离散型随机变量的方差教案

离散型随机变量的方差教案一、教学目标1.知识与技能目标理解离散型随机变量方差的概念，能计算简单离散型随机变量的方差。掌握方差的性质，并能利用方差性质进行相关计算。理解方差与标准差的意义，能根据离散型随机变量的方差和标准差，比较两个随机变量的稳定性。2.过程与方法目标通过实例分析，经历方差概念的形成过程，培养学生观察、分析、归纳和类比的能力。在探究方差性质的过程中，让学生体会数学推理的严谨性，提高学生的逻辑思维能力。通过实际问题的解决，让学生感受方差在实际生活中的应用价值，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过对实际问题的研究，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。在小组合作学习中，培养学生的团队合作意识和交流能力，让学生体验成功的喜悦。

二、教学重难点1.教学重点离散型随机变量方差的概念和计算方法。方差的性质及其应用。2.教学难点方差概念的理解，体会方差是衡量离散型随机变量取值的稳定性的量。运用方差的性质解决实际问题。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合，通过实例引导学生自主探究离散型随机变量方差的概念和性质，让学生在合作交流中理解和掌握知识，提高能力。

四、教学过程

（一）导入新课1.复习回顾离散型随机变量的分布列及数学期望的概念。已知离散型随机变量\(X\)的分布列为：|\(X\)|\(x_1\)|\(x_2\)|\(x_3\)|||||||\(P\)|\(p_1\)|\(p_2\)|\(p_3\)|其数学期望\(E(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3\)。2.情境引入在一次射击比赛中，甲、乙两名射手各射击\(10\)次，命中环数如下：甲：\(8\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(6\)，\(5\)，\(9\)，\(10\)，\(4\)，\(7\)；乙：\(6\)，\(7\)，\(7\)，\(8\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(7\)，\(9\)，\(5\)。问甲、乙两人谁的射击水平更稳定？引导学生思考：仅通过平均环数（即数学期望）能否判断两人射击水平的稳定性？从而引出本节课的课题离散型随机变量的方差。

