，CQ=3t，①若点P在点Q的左侧，如左图，过点A和点P作AF⊥BC，PE⊥BC，垂足分别为E，F，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=6，AP∥BC，AF∥PE，

∴四边形AFEP是矩形，

∴PE=AF，

又∵∠B=60°，

∴∠BAF=90°-∠B=30°，BF==3，

AF=，

若PQ=CD，

∴Rt△ABF≌PQE（HL），

∴QE=BF=3；BQ=BF+EF+EQ=6+t，

②若点P在点Q的右侧，同理可证Rt△ABG≌PQH（HL），

∴∠B=∠PQH=60°，

∴AB∥PQ，

此时四边形ABPQ是平行四边形，

∴BQ=AP=t，

1)当Q第一次从，即0≤t≤4，

1.1)此时若点Q在点P右侧，则有BQ=BC-CQ=6+t=12-3t，解得t=，

1.2)此时若点Q在点P左侧，则有BQ=BC-CQ=t=12-3t，解得t=3，

2)当Q第一次从，即4＜t≤8，

2.1)此时若点Q在点P左侧，则有BQ=BC-CQ=t=3t-12，解得t=6，

2.2)此时若点Q在点P右侧，则有BQ=BC-CQ=6+t=3t-12，解得t=9，与条件矛盾，舍去；

3)当Q第二次从，即8＜t≤12，此时点P运动可以到达端点处.

3.1)此时若点Q在点P右侧，则有BQ=BC-CQ=6+t=36-3t，解得t=，与条件矛盾，舍去；

3.2)此时若点Q在点P左侧，则有BQ=BC-CQ=t=36-3t，解得t=9，

综上所述，当t=，3，6，9时，PQ=CD.

故答案为：B.

【分析】依题意，根据P，Q运动位置不同先大致分为两类，即P、Q左右位置不同其等量关系不同，当P在Q左侧为等腰梯形的等量关系，当P在Q右侧时则为平行四边形的等量关系；而后根据运动往返计算线段的方式差异进行细分，依据等量关系逐一列式并检验即可.11．如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC=AB=12，

又∵CD⊥AB，∠BDE=60°，

∴AD=BD=6，

∴sin∠BDE=sin60°===，

解得BE=，

即此时CD是边AB的垂直平分线，

∴AE=BE=，

∴DE==，

∴减少用钢为：(AB+AC+BC+CD)-(AB+AE+BE+DE)=24-.故答案为：D.

【分析】由特殊三角形的边角关系逐一求出边长，从而根据题意计算减少刚使用的量即可.12．如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（）A． B． C． D．5【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD∥BC，

又∵折叠前后对应点均在矩形的边上，

∴EF⊥AA‘，即EF⊥BC，AA’=2AE，

∴∠EFC=∠B=90°，

∴EF∥AB，

∴四边形ABFE是矩形，

∴BF=AE，

又∵AF平分∠BAC，

∴∠AFH=∠BAF=∠CAF，

设AG=FG=a，由AD∥BC，

∴∠EAG=∠FCG，

∴△AGE∽△CGF，

∴，

同理，△AHA'∽△CHF，

∴，

即，

∴，解得a=，

在Rt△CFG中，CF=，

∴，解得AE=.

故答案为：A.

【分析】由角平分线与折叠分析角度关系得出等腰，即AG=FG，进一步结合矩形的性质并利用分线段GH与HC的条件数值，考虑相似转换建立等量关系，即设AG=FG=a，利用两组相似△AHA'∽△CHF，△AGE∽△CGF存在的等量关系建立方程解出a，后解出目标值即可.二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．分解因式：.【答案】x(x-3)【解析】【解答】直接提公因式x即可，即原式=x(x-3).

【分析】由于前后两项有公因式x，利用提公因式法分解因式即可.14．计算：．【答案】1【解析】【解答】解：.故答案为：1.

【分析】同分母分式直接计算即可.15．凸七边形的内角和是度．【答案】900【解析】【解答】解：依题意，.故答案为：900°.

【分析】根据多边形内角和公式代入计算得出结果.16．一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值．【答案】1【解析】【解答】解：∵一次函数的值随的增大而增大，

∴3m+1>0，解得.故答案为：1(中任取一个).

【分析】根据一次函数的增减性与系数关系得出不等关系，后在符合范围内随意取值即可.17．龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为（结果保留）．【答案】【解析】【解答】解：依题意，AD=AB-BD=12cm，

∴故答案为：.

【分析】由扇形面积公式代入计算扇面面积即可.18．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是．【答案】46.4【解析】【解答】解：依题意，为围出最大的矩形，此时矩形两边需尽可能利用围墙，

故在划分的四块区域中选择最大的左上角一块，设在OA上所围的边长为OD=x，①如图，若围住的区域为ODGF，此时x≤8，易分析长方形宽：DG>5，

在矩形ODGF中，

GF=OD=x，DG=OF，

又∵围栏总长=OE+CF+FG+DG=1.4+(OF-OC)+x+DG=16，

即1.4+(DG-5)+x+DG=16，

∴DG=，

此时，

由二次函数性质可知，对称轴所在直线x=9.8，且开口a<0，故此时x≤8的图象随x增大而增大，

∴当x=8时，.

②如图，若围住的区域为ODGF，此时x＞8，若DG≥5，

同理，DG=，即，解得x≤8.8，

此时，

由二次函数性质可知，对称轴所在直线x=6.9，且开口a<0，故此时x＞8的图象随x增大而减小，

∴当x=8时，.

