河北省邯郸市临漳县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

八年级第一学期期末考试数学（北师大版）本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟．选择题答题框涂卡注意事项：1．使用考试专用扁头2B涂卡铅笔填涂，或将普通2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂．2．涂卡时，将答题纸直接置于平整的桌面上，或将答题纸置于硬质垫板上填涂．一定不能将答题纸置于软垫或纸张上填涂．3．修改时用橡皮擦干净后，重新填涂所选项．4．填涂的正确方法：错误方法：注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.化简结果是（）A. B. C. D.2.某校举行健美操比赛，甲、乙、丙三个班各选10名学生参加比赛．若参赛学生平均身高都是1.65米，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（）A.甲班 B.乙班 C.丙班 D.同样整齐3.下列语句中，不是命题是()A.两点确定一条直线 B.垂线段最短C.同位角相等 D.作∠A的平分线4.解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（）A. B.C. D.5.下列计算正确的是（）A. B. C. D.6.在正比例函数中，y的值随x值的增大而增大，则点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（）A. B. C. D.8.嘉嘉画了一个如图所示的四边形，若，，连接，，则的长为（）A. B. C. D.9.如图，在平面直角坐标系中，若点位于直线的下方，则a的值可能为（）A.5 B.4 C.3 D.210.对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（）已知：如图，．求证：．证明：作直线d分别与直线a，b，c相交．．A.①处为两直线平行，同位角相等 B.①处为同位角相等，两直线平行C.②处为同位角相等，两直线平行 D.②处为两直线平行，同位角相等11.如图描述了某班10名学生对课后延时服务打分情况，下列判断不正确的是（）A.打分的众数为4分B.打分的平均数为3.2分C.去掉一个最高分和一个最低分后，中位数和众数都不会发生改变D.若该班有50名学生，估计打分为4分的有25人12.在平面直角坐标系中，若点为直线l上一点，且满足，则称点M为直线l上的“姐妹点”．关于①、②，下列判断正确的是（）①直线上的“姐妹点”的坐标是；②直线上的所有点都是“姐妹点”A.①②都对 B.①②都不对 C.只有①对 D.只有②对二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13.点关于轴对称的点坐标是____________．14.若m为无理数，且，写出一个符合条件的m：______________．15.《孙子算经》中有一道题，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；若将绳子对折再去测量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则列出的方程组为______________．16.小华发现弹簧长度是所悬挂物体的质量的一次函数．当所悬挂物体的质量为时，弹簧的长度为，且质量m每增加，弹簧的长度L就增加．若弹簧所能拉伸的最大长度为，则所悬挂物体的质量m的最大值为______________．三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.按要求完成下列各小题．（1）计算：；（2）解方程组：．18.已知在平面直角坐标系中，点．（1）请在图中建立符合题意的平面直角坐标系；（2）当轴时，求点M的坐标，并在图中标出点M；（3）若点M到y轴的距离为1，求点M的坐标．19.如图，小区有一块三角形空地，计划在这块空地上种三种不同的花卉，中间用石子小路，隔开．经测量，米，米，米，米．（1）求证：；（2）求的长；（3）若每米石子小路的造价为20元，求修小路，的最少花费．20.如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与x轴交于点A．（1）求的函数表达式；（2）将向下平移个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值．21.任意选取40名男生，随机分成甲、乙两个小组进行投篮测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（分数都是整数，且满分10分）．甲组成绩统计表成绩/分78910人数/人2873（1）甲组成绩的众数______________乙组成绩的众数（填“>”“<”或“=”）；（2）求乙组学生的平均成绩；（3）这40个学生成绩的中位数是______________分．22.“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元．（1）求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元；（2）该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元．23.【定理证明】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．在下面的虚框中补充该定理的证明过程；已知：如图，是的外角．求证：．证明：【问题解决】如图1，在中，若，则叫作的“三分线”．（1）如图2，在中，的三分线分别与的平分线交于点，若，，求的度数；（2）是的外角，的靠近的三分线与的三分线交于点P．