大一高数知识点总结

大一高数知识点总结精品文档大一高数知识点总结&1.1初等函数一、函数的概念1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。设有两个变量x与y，如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记作y=f，其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。、函数的表示方法解析法即用解析式表示函数。如y=2x+1,y=,x,，y=lg,y=sin3x等。便于对函数进行精确地计算和深入分析。列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。便于差的某一处的函数值。图像法即用图像来表示函数关系的方法非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如1??2x?1,x?0?xsin,f?x???y??x1/55精品文档?2x?1,x?0???0x?0x?0隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x，y的方程F=0给出的，如2x+y-3=0，e可得y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程?x?y而由2x+y-3=0?x?y?0等。?x???t?，?t?T?给出的，??y??t?这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。反函数——如果在已给的函数y=f中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的函数x=?叫做y=f的反函数，记作x=fˉ1或y=fˉ1.二、函数常见的性质1、单调性2、奇偶性=f;奇:关于y轴对称，f=-f.)、周期性=f，2/55精品文档T为周期)4、有界性2、复合函数——如果y是u的函数y=f,而u又是x的函数u=?，且?的值域与f的定义域的交非空，那么y也是x的函数，称为由y=f与u=?复合而成的复合函数，记作y=f)。3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。四、函数关系举例与经济函数关系式1、函数关系举例、经济函数关系式总成本函数——总成本=固定成本+变动成本平均单位成本=总成本/产量总收益函数——销售总收益=销售价格×产量总利润函数——总利润=销售总收益-总成本需求函数——若其他因素不变，需求量Q=f&1.2函数的极限一、数列的极限对于无穷数列{an}，当项数n无限增大时，如果an无限接近于一个确定的常数A，则lim称A为数列{an}的极限，记为a=A，或当n??时，an?A。3/55精品文档n??nlim1lim若数列{an}存在极限，也称数列{an}收敛，例如?0，C?C，q=0q?1)。n??若数列{an}没有极限，则称数列{an}发散。数列极限不存在的两种情况:数列有界，但当n??时，数列通项不与任何常数无限接近，如:??1?n?1;数列无界，如数列{n2}。二、当x?0时，函数f的极限如果当x的绝对值无限增大时，函数f无限地接近一个确定的常数A，那称A为函数f当x??时的极限，记作limf?x??A，或当x??时，f?A。x??单向极限定义如果当x???或?x????时，函数f无限接近一个确定的长寿湖A，那么称A为函数f当x???或?x????时得极限，记作lim?lim?4/55精品文档?。??f?x??A?fx?A??x????n????三、当X?Xo时，函数f的极限1、当X?Xo时，函数f的极限定义如果当x无限接近Xo时，函数f无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f当X?Xo时的极限，记作limf?x??A，或当X?Xo时，f?A。n??2、当X?Xo时，函数f的左极限和右极限如果当X?Xoˉ时，函数f无限接近一个确定的常数A，则称函数f当X?Xo时的左极限为A，记作四、无穷大与无穷小1、无穷大与无穷小的定义??lim???fx?Af?x?????x?x0?x?x0lim?A??。?lim如果当X?Xo时，f?0，就称f当X?Xo时的无穷小，记作f?x??0;如x?x05/55精品文档果当X?Xo时，f的绝对值无限增大，就称函数f当X?Xo时为无穷大，记作limf?x???。其中，如果当X?Xo时，f向正的方向无限增大，就称函数f当Xx?x0lim?Xo时为正无穷大，记作f?x????;如果当X?Xo时，f向负的方向无限增大，x?x0就称函数f当X?Xo时为负无穷大，记作2、无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化中，如果f为无穷大，那么limf?x????。x?x01为无穷小;反之，如果ff为无穷小，那么1为无穷大。f根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问6/55精品文档题。