高中数学必修二知识点总结

高中数学必修2第一章立体几何初步'h特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线)S,ch直棱柱侧面积1S,ch'正棱锥侧面积21S,(c，c)h'12正棱台侧面积2S,2,rh，，S,2,rr，l圆柱侧圆柱表S,,rl，，S,,rr，l圆锥侧面积圆锥表22，，S,,r，rl，Rl，RS,(r，R),l圆台表圆台侧面积柱体、锥体、台体的体积公式VSh,柱1VSh,锥31''VSSSSh,，，()台32VShrh,,,圆柱12V,,rh圆锥311''22,，，,，，,VSSSShrrRRh()()圆台332434,R(4)球体的表面积和体积公式:V=;S=,R球球面3第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1平面含义:平面是无限延展的2三个公理:(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为A?LAB?L=>Lαα?LA?αB?α公理1作用:判断直线是否在平面内.(2)公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。AB?α?C符号表示为:A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，?使A?α、B?α、C?α。公理2作用:确定一个平面的依据。(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。β符号表示为:P?α?β=>α?β=L，且P?LPα公理3作用:判定两个平面是否相交的依据.L?2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内，没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设a、b、c是三条直线a?b=>a?cc?b强调:公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4注意点:?a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上;O,?两条异面直线所成的角θ?(0，);2?当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a?b;?两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形;?计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行——没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示aαa?α=Aa?α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为:线线平行，则线面平行。符号表示:aαbβ=>a?αa?b2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示:aβbβa?b=Pβ?αa?αb?α2、判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义;(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。符号表示:a?αaβa?bα?β=b作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示:α?βα?γ=aa?bβ?γ=b作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L?α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。PaL2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lβBα2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。2、两个平面垂直的性质定理:两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第三章直线与方程(1)直线的倾斜角定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0??α,180?(2)直线的斜率?定义:倾斜角不是90?的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常k,tan,用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与x轴平行或重合时,α=0?,k=tan0?=0;当直线l与x轴垂直时,α=90?,k不存在.,,,,,,,90k,0k,0k当时，;当时，;当时，不存,,,0,90，,,，，90,180在。y,y21k,(x,x)?过两点的直线的斜率公式:(P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1?x2)12x,x21注意下面四点:(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90?;x,x12(2)k与P、P的顺序无关;12(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。(3)直线方程?点斜式:直线斜率k，且过点y,y,k(x,x)，，x,y1111注意:当直线的斜率为0?时，k=0，直线的方程是y=y。1当直线的斜率为90?时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示(但因l上每一点的横坐标都等于x，所以它的方程是x=x。11y,kx，b?斜截式:，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为byyxx,,11xxyy,,,?两点式:()直线两点，，，,x,y，，x,y12121122yyxx,,2121xyl(,0)a(0,)bl?截矩式:其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴yy，,1xxabab,的截距分别为。Ax，By，C,0?一般式:(A，B不全为0)y,b平行于x轴的直线:(b为常数);平行于y轴的直线:(a为常数);x,a(6)两直线平行与垂直当，时，l:y,kx，bl:y,kx，b111222;l//l,k,k,b,b121212l,l,kk,,11212注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。(7)两条直线的交点相交l:Ax，By，C,0l:Ax，By，C,022221111，，,0AxByC,111交点坐标即方程组的一组解。,Ax，By，C,0222,ll方程组无解;方程组有无数解与重合,l//l,1212AxyBxy(,),，()(8)两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点，112222||()()ABxxyy,,，,则2121Ax，By，C00(9)点到直线距离公式:一点到直线的距离l:Ax，By，C,0，，Px,y001d,22A，B(10)两平行直线距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为:，lllAx，By，C,01211C,C12d,:，则与的距离为lllAx，By，C,0212222A，B第四章圆与方程1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程222，，a,b(1)标准方程，圆心，半径为r;，，，，x,a，y,b,r222点与圆的位置关系:Mxy(,)()()xaybr,，,,00222r当>，点在圆外()()xayb,，,00222r当=，点在圆上()()xayb,，,00222r当<，点在圆内()()xayb,，,0022(2)一般方程x，y，Dx，Ey，F,0221DE22,,D，E,4F,0当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为r,D，E,4F,,,,,222,,22D，E,4F,0当时，表示一个点;22D，E,4F,0当时，方程不表示任何图形。(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况:222l:Ax，By，C,0(1)设直线，圆，圆心到l的距离，，Ca,b，，，，C:x,a，y,b,rAa，Bb，Cd,r,l与C相离d,r,l与C相切d,r,l与C相交为;;，则有d,22A，B(2)过圆外一点的切线:?k不存在，验证是否成立?k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】222(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x，y)，则过此点的切线方程002为(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r004、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。222222设圆，，，，，C:x,a，y,b,R，，，，C:x,a，y,b,r111222两圆的位置关系常通过两圆半径的和(