四川省乐山市2024年中考数学试卷附真题解析

四川省乐山市2024年中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：，

∴x＜2.故答案为：A.【分析】直接解一元一次不等式即可得出答案。2．下列文物中，俯视图是四边形的是（）A．带盖玉柱形器 B．白衣彩陶钵C．镂空人面覆盆陶器 D．青铜大方鼎【答案】D【解析】【解答】解：A：带盖玉柱形器的俯视图是圆，所以A不符合题意；

B：白衣彩陶的俯视图是圆，所B不符合题意；

C：镂空人面覆盆陶器的俯视图是圆，所C不符合题意；

D：青铜大方鼎的俯视图是四边形，所以D符合题意。故答案为：D.【分析】分别判断各图案的俯视图，即可得出答案。3．2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：40000000000=4×1010故答案为：C.【分析】大于10的科学记数法规范写法为a×10n，其中1≤a＜10，n为比原整数位少1的整数，故而得出答案即可。4．下列多边形中，内角和最小的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：四个选项中，A的边数最少，所以A的内角和最小。故答案为：A.【分析】根据多边形内角和定理可知，边数越少，内角和越小，即可得出答案。5．为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（）交通方式公交车自行车步行私家车其它人数（人）3051582A．100 B．200 C．300 D．400【答案】D【解析】【解答】解：800×=400.故答案为：D.【分析】用样本频率估计总体频率，即可得出答案。6．如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】【解答】解：A：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判断得出四边形ABCD为平行四边形；

B：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判断得出四边形ABCD为平行四边形；

C：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判断得出四边形ABCD为平行四边形；

D：如图，

，，但它不是平行四边形，所以不能判定ABCD为平行四边形；故答案为：D.【分析】分别根据平行四边形的判定进行判断即可得出答案。7．已知，化简的结果为（）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵，

∴x-1＞0，x-2＜0，

∴=x-1-(x-2)=x-1-x+2=1.故答案为：B.【分析】首先根据得出x-1＞0，x-2＜0，然后化简即可得出答案。8．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（）A． B． C． D．6【答案】A【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，

∴x1+x2=-2，x1x2=p，

∴，

∵，

∴，

∴p=故答案为：A.【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1x2=p，从而得出，即可得出p=，即可得出答案。9．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：y=x2-2x=（x-1）2-1，

∵1＞0，

∴当x=1时，y有最小值是-1，

当x=-1时，y=（-1-1）2-1=3，即函数的最大值为3，

由图象知图象上的点（-1，3）关于对称轴x=1的对称点为：（3，3），

∴1≤t-1≤3，

∴2≤t≤4.故答案为：C.【分析】首先得出函数的顶点式，从而得出函数的对称轴，然后根据函数的性质，即可得出图象上的点（-1，3）关于对称轴x=1的对称点为：（3，3），从而得出1≤t-1≤3，解得2≤t≤4，即可得出答案。10．如图2，在菱形ABCD中，，，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥BC，做点B关于点C的对称点Q'，连接BD交AQ于点H，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∵P，Q关于点C对称，

∴点M在CG上，

∴点M的运动轨迹就是线段CH，

∵AB=CD=1，

∴CG=1×sin60°=，

∵△AHD∽△Q'BH，

∴，

CH=。故答案为：B.【分析】菱形内角为60°必有等边三角形，又因为P，Q关于点C对称，所以点M一定在CG上运动，再把B点对称点找出来，则M运动路径就是CH这一段，再进行求解即可。二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．计算：．【答案】3a【解析】【解答】解：a+2a=3a.故答案为：3a.【分析】直接合并同类项即可得出答案。12．一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是．【答案】66【解析】【解答】解：这组数据从小到大排列为：57，58，66，69，71，

∴这5辆车的速度的中位数是66。故答案为：66.【分析】首先把这一组数据按照从小到大的顺序排序，然后根据中位数的定义即可得出答案。13．如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若，那么．【答案】120°【解析】【解答】解：如图

