初中数学二次函数知识点

初中数学二次函数知识点汇总21.定义:一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.xa,0)y,ax，bx，c(a,b,cy22.二次函数的性质y,ax2(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.y,axy2(2)函数的图像与的符号关系.ay,axa,0?当时抛物线开口向上顶点为其最低点;,,a,0?当时抛物线开口向下顶点为其最高点.,,2(a,0)(3)顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.y,axy23.二次函数的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.y,ax，bx，cy224.二次函数用配方法可化成:的形式，其中y,ax，bx，c，，y,ax,h，k2b4acb,hk.,,，,2a4a222;?;?;?5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:?y,axy,ax，k，，y,ax,h22;?.y,ax，bx，c，，y,ax,h，k6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.a,0a,0?a的符号决定抛物线的开口方向:当时，开口向上;当时，开口向下;a相等，抛物线的开口大小、形状相同.x,hx,0?平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.yya7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.22b4acb,,,2)公式法:8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1，?顶点是yaxbxcax,，，,，，,,2a4a,,2b4ac,bb(，)x,,,，对称轴是直线.2a2a4a2hk(2)配方法:运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，，，y,ax,h，kx,h对称轴是直线.(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分1线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.29.抛物线中，的作用a,b,cy,ax，bx，c2(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.aay,ax2b(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线ay,ax，bx，cbbbb,0x,,，故:?时，对称轴为轴;?(即、同号)时，对称轴在轴左侧;a,0yy2aabb?(即、异号)时，对称轴在轴右侧.a,0ya2(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.cy,ax，bx，cy2x,0当时，，?抛物线与轴有且只有一个交点(0，):cy,ax，bx，cyy,cc,0c,0c,0?，抛物线经过原点;?,与轴交于正半轴;?,与轴交于负半轴.yyb以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.,0ya10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2(0,0)x,0(轴)yy,ax2k)(0,x,0(轴)yy,ax，k2hx,h(,0)，，y,ax,ha,0当时2开口向上hkx,h(,)，，y,ax,h，ka,0当时b22x,,y,ax，bx，cb4acb,2a,，()开口向下2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式2x(1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.y,ax，bx，cy2(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.，，y,ax,h，kxx，，，，y,ax,xx,x(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标、，通常选用交点式:.112212.直线与抛物线的交点2cy,ax，bx，c(1)轴与抛物线得交点为(0,).y222hx,h(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).ah，bh，cy,ax，bx，cy(3)抛物线与轴的交点x2二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程xxxy,ax，bx，c122的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别ax，bx，c,0x式判定:,,0?有两个交点抛物线与轴相交;x,,,,0?有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;xx,,,,0?没有交点抛物线与轴相离.x,,(4)平行于轴的直线与抛物线的交点x同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵2k坐标为，则横坐标是ax，bx，c,k的两个实数根.2lG(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方，，y,kx，nk,0，，y,ax，bx，ca,0y,kx，nGl程组的解的数目来确定:?方程组有两组不同的解时与有两个交点;?,2y,ax，bx，cGGll方程组只有一组解时与只有一个交点;?方程组无解时与没有交点.,,2(6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为，xx，，，，Ax，0，Bx，0y,ax，bx，c122ax，bx，c,0由于x、是方程的两个根，故x12bcx，x,,x,x,,1212aa22b4cb,4ac,,,22AB,x,x,x,x,x，x,4xx,,,,,，，，，,,12121212aaaa,,二次函数的解析式有三种形式:2(1)一般式:y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)2(2)顶点式:y,a(x,h)，k(a,h,k是常数，a,0)22ax，bx，c,0xx(3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和y,ax，bx，c1222存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转ax，bx，c,a(x,x)(x,x)y,ax，bx，c12y,a(x,x)(x,x)化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。123考点三、二次函数的最值(10分)如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大24acb,b值(或最小值)，即当时，。yx,,,最值2a4ab如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，,x,x,xx,x,x12122a24acb,b若在此范围内，则当x=时，y;若不在此范围内，则需要考虑函数在范,,x,x,x12最值2a4a2围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当x,xx,xy,ax，bx，c2122最大22时，;如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，x,xy,ax，bx，cy,ax，bx，c11111最小最大2当时，。