即当8≤x≤8.8时，其围出矩形的面积值均小于46.4

③如图，若围住的区域为ODGF，此时x＞8，若DG<5，

同理，DG=22.6-2x，即，解得x>8.8

此时，

由二次函数性质可知，对称轴所在直线x=5.65，且开口a<0，故此时x＞8的图象随x增大而减小，

∴当x=8.8时，.

即当x>8.8时，其围出矩形的面积值均小于44.

综上所述，围成矩形菜地的最大面积是46.4.

故答案为：46.4.

【分析】根据围成面积最大的矩形易分析需尽可能利用较多的墙作围栏，进而根据围墙的情况不同进行分类，设元表示该矩形的长与宽，最后利用二次函数的最值分析其最值即可.（注：结合周长固定的长方形中正方形面积最大，一定程度减少分类讨论的时间损耗）.三、解答题（共8个题，共78分）19．计算：【答案】解：

=1+1-3

=-1【解析】【分析】结合零指数幂、去绝对值及算术平方根计算即可.20．如图，在中，，．（1）求证：；（2）若，平分，请直接写出的形状．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，

∴∠C=∠AED，

又∵，

∴∠EDF=∠AED，

∴DF∥AC，

∴∠BDF=∠A.（2）解：△ABC是等腰直角三角形.【解析】【解答】解：（2）是等腰直角三角形．理由如下

由（1）得，DF∥AC，

∴∠BDF=∠A=45°，

又∵DF平分∠BDE，

∴∠EDF=∠BDF=45°，

∴∠ADE=180°-∠EDF-∠BDF=90°，

又∵DE∥BC，

∴∠B=∠ADE=90°，

∴∠C=180°-∠A-∠B=45°，

∴AB=BC，

∴△ABC是等腰直角三角形.

【分析】（1）由平行线与等角条件利用平行线的性质可快速证明另一组，从而利用平行线的性质推出目证出目标的一组等角；

（2）在两组平行线的基础上，可题干已知的角度关系逐一求得其它角度，逐一往目标△ABC的内角靠拢求出角度即可.21．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．【答案】解：设乙组平均每小时包个粽子，则甲组平均每小时包个粽子，由题意得：，解得：，经检验：是分式方程的解，且符合题意，∴分式方程的解为：，∴答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．【解析】【分析】根据题意由常见工程问题列出分式方程，解之并加以检验即可.22．在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F．（1）图1中三组相等的线段分别是，，；若，，则半径长为；（2）如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．求证：是的切线．【答案】（1）​​​​​​​；​​​​​​​；1（2）证明：连接，，，作于点，设半径为，∵，∴，∵，，∴，∴，，，∵是的内切圆，切点分别为D，E，F，∴，∴，同理，∴，∴，∵，∴是的切线．【解析】【解答】（1）连接OD，OE，OF，

由切线长定理得，CE=CF，AF=AD，BD=BE，

∵，，

∴在Rt△ACB中，，

又∵，

∴.

【分析】（1）由切线长定理直接得出等量关系，结合等积法可求得半径长；

（2）由等线段及等角可知，即在定三角形NAM中，为证明MN是的切线，过圆心O作垂线，利用定三角形计算即可整得圆心O到直线MN的距离，即作OG⊥MN，同理利用等积推出OG=r即可.23．某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．成绩频数百分比不及格3a及格b良好45c优秀32图1学生体质健康统计表图2学生体质健康条形图（1）图1中，，；（2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．【答案】（1）；20；（2）解：补全条形统计图，如图：（人），估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；（3）解：设3名“良好”分别用A、B、C表示，1名“优秀”用D表示，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有种，∴选取的2名学生均为“良好”的概率为．【解析】【解答】解：（1）依题意，总人数=（人）；

，，；

【分析】（1）根据表格数据分析得出选取学生总人数，从而可以计算出各部分学生人数占比，即a，b，c的值；

（2）在（1）总人数的基础上，进一步得出各部分人数占比及补全条形统计图形；

（3）利用字母进行表示更为方便，逐一列举事件发生的所有可能，并找出“两人均是良好”的可能结果数，即得概率.24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标；（3）点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标．【答案】（1）解：依题意把代入，得出解得把代入中，得出∴则把和分别代入得出解得∴；（2）解：记直线与直线的交点为∵∴当时，则∴∵P是直线上的一个动点，∴设点，∵的面积为21，∴

即即∴解得或∴点P坐标为或；（3）解：由（1）得出∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，∴设点Q的坐标为如图：点在点的右边时∵的面积为21，和∴整理得解得（负值已舍去）经检验是原方程的解，∴Q点坐标为如图：点在点的左边时∵的面积为21，和∴整理得解得，不符合题意，，不符合题意，综上：Q点坐标为．【解析】【分析】（1）反比例函数只需一定点A即可求得其解析式，利用反比例函数解析式求出B带你坐标后从而得出直线AB解析式；

（2）利用割补法求△PAB的面积，即，从而直接利用上点的坐标，代入计算求出P点即可；

（3）同（2）利用割的方法也便于计算，当然也可以延用初一坐标系中的补形求面积，即补成长方形面积减去边角三角形面积即可得出等量关系求出Q点坐标.25．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为m；（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．【答案】（1）11.3（2）解：如图，由题意得，，根据镜面反射可知：，，，，，，即，，答：旗杆高度为；（3）解：设，由题意得：，，∴，，即，，∴，整理得，解得，经