若，，直接写出的度数（用含m的代数式表示）．24.在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，A地与C地的距离为320千米．乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后按原路原速返回B地并立即驶往C地，结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，图是两车距A地的距离y（单位：千米）与出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象（甲车的函数图象不完整）．（1）求乙车从B地到C地的行驶过程中y关于x的表达式（不写自变量的取值范围）；（2）甲车的速度为______________千米/小时；当______________时，甲车刚好到达C地；在图中补充甲车从A地到C地行驶过程中，y关于x的函数图象；（3）当两车从B地出发后，第一次相遇时，求相遇点与A地的距离；（4）乙车到达C地前，直接写出当两车之间相距100千米时x的值．

八年级第一学期期末考试数学（北师大版）本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟．选择题答题框涂卡注意事项：1．使用考试专用扁头2B涂卡铅笔填涂，或将普通2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂．2．涂卡时，将答题纸直接置于平整的桌面上，或将答题纸置于硬质垫板上填涂．一定不能将答题纸置于软垫或纸张上填涂．3．修改时用橡皮擦干净后，重新填涂所选项．4．填涂的正确方法：错误方法：注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是熟练掌握“一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个x叫做a的立方根”．【详解】解：，故选：A．2.某校举行健美操比赛，甲、乙、丙三个班各选10名学生参加比赛．若参赛学生的平均身高都是1.65米，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（）A.甲班 B.乙班 C.丙班 D.同样整齐【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】解：∵，，，∴，∴参赛学生身高比较整齐的班级是甲班．故选：A．3.下列语句中，不是命题的是()A.两点确定一条直线 B.垂线段最短C.同位角相等 D.作∠A的平分线【答案】D【解析】【分析】判断一件事情语句叫命题，以此进行判断．【详解】A.两点确定一条直线,是一个真命题；B.垂线段最短,是一个真命题；C.同位角相等，是一个假命题；D.作∠A的平分线，没有判断的意义，不是命题.故选D．【点睛】本题考核知识点：命题.解题关键点：理解命题的意义.4.解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组，解答本题的关键是熟练掌握消元的思想．根据消元的思想解答即可．【详解】解：将代入，消去后所得到方程是，去括号，得，故选：C．5.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算方法是解题的关键．根据二次根式加减法、乘除法的法则分别计算即可得到答案．【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误；B、，故选项B正确；C、，故选项C错误；D、，故选项D错误；故选：B．6.在正比例函数中，y的值随x值的增大而增大，则点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，根据正比例函数的性质可得，再根据各象限内点的坐标符号即可解答，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵正比例函数中，函数y的值随x值的增大而增大，∴，则，∴点在第二象限故选：B．7.一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质，可得，即可．【详解】解：如图，根据题意得：，∴．故选：C8.嘉嘉画了一个如图所示的四边形，若，，连接，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，在，中，根据勾股定理求解即可．【详解】解：在中，，在中，，故选：B．9.如图，在平面直角坐标系中，若点位于直线的下方，则a的值可能为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】本题考查一次函数的图象，把代入解析式，求出值，根据点，在直线的下方，得到的值小于时的函数值，即可得出结果．【详解】解：∵，∴当时，，∵点位于直线的下方，∴，∴的值可能是2；故选：D．10.对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（）已知：如图，．求证：．证明：作直线d分别与直线a，b，c相交．．A.①处为两直线平行，同位角相等 B.①处为同位角相等，两直线平行C.②处为同位角相等，两直线平行 D.②处为两直线平行，同位角相等【答案】C【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可．【详解】解：已知：如图，，．求证：．证明：作直线d分别与直线a，b，c相交．，（两直线平行，同旁内角互补），，，（同位角相等，两直线平行）．故选：C．11.如图描述了某班10名学生对课后延时服务的打分情况，下列判断不正确的是（）A.打分的众数为4分B.打分的平均数为3.2分C.去掉一个最高分和一个最低分后，中位数和众数都不会发生改变D.