x,xy,ax，bx，c222最小考点四、二次函数的性质(6~14分)1、二次函数的性质二次函数函数2y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)a>0a<0yy图像0x0x(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸;(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸;bbbb,,,,(2)对称轴是x=，顶点坐标是(，，顶点坐标是(，(2)对称轴是x=2a2a2a2a224acb4acb,,););4a4a性质bb,,(3)在对称轴的左侧，即当x<时，y随x(3)在对称轴的左侧，即当x<时，y随2a2a的增大而减小;在对称轴的右侧，即当x的增大而增大;在对称轴的右侧，即当bb,,x>x>时，y随x的增大而增大，简记左减时，y随x的增大而减小，简记左2a2a右增;增右减;4bb(4)抛物线有最低点，当x=时，y有最小时，y有最(4)抛物线有最高点，当x=,,2a2a224acb4acb,,值，大值，yy,,最小值最大值4a4a2a、b、c2、二次函数中，的含义:表示开口方向:>0aay,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)时，抛物线开口向上，，，<0时，抛物线开口向下abb与对称轴有关:对称轴为x=,2a表示抛物线与y轴的交点坐标:(0，)cc3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。2因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。,,b,4ac当>0时，图像与x轴有两个交点;,当=0时，图像与x轴有一个交点;,当<0时，图像与x轴没有交点。,2二次函数知识点:1(二次函数的概念:一般地，形如(是常数，)abc～～yaxbxc,，，a,0，而可以的函数，叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数bc～a,0为零(二次函数的定义域是全体实数(22.二次函数的结构特征:yaxbxc,，，?等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2(xx?abc～～是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项(acb二次函数的基本形式21.二次函数基本形式:的性质:yax,oo结论:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结:5的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a时，随的增大而增大;时，随xyyx,0x,0轴y00～向上，，a,0的增大而减小;时，有最小值(xy0x,0时，随的增大而减小;时，随xyyx,0x,0轴00～y，，向下a,0的增大而增大;时，有最大值(xy0x,022.的性质:yaxc,，结论:上加下减。同左上加，异右下减总结:的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a时，随的增大而增大;时，随xyyx,0x,0轴y0～c，，向上a,0的增大而减小;时，有最小值(xcyx,0时，随的增大而减小;时，随xyyx,0x,00～c轴y，，向下a,0的增大而增大;时，有最大值(xcyx,023.的性质:yaxh,,，，结论:左加右减。同左上加，异右下减总结:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x时，随的增大而增大;时，随yyxh,xh,h～0，，向上X=ha,0x的增大而减小;时，有最小值(y0xh,x时，随的增大而减小;时，随yyxh,xh,h～0，，向下X=ha,0x的增大而增大;时，有最大值(y0xh,2yaxhk,,，4.的性质:，，6总结:的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a时，随的增大而增大;时，随xyyxh,xh,hk～向上X=h，，a,0的增大而减小;时，有最小值(xykxh,时，随的增大而减小;时，随xyyxh,xh,hk～，，向下X=ha,0的增大而增大;时，有最大值(xykxh,二次函数图象的平移1.平移步骤:2hk～?将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标;yaxhk,,，，，，，2hk～?保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下:yax,，，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位22y=axy=ax+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位22y=a(x-h)+ky=a(x-h)向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位2.平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”(hk概括成八个字“同左上加，异右下减”(22三、二次函数与yaxbxc,，，的比较yaxhk,,，，，222yaxbxc,，，请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成yaxhk,,，。yxx,，，245，，总结:22yaxbxc,，，从解析式上看，yaxhk,,，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前，，222bacb4,bacb4,,,yax,，，者，即，其中(hk,,,～,,24aa24aa,,72四、二次函数图象的画法yaxbxc,，，22五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、yaxbxc,，，yaxhk,,，()对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，(若与0～c0～c2hc，x～0x～0xx，，，，，，，，，，12轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.xy2五、二次函数的性质yaxbxc,，，2,,bbacb4,1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为(,～x,,a,0,,24aa2a,,bbb当时，随的增大而减小;当时，随的增大而增大;当时，有最xxx,,x,,x,,yyy2a2a2a24acb,小值(4a2,,bbbacb4,2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为(当时，,～x,,x,,ya,0,,24aa2a2a,,2bb4acb,随x的增大而增大;当时，随x的增大而减小;当时，有最大值(x,,x,,yy2a2a4a六、二次函数解析式的表示方法21.一般式:acyaxbxc,，，(，，为常数，);ba,02a2.顶点式:yaxhk,,，()(，，为常数，);hka,0xxx3.两根式:(，，是抛物线与轴两交点的横坐标).yaxxxx,,,()()a,01212注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，2bac,,40x只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示(二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系a1.二次项系数2ayaxbxc,，，二次函数中，作为二次项系数，显然(a,08?当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大;aaa,0?当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大(aaa,0总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小(aaa2.一次项系数b在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴(ab?在的前提下，a,0b当时，，即