∵a∥b，

∴∠3=∠1=60°，

∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°。故答案为：120°.首先根据平行线的性质得出∠3=60°，再根据邻补角定义得出∠2的度数即可。14．已知，，则．【答案】29【解析】【解答】解：∵，，

∴（a-b）2=9，2ab=20，

∴a2-2ab+b2=9，

∴a2+b2=2ab+9=20+9=29故答案为：29.【分析】首先得出（a-b）2=9，2ab=20，然后根据平方差公式变形得：a2+b2=2ab+9，即可得出答案。15．如图，在梯形ABCD中，，对角线AC和BD交于点O，若，则．【答案】【解析】【解答】解：∵，

∴△AOD∽△COB，

∴，

∵，

，

∴（）2=19故答案为：.【分析】首先根据等高三角形的性质，得出，再根据相似三角形的性质，即可求解.

16．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；①；②；③．（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为．【答案】（1）③（2）【解析】【解答】解：（1）①当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，直线y=-x+3与两坐标轴的交点分别为（0，3）和（3，0），所以①上不存在“近轴点”；②因为2＞0，所以y随x的增大而减小，x=1时，y=2，x=2时y=1，所以图像上不存在“近轴点”；③当x=1时，y=0，所以图象上有“近轴点”。

故答案为：③；

（2）一次函数经过（3，0），

分两种情况：当m＜0时，如图1，

当x=1时，y=m-3m=-2m，

∵一次函数图象上存在“近轴点”，

∴-1≤-2m＜0，

∴0＜m≤；

当m＞0时，如图2，

可得：0≤-2m＜1，

∴

故答案为：0＜m≤或。【分析】（1）分别计算各函数与两坐标轴的交点与增减性结合，即可得出答案；

（2）分两种的情况：m＞0或m＜0，分别画图，计算边界点即可解答。三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．计算：．【答案】解：原式．【解析】【分析】根据绝对值的性质，零整数指数幂的性质和算术平方根进行化简，然后再进行加减运算即可。18．解方程组：【答案】解：①+②，得，解得．将代入①，得．∴．【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可.19．如图，AB是的平分线，，求证：．【答案】证明：∵AB是的平分线，∴．∴在和中，，，，∴（SAS）∴【解析】【分析】首先根据SAS证明，然后根据全等三角形的性质，即可得出．20．先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下：解：…①…②…③…④…⑤当时，原式．（1）小乐同学的解答过程中，第步开始出现了错误；（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．【答案】（1）③（2）解：．当时，原式．【解析】【解答】解：（1）第三步出现了错误，正确的应该是：…③

故答案为：③；

【分析】（1）根据分式的运算法则，逐步检查即可得出答案；

（2）根据异分母分式的加减法，首先进行化简，然后再代入求值即可。

21．乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽取的游客总人数为人，扇形统计图中m的值为；（2）请补全条形统计图；（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．【答案】（1）240；35（2）解：如下图所示．（3）解：记A：麻辣烫，B：跷脚牛肉，C：钵钵鸡，D：甜皮鸭．由题可得树状图：P（选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”）．【解析】【解答】解：（1）本次抽取的游客总人数为：72÷30%=240；