若该班有50名学生，估计打分为4分的有25人【答案】D【解析】【分析】本题考查扇形统计图，利用样本估计总体，平均数，众数和中位数，掌握计算方法是解题的关键．根据众数，中位数和平均数的计算方法解题即可．【详解】解：由扇形统计图可知，打分为5分的百分比为，从图中可知打4分的学生占比为，即打4分的人数最多，所以打分的众数为4分，故A选项正确；打分的平均数为分，故B选项正确；这组数据有10个（偶数个），所以中位数是第5、6个数的平均数，即分，去掉一个最高分和一个最低分后，中位数不会发生改变，故C选项正确；若该班有50名学生，估计打分为4分的有人，故D选项不正确；故选：D．12.在平面直角坐标系中，若点为直线l上一点，且满足，则称点M为直线l上的“姐妹点”．关于①、②，下列判断正确的是（）①直线上的“姐妹点”的坐标是；②直线上的所有点都是“姐妹点”A.①②都对 B.①②都不对 C.只有①对 D.只有②对【答案】A【解析】【分析】本题是一次函数综合题，属于新定义类题目，需要理解新定义，将“姐妹点”代入解析式即可求解．【详解】解：设直线上的“姐妹点”的坐标是，∴，则，即：，∵是直线上的点，∴，解得：，则，∴，故①正确；设直线上任意一点的坐标表示为是，则，即，∴直线上任意一点，满足，∴直线上的所有点都是“姐妹点”，故②正确；故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13.点关于轴对称的点坐标是____________．【答案】【解析】【分析】此题考查了关于轴对称的点的坐标，关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此进行解答即可．【详解】解：点关于x轴对称的点在第三象限，坐标是，故答案为：．14.若m为无理数，且，写出一个符合条件的m：______________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数即为无理数，据此即可作答．【详解】解：∵m为无理数，且，∴一个符合条件的m为（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）．15.《孙子算经》中有一道题，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；若将绳子对折再去测量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则列出的方程组为______________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设木长尺，绳子长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；若将绳子对折再去测量长木，长木还剩余1尺”，即可得出方程组．找准等量关系是解题的关键．【详解】解：设木长尺，绳子长尺，根据题意得，，故答案为：．16.小华发现弹簧的长度是所悬挂物体的质量的一次函数．当所悬挂物体的质量为时，弹簧的长度为，且质量m每增加，弹簧的长度L就增加．若弹簧所能拉伸的最大长度为，则所悬挂物体的质量m的最大值为______________．【答案】14【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意．根据题意，可以得到与的函数解析式，再令求出相应的的值，即可得所悬挂物体的质量m的最大值．【详解】解：质量m每增加，弹簧的长度L就增加，即：质量m每增加，弹簧的长度L就增加．∴所悬挂物体的质量为时，弹簧的长度为，设与的函数解析式为，，解得，∴与的函数解析式为，当时，，解得：，即：弹簧所能拉伸的最大长度为，则所悬挂物体的质量m的最大值为，故答案为：14．三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.按要求完成下列各小题．（1）计算：；（2）解方程组：．【答案】（1）7（2）【解析】【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据二次根式性质，二次根式混合运算法则进行计算即可；（2）用加减消元法进行计算即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：由得：，解得：，把代入②得，，解得：，∴方程组的解为．18.已知在平面直角坐标系中，点．（1）请在图中建立符合题意的平面直角坐标系；（2）当轴时，求点M的坐标，并在图中标出点M；（3）若点M到y轴的距离为1，求点M的坐标．【答案】（1）见解析（2），见解析（3）或【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系、坐标系中点特征、点到坐标轴的距离，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）根据点和点的坐标，得到平面直角坐标系三要素的位置，即可解答；（2）根据轴，得出点和点的纵坐标相同，求出的值即可解答；（3）根据点M到y轴的距离为1，得出，求出的值即可解答．【小问1详解】解：如图，建立平面直角坐标系如下：【小问2详解】解：轴，，，，解得：，，点M的坐标为，如图，点M的位置即为所求：【小问3详解】解：点M到y轴的距离为1，，，解得：或，当时，，；当时，，；点M的坐标为或．19.如图，小区有一块三角形空地，计划在这块空地上种三种不同的花卉，中间用石子小路，隔开．经测量，米，米，米，米．（1）求证：；（2）求的长；（3）若每米石子小路的造价为20元，求修小路，的最少花费．【答案】（1）见解析（2）9米（3）384元【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，运用等积法求垂线段的长是常用方法．