、无穷小的性质性质1:有限个无穷小的代数和为无穷小;性质2:有限个无穷小的乘积为无穷小;性质3:有界函数与无穷小的乘积为无穷小。、无穷小的比较设a与b是自变量同一变化中的两个无穷小，记作a=o;a=0，则称a是比b低阶的无穷小;ba如果lim=?,则称a是比b高阶的无穷小;b如果lima=c,则称a是比b同阶的无穷小。ba特别的，当c=1,即lim=1时，称a与b是等阶无穷小，记作a,b。b如果lim&1.3极限运算法则法则一若limu=A，limv=B，则lim=limu?limv=A?B;法则二若limu=A，limv=B，则lim=limu?limv=A?B;法则三若limu=A，limv=B，7/55精品文档且B?0，则limulimuA==vlimvB推论若limu=A，C为常数，k?N，则limC?u=C?limu=C?A;limu=k=A注运用这一法则的前提条件是u与v的极限存在。kk&1.4两个重要极限一、limsinx=1x?0xlim?1?x二、?1??=ex???x?&1.5函数的连续性一、函数连续性的概念1.函数在某点的连续性若函数f在点x0及其左右有定义，且处连续，x0为函数f的连续点。理解这个定义要把握三个要点:f要在点x0及其左右有定义;8/55精品文档limf=f，则称函数f在点x0x?x0limf要存在x?x0limf=f。x?x0增量?x=x-x0?y=f-f设函数f在点x0及其左右有定义，如果当自变量x在点x0处的增量?x趋近于零时，相应的函数增量?y也趋近于零，即lim则称函数f在点x0处连续，x0?y?0，?x?0为f的连续点。2.函数在区间上的连续性、连续函数如果函数f在区间上每一点上连续，则称函数f在区间上连续。如果函数f在某个区间上连续，就称f是这个区间上9/55精品文档的连续函数。二、连续函数的运算与初等函数的连续性1.连续函数的运算如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商在这一点也连续。设函数u?????在点x0处连续，且u0???x0?，函数y=f点u0处连续，那么复合函数y?f在点x0处也连续。2.初等函数的连续性初等函数在其定义域内是连续的。第二章微分与导数&2.1导数的概念设函数y=f在点x0处及其左右两侧的小范围内有定义，当?x?0时，若?y得极限?x存在，则称y=f在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f点x0处的导数，记作limf?x0??x??f?x0??y，?x0??f’??x?0?x?x?0?xlim还可记作y’?10/55精品文档x?x0或dydy?x?x0dxdx?x?x0。?和f??都存在且等于A，即函数f在点x0可导且f′=A等价于f???x0??f???x0??A。f??x0??A?f?根据这个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，该点的导数就不存在。&2.2导数的四则运算法则和基本公式第一讲:一.数列函数:1.类型:极限与连续数列:*an?f;*an?1?f初等函数:分段函数:*F???f1x?x0?fx?x0;*F??;*,,?ax?x0?f2x?x0复合函数:y?f,u??隐式:F?011/55精品文档参式:??x?x?y?y变限积分函数:F??xafdt级数和函数:S?.特征:?ax,x??nnn?0?单调性与有界性;单调??x0,?f)定号)奇偶性与周期性.3.反函数与直接函数:y?f?x?f二.极限性质:1.类型:*liman;*limf;*limfn??x???1?y?f?1x?x02.无穷小与无穷大:.未定型:12/55精品文档0??,,1,???,0??,00,?00?4.性质:*有界性,*保号性,*归并性三.常用结论:ann?1,a?1,?a?0??0n!nn1n1n1nn1xnlnnxxx?1,lix?0?0,??,lim,lim?x???x???x?0xexxxlnx?0lim,e??x?0?n?0x???,???x???四.必备公式:1.等价无穷小:当u?0时,uxuxtanu?u;1?cosu?sin13/55精品文档12u;eu?1?u;ln)?u;)??1??u;unxux;?uarcsi2.泰勒公式:12x?o;!122ln?x?x?o;2134sinx?x?x?o;3!12145cosx?1?x?x?o;2!4!?2?x?o.?1??x?2!e?1?x?x五.常规方法:前提:准确判断,1.抓大弃小;变量代换0?x?),?14/55精品文档2.无穷小与有界量乘积x3.1处理.左右极限:11x;e;ex;分段函数:x,[x],maxfx005.无穷小等价替换.洛必达法则先”处理”,后法则;x?1x?001?x1?xv幂指型处理:u?evlnu)含变限积分;不能用与不便用7.泰勒公式:处理和式中的无穷小.极限函数:f?limFn??六.非常手段1.收敛准则:an?f?limfx???15/55精品文档双边夹:*bn?an?cn?,*bn,cn?a?单边挤:an?1?f*a2?a1?*an?M?*f’?0??f?fx’0?x?0?x1112n[?)f?f]fxd0n??nnnn2.导数定义:li.中值定理:lim[f?f]?alimf’x???x???5.