钵钵鸡所占的比例为：，所以m=35，；

故第1空答案为：240；第2空答案为：35；

（2）240-(48+72+84)=36，补全条形统计图，如图所示；

【分析】（1）跷脚牛肉的人数除以它对应的百分数，即可得出抽取的游客总人数；用钵钵鸡人数除以总人数，再乘100%，即可得出钵钵鸡所占的百分比，即可得出m的值；

（2）从总人数里边减去喜好其他三种美食人数，即可得出喜好甜皮鸭的人数，补全条形统计图即可；

（3）首先用树状图分析所有机会均等的结果，然后分析得出所关注事件的结果，再根据概率计算公式，求得关注事件概率即可。22．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点A的一次函数的图象与y轴交于点．（1）求m、n的值和一次函数的表达式；（2）连结AB，求点C到线段AB的距离．【答案】（1）解：∵点、在反比例函数图象上，∴，．又∵一次函数过点，，∴解得∴一次函数表达式为．（2）解：如图，连结BC．过点A作，垂足为点D，过点C作，垂足为点E．∵，，∴轴，．∴点，，．在中，．又∵，即，∴，即点C到线段AB的距离为．【解析】【分析】（1）首先根据反比例函数解析式，可求得m，n的值；然后再根据点A，C的坐标用待定系数法求得一次函数的表达式；

（2）如图，连结BC，过点A作，垂足为点D，过点C作，垂足为点E．首先根据点，，可得出轴，，进一步即可得出点，在中，根据勾股定理得出．然后根据面积法，即可求出点C到线段AB的距离．23．我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，∴．在中，由勾股定理得：∴．解得．答：秋千绳索的长度为14.5尺（2）解：能．由题可知，，．在中，同理，．∵，∴．∴．24．如图，是的外接圆，AB为直径，过点C作的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且．（1）求证：；（2）若EF垂直平分OB，，求阴影部分的面积．【答案】（1）解：如图，连结OC．∵CD为的切线，点C在上，∴，即．又∵AB为直径，∴，即．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．（2）解：连结OE、BE．∵EF垂直平分OB，∴．又∵，∴为等边三角形．∴，．∵，∴．∵，∴．又∵，∴．∵，∴为等边三角形．∴，．∴．∴．∴．∴．∴．又∵，∴．25．在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．（1）若，求抛物线的顶点坐标；（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；（3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．【答案】（1）解：当时，抛物线．∴顶点坐标．（2）解：由题可知．∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，∴“完美点”的个数为4个或5个．∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．∴．∴a的取值范围是．（3）解：易知抛物线的顶点坐标为，过点，，．显然，“完美点”，，符合题意．下面讨论抛物线经过，的两种情况：①当抛物线经过时，解得此时，，，．如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．②当抛物线经过时，解得此时，，，．如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．∴a的取值范围是．【解析】【分析】（1）把a=1代入中，并转化成顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；

（2）由解析式得出抛物线与Y轴的交点A（0，2a），根据线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，即可得出“完美点”的个数为4个或5个，分别得出“完美点”的坐标，即可得出．解得a的取值范围是；

（3）首先分类讨论得出完美点的坐标，①当抛物线经过时，解得；②当抛物线经过时，解得，可得a的取值范围是．26．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：（1）【问题情境】如图10.1，在中，，，点D、E在边BC上，且，，，求DE的长．解：如图2，将绕点A逆时针旋转90°得到，连结．由旋转的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴①▲．∴．又∵，∴在中，②▲．∵，，∴③▲．【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：；“②”处应填：；“③”处应填：．（2）刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．（3）【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且．探究BE、EF、DF的数量关系：（直接写出结论，不必证明）．（4）【问题再探】如图5，在中，，，，点D、E在边AC上，且．设，，求y与x的函数关系式．【答案】（1）；；5（2）解：证明：如图，将绕点A逆时针旋转90°，得到．过点D作交边于点H，连结NH．由旋转的特征得，，．由题意得，∴．在和中，，，，∴（SSS）．∴．又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴．∵，∴．在和中，，，，∴（ASA）．∴，．在和中，，，，∴（SAS）．∴．在中，，∴．（3）（4）解：如图，将绕点B逆时针旋转90°，得到，连结．过点E作，垂足为点G，过点作，垂足为．过点作，过点D作交AB于点H，、DF交于点F．由旋转的特征得，，，．∵，，∴．∴，，即．在和中，，，，∴（SAS）．∵，，，∴．又∵，，∴．∵，∴，．∴．∴，即，．