（二）新课讲授1.方差的概念设离散型随机变量\(X\)的分布列为：|\(X\)|\(x_1\)|\(x_2\)|\(x_3\)|\(\cdots\)|\(x_n\)|||||||||\(P\)|\(p_1\)|\(p_2\)|\(p_3\)|\(\cdots\)|\(p_n\)|则\((x_iE(X))^2\)描述了\(x_i\)与\(E(X)\)的偏离程度，而\(D(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_iE(X))^2p_i\)为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量\(X\)与其均值\(E(X)\)的平均偏离程度，我们称\(D(X)\)为随机变量\(X\)的方差。讲解方差概念时，结合之前射击比赛的例子，让学生理解方差是如何衡量数据的离散程度的。比如对于甲射手的射击环数，计算出其数学期望\(E(X)\)后，通过计算\((x_iE(X))^2\)（\(i=1,2,\cdots,10\)），再求加权平均得到方差\(D(X)\)，方差越大，说明数据越分散，射击水平越不稳定；方差越小，说明数据越集中，射击水平越稳定。强调方差的单位是随机变量单位的平方。2.方差的计算例1：已知离散型随机变量\(X\)的分布列为：|\(X\)|\(0\)|\(1\)|\(2\)|||||||\(P\)|\(0.3\)|\(0.5\)|\(0.2\)|求\(D(X)\)。解：首先计算\(E(X)=0\times0.3+1\times0.5+2\times0.2=0.9\)。然后根据方差公式\(D(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_iE(X))^2p_i\)，可得：\(D(X)=(00.9)^2\times0.3+(10.9)^2\times0.5+(20.9)^2\times0.2\)\(=(0.9)^2\times0.3+0.1^2\times0.5+1.1^2\times0.2\)\(=0.81\times0.3+0.01\times0.5+1.21\times0.2\)\(=0.243+0.005+0.242\)\(=0.49\)让学生自己动手计算，然后请几位同学上台展示计算过程，教师进行点评和纠正。例2：设随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=k)=\frac{1}{n}\)，\(k=1,2,\cdots,n\)，求\(D(X)\)。解：先求\(E(X)=\sum_{k=1}^{n}k\times\frac{1}{n}=\frac{1+2+\cdots+n}{n}=\frac{n+1}{2}\)。再求\(D(X)=\sum_{k=1}^{n}(k\frac{n+1}{2})^2\times\frac{1}{n}\)\(=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(k^2(n+1)k+(\frac{n+1}{2})^2)\)\(=\frac{1}{n}(\sum_{k=1}^{n}k^2(n+1)\sum_{k=1}^{n}k+n\times(\frac{n+1}{2})^2)\)由\(\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)，\(\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\)，代入可得：\(D(X)=\frac{1}{n}(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}(n+1)\times\frac{n(n+1)}{2}+n\times(\frac{n+1}{2})^2)\)经过化简可得\(D(X)=\frac{n^21}{12}\)。通过这个例子，让学生进一步熟悉方差的计算步骤，同时体会数学公式的推导过程。3.方差的性质性质1：\(D(aX+b)=a^2D(X)\)，其中\(a\)，\(b\)为常数。证明：设\(X\)的分布列为\(P(X=x_i)=p_i\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，则\(E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i\)。\(E(aX+b)=aE(X)+b\)。\(D(aX+b)=\sum_{i=1}^{n}[(ax_i+b)(aE(X)+b)]^2p_i\)\(=\sum_{i=1}^{n}(ax_iaE(X))^2p_i\)\(=a^2\sum_{i=1}^{n}(x_iE(X))^2p_i\)\(=a^2D(X)\)性质2：若\(X\)服从两点分布，则\(D(X)=p(1p)\)，其中\(p\)为成功概率。证明：设\(X\)的分布列为\(P(X=1)=p\)，\(P(X=0)=1p\)，则\(E(X)=1\timesp+0\times(1p)=p\)。\(D(X)=(1p)^2\timesp+(0p)^2\times(1p)\)\(=(12p+p^2)p+p^2(1p)\)\(=p2p^2+p^3+p^2p^3\)\(=p(1p)\)性质3：若\(X\simB(n,p)\)，则\(D(X)=np(1p)\)。证明：（可根据二项分布的性质和方差性质逐步推导，此处略）通过实例讲解方差的性质，如性质1：已知\(X\)的方差\(D(X)=2\)，求\(D(3X1)\)。解：根据\(D(aX+b)=a^2D(X)\)，可得\(D(3X1)=3^2\timesD(X)=9\times2=18\)。让学生完成一些利用方差性质计算的练习题，巩固所学知识。

（三）课堂练习1.已知离散型随机变量\(X\)的分布列为：|\(X\)|\(1\)|\(2\)|\(3\)|||||||\(P\)|\(0.2\)|\(0.5\)|\(0.3\)|求\(D(X)\)。2.设随机变量\(X\)服从两点分布，且\(P(X=1)=0.6\)，求\(D(X)\)。3.已知随机变量\(X\simB(5,0.4)\)，求\(D(X)\)。4.已知\(D(X)=4\)，求\(D(2X+3)\)。

（四）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容，包括离散型随机变量方差的概念、计算方法以及方差的性质。2.强调方差是衡量离散型随机变量取值稳定性的重要指标，方差越小，随机变量取值越稳定。3.让学生谈谈在本节课中的收获和体会，教师进行总结和补充。

（五）布置作业1.书面作业教材课后习题：第\(XX\)页第\(X\)、\(X\)、\(X\)题。已知离散型随机变量\(X\)的分布列为：|\(X\)|\(1\)|\(0\)|\(1\)|||||||\(P\)|\(\frac{1}{3}\)|\(\frac{1}{2}\)|\(\frac{1}{6}\)|求\(D(X)\)。2.拓展作业查阅资料，了解方差在其他领域的应用，并写一篇简短的报告。思考：如果两个离散型随机变量的均值不同，如何比较它们的稳定性？尝试给出一种方法。

五、教学反思通过本节课的教学，学生初步理解了离散型随机变量方差的概念，掌握了方差的计算方法和性质，并能运用方差解决一些简