级数和:?2nn!?an收敛?liman?0,lim??an,n??n??nn??n?1n?1??{an}与?同敛散七.常见应用:16/55精品文档1.无穷小比较:*f?kxn,?f?f’???f?0,f?a?f?anax???xnn!n!?xfdt??ktndtx2.渐近线:f,b?lim[f?ax]?f?ax?b??x??x??x1f?ax?b??,xa?lim3.连续性:间断点判别;分段函数连续性连续性)八.[a,b]上连续函数性质1.连通性:f?[m,M]?f?f).介值定理:零点存在定理:ff?0?f?0;f?0?dx)’?0.第二讲:导数及应用17/55精品文档一.基本概念:1.差商与导数:f’?lim?x?0f?ff?f;f’?limx?x0?xx?x0f’?limx?0f?ff?A?f?0,f’?A)左右导:f?’,f?’;可导与连续;2.微分与导数:?f?f?f?f’?x?o?df?f’dx可微?可导;比较?f,df与”0”的大小比较;二.求导准备:1.基本初等函数求导公式;)’)2.法则:四则运算;复合法则;反函数三.各类求导:dx1?dyy’f?fh1.定义导:f’与f’x?a;分段函数左右导;lim18/55精品文档h?0?Fx?x0??,求:f’,f’及f’的连续性),x?xa?02.初等导:u?f[g],求:u’;F?y???xafdt,求:F’dt)’,dt)’,dt)’)aaaxbb?f1x?x0,,求f?’,f?’及f’?f2x?x0dyd2y,.隐式?0)导:dxdx2存在定理;微分法.对数求导法.?x?xdyd2y,.参式导:?,求:19/55精品文档dxdx?y?y5.高阶导f公式:ax1bnn!;)??ae;nax?ansin;?ancos12?uv?Cnuv’?Cnuv”??注:ff与泰勒展式:f?a0?a1x?a2x2???anx???an?n!n四.各类应用:1.斜率与切线;上点M0和过点M0的切线).物理:变化率?速度;.曲率:??曲率半径,曲率中心,曲率圆)4.边际与弹性:五.单调性与极值1.判别?0):20/55精品文档f’?0?f?;f’?0?f?;分段函数的单调性f’?0?零点唯一;f”?0?驻点唯一..极值点:表格变号);f’f’’?0,lim?0,lim2?0?x?0的特点)x?x0x?x0xxx二阶导?0)注f与f’,f”的匹配;实例:由f’??f?g确定点“x?x0”的特点.闭域上最值.不等式证明?0)区别:*单变量与双变量?*x?[a,b]与x?[a,??),x??类型:*f’?0,f?0;*f’?0,f?0吉林大学高数复习公式高等数学公式平方关系:sin+cos=1tan+1=seccot+1=csc积的关系:sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secα21/55精品文档cotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα倒数关系:tanα?cotα=1sinα?cscα=1cosα?secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,两角和与差的三角函数:cos=cosα?cosβ-sinα?sinβcos=cosα?cosβ+sinα?sinβsin=sinα?cosβ?cosα?sinsin=??/2)cos=??/2)tan=??/)=sinα/=/sinα降幂公式sin=)/2=versin/2cos=)/2=covers/2tan=)/)22/55精品文档万能公式:sinα=2tan/[1+tan]cosα=[1-tan]/[1+tan]tanα=2tan/[1-tan]积化和差公式:sinα?cosβ=[sin+sin]cosα?sinβ=[sin-sin]cosα?cosβ=[cos+cos]吉林大学高数复习公式sinα?sinβ=-[cos-cos]和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[/2]cos[/2]sinα-sinβ=2cos[/2]sin[/2]cosα+cosβ=2cos[/2]cos[/2]cosα-cosβ=-2sin[/2]sin[/2]推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cosα1-cos2α=2sinα1+sinα=三角函数的角度换算23/55精品文档公式一:设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin,sinαcos,cosαtan,tanαcot,cotα公式二:设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin,,sinαcos,,cosαtan,tanαcot,cotα公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin,,sinαcos,cosαtan,,tanαcot,,cotα吉林大学高数复习公式公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin,sinα24/55精品文档cos,,cosαtan,,tanαcot,,cotα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin,,sinαcos,cosαtan,,tanαcot,,cotα公式六:π/2?