（1）利用勾股定理逆定理得出是以为直角的直角三角形，即可证明结论；（2）用勾股定理求出的长；（3）要使得修小路，的花费最少，只需使的花费最少，即只需要的长度最小即可，即只需要的长度最小即可，由垂线段最短可知，此时，利用等积法求，根据铺设小路每米20元，列式计算即可解答．【小问1详解】证明：∵米，米，米．∴，则，∴是以为直角的直角三角形，∴；【小问2详解】由（1）可知，在中，由勾股定理得：米；【小问3详解】修小路的花费为元，要使得修小路，的花费最少，只需使的花费最少，即只需要的长度最小即可，由垂线段最短可知，此时，∴，即，∴（米），∴需花费（元）即：修建小路最少花费384元．20.如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与x轴交于点A．（1）求的函数表达式；（2）将向下平移个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质、坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键．（1）代入点到，利用待定系数法即可求解；（2）先求出点A坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设出的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值．【小问1详解】解：代入点，得，解得：，的函数表达式为．小问2详解】解：令，则，解得：，，点A关于y轴的对称点为，将向下平移个单位长度得到直线，设的函数表达式为，代入得，，解得：，n的值为2．21.任意选取40名男生，随机分成甲、乙两个小组进行投篮测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（分数都是整数，且满分10分）．甲组成绩统计表成绩/分78910人数/人2873（1）甲组成绩的众数______________乙组成绩的众数（填“>”“<”或“=”）；（2）求乙组学生的平均成绩；（3）这40个学生成绩的中位数是______________分．【答案】（1）=（2）分（3）8【解析】【分析】本题考查了众数、平均数、中位数，从统计图表中获取必要信息是解题的关键．（1）根据众数的定义即可解答；（2）先求出乙组总人数，再根据平均数的公式即可求解；（3）根据中位数的定义即可解答；【小问1详解】解：甲组成绩的众数为8分，乙组成绩的众数为8分，甲组成绩的众数乙组成绩的众数．故答案为：=．【小问2详解】解：乙组总人数为（人），乙组学生的平均成绩（分），乙组学生的平均成绩为分．【小问3详解】解：把这个学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是8和8，故中位数为（分），这40个学生成绩的中位数是8分．故答案为：8．22.“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元．（1）求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元；（2）该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元．【答案】（1）一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元（2）全部售出后共可获利1480元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．（1）设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答；（2）设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个，根据题意列出方程组，解出的值，再计算获利即可解答．【小问1详解】解：设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元，由题意得，，解得：，答：一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元．【小问2详解】解：设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个，由题意得，，解得：，购进干粉灭火器60个，购进消防自救呼吸器40个，全部售出后共可获利（元），答：全部售出后共可获利1480元．23.【定理证明】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．在下面的虚框中补充该定理的证明过程；已知：如图，是的外角．求证：．证明：【问题解决】如图1，在中，若，则叫作的“三分线”．（1）如图2，在中，的三分线分别与的平分线交于点，若，，求的度数；（2）是的外角，的靠近的三分线与的三分线交于点P．若，，直接写出的度数（用含m的代数式表示）．【答案】[定理证明]见解析；[问题解决]（1）；（2）或【解析】【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理；[定理证明]利用三角形内角和定理及邻补角的定义，即可证明结论；[问题解决]（1）由题意可知，，结合三角形的外角的性质，内角和定理求得，，，进而求得，，即可求解；（2）分两种情况：当为的靠近的三分线时，当为的靠近的三分线时，根据三角形的外角的性质，进行讨论求解即可．【详解】[定理证明]证明：如图，∵，又∵，∴．∴．[问题解决]（1）∵的三分线分别与的平分线交于点，，∴，，在中，由三角形的外角可知，，∴，，在中，由三角形的内角和定理可知，，∴，在中，由三角形的内角和定理可知，；（2）∵，，∴，∵为的靠近的三分线，∴，当为的靠近的三分线时，，则；当为的靠近的三分线时，，则；综上：或．24.在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，A地与C地的距离为320千