α及3π/2?α与α的三角函数值之间的关系:sin,cosαcos,,sinαtan,,cotαcot,,tanαsin,cosαcos,sinαtan,cotαcot,tanαsin,,cosαcos,sinα25/55精品文档tan,,cotαcot,,tanαsin,,cosαcos,,sinαtan,cotαcot,tanα吉林大学高数复习公式高等数学公式??sec2x??1???csc2x?x2??secx?tgx???1???cscx?ctgx?x2??axlna??11?x2??1axlna???11?x2导数公式:?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?dxcos2x??sec2xdx?tgx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?dx?csc2sin2x?xdx??ctgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?dx?cscx?ctgxdx??cscx?Ca2?x2?1aarctgxa?C26/55精品文档?dx?axdx?axlna?Cx2?a2?12alnx?ax?a?C?shxdx?chx?C?dx1a?a2?x2?x2alna?x?C?chxdx?shx?C?dxxa2?x2?arcsina?C?dx?lna2?Cx???22Inn??sinxdx??cosnxdx?n?100nIn?2?x2?a2dx?x22x2?a2?a2ln?C?x2?a2dx?xx2?a2?a2lnx?x22?a22?C?a2?x2dx?x2a2?x2?a22arcsinx27/55精品文档a?C高数重点知识总结1、基本初等函数:反函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，常数函数、分段函数不是初等函数。x2?xx?lim?1、无穷小:高阶+低阶=低阶例如:limx?0x?0xxsinx4、两个重要极限:lim?1x?0xlim?1?x?ex?01x?1?lim?1???ex???x?gx经验公式:当x?x0,f?0,g??，lim?1?f?x?x0?e28/55精品文档x?x0limfg例如:lim?1?3x?ex?01xx?0??3x?lim???x??e?35、可导必定连续，连续未必可导。例如:y?|x|连续但不可导。、导数的定义:lim?x?0f?f?f’?xx?x0limf?f?f’?x0?x?x07、复合函数求导:29/55精品文档df?g??f’?g??g’dx例如:y?x?x,y’?2x?2x?1x?x4x2?xx1?18、隐函数求导:直接求导法;方程两边同时微分，再求出dy/dxx2?y2?1例如:解:法,左右两边同时求导,2x?2yy’?0?y’??xydyx法,左右两边同时微分,2xdx?2ydy???dxy9、由参数方程所确定的函数求导:若??y?gdydy/dtg’??，则，其二阶导数:dxdx/dth’?x?hdd?g’/h’?dyd?dy/dx????dxdxdx/dth’210、微分的近似计算:f?f??x?f’例如:计算sin31?11、函数间断点的类型:第一类:可去间断点和跳跃间断点;例如:y?sinx30/55精品文档，y?sgn第二类:振荡间断点和无穷间断点;例如:f?sin??，y?断点)12、渐近线:水平渐近线:y?limf?cx???1??x?119、改变凹凸性的点:f”?0，f’’不存在20、可导函数f的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。1、中值定理:罗尔定理:f在[a,b]上连续，内可导，则至少存在一点?，使得f’?0拉格朗日中值定理:f在[a,b]上连续，内可导，则至少存在一点?，使得f?f?f’积分中值定理:f在区间[a,b]上可积，至少存在一点?，使得b?fdx?fa22、常用的等价无穷小代换:x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex?1~2~ln1?cosx~31/55精品文档12x2111tanx?sinx~x3,x?sinx~x3,tanx?x~x326323、对数求导法:例如，y?xx，解:lny?xlnx?1y’?lnx?1?y’?xx?lnx?1?y24、洛必达法则:适用于“0?”型，“”型，“0??”型等。当0?x?x0,f?0/?,g?0/?，f’,g’皆存在，且g’?0，则ff’ex?sinx?10ex?cosx0ex?sinx1lim?lim例如，limlimlim?x?x0gx?x0g’x?0x?0x?0x2x2225、无穷大:高阶+低阶=高阶例如，6、不定积分的求法公式法第一类换元法第二类换元法:哪里复杂换哪里，常用的换元:1)三角换元:23?x?1??2x?3?lim?x???2x532/55精品文档x2?2x?lim?4x???2x53a2?x2，可令x?asint;x2?a2，可令x?atant;x2?a2，可令x?asect)当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换x?1t27、分部积分法:udv?uv?vdu，选取u的规则“反对幂指三”，剩下的作v。分部积x3分出现循环形式的情况，例如:ecosxdx,secxdx????28、有理函数的积分:例如:3x?22?x11dx??2dx??x3?x3?x2?x?13dx11x?1?xx?1?x1dx???需要进行拆分，令?x2x2x2x2其中，前部分33/55精品文档?111??xx?129、定积分的定义:?f?x?fdx?lim?a?0iii?1bn30、定积分的性质:b当a=b时，?fdx?0;aba当a>b时，?fdx???fdxaba?aa34/55精品文档当f是奇函数，?fdx?0,a?0a当f是偶函数，b?a?fdx?2?fdxcb可加性:?fdx??fdx??fdxaacxxd31、变上限积分:???fdt??’?fdt?f?dxaad推广:dxu?fdt?f?u?u’35/55精品文档ab32、定积分的计算:bb?fdx?F?Fa33、定积分的分部积分法:udv??uv??vdu例如:xlnxdx?aba?a???bb???34、反常积分:无穷限的反常积分:?fdx?lim?fdxaa36/55精品文档bbt?a?无界函数的反常积分:35、平面图形的面积:A??fdx?lim?fdxatd??f?f?dxA???????dy2121ac2绕y轴旋转，????fdxV???dy??2acbd37/55精品文档b36、旋转体的体积:绕x轴旋转，V??高等数学知识点总结导数公式:2??secx???cscx??secx?tanx???cscx?cotx??alna???????1?x21?x121?x2x)??1xlna???11?x2基本积分表:三角函数的有理式积分:?tan?sec?a?x?a?38/55精品文档xdx??lncosx?C?cotxdx?lnsinx?Cxdx?lnsecx?tanx?C?cos?sindx2xx???sec?csc2xdx?tanx?Cxdx??cotx?Cdx22?cscxdx?lncscx?cotx?Cdx2?secxx?tanxdx?secx?Cxdx??cscx?Cx39/55精品文档?xdx?adx?xdx22???1a1arctanlnlnxa?C?C?C?cscx?cot?adx?ax?ax?aa?xa?xxalna?C222a12a?shxdx?chxdx??2?chx?C?shx?C?ln?C240/55精品文档222a?x2?arcsin?Cdxx?a22?2In??sin02nxdx??cosnxdx?2n?1naaa2In?2x?a)?Cx?axa?C41/55精品文档2222???sinx?2u1?ux?adx?x?adx?a?xdx?22222x2x2x2x?a?x?a?a?x?222222242/55精品文档lnxlime?ee?exx?x?xx???e?x?1)x?1)2三角函数公式:?诱导公式:?和差角公式:?和差化积公式:sin?sin?cos??cos?sin?cos?cos?cos??sin?sin?tan?cot?tan??tan?1?tan??tan?cot??cot??1cot??cot?sin??sin??2sinsin??sin??2cos???2cossin???2???2???243/55精品文档cos??cos??2coscos??cos??2sin???2cossin???2???2???2?倍角公式:sin2??2sin?cos?cos2??2cos??1?1?2sin??cos??sin?cot2??tan2??cot??12cot?2tan?1?tan?222222sin3??3sin??4sin?cos3??4cos??3cos?tan3??3tan??tan?1?3tan?2333?半角公式:sintan?44/55精品文档2?????cos?21?cos?1?cos?asinA1?cos?sin?bsinB?coscot?2??1?cos?2?21?cos?sin?2?2??csin?1?cos??45/55精品文档2??1?cos?1?cos?2?sin?1?cos??正弦定理:?sinC?2R?余弦定理:c?a?b?2abcosC?反三角函数性质:arcsinx??2?arccosxarctanx??2?arccotx高阶导数公式——莱布尼兹公式:n?u?46/55精品文档?Ck?0knuvv?nuv??n2!uv?????n?k!uv???uv47/55精品文档中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:柯西中值定理:f?f?f??f?F?拉格朗日中值定理。f?fF?F当F?x时，柯西中值定理就是曲率:弧微分公式:平均曲率:K?ds????s?y?dx,其中y??