直线与平面垂直的判定教学设计

直线与平面垂直的判定教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解直线与平面垂直的定义，能正确判断直线与平面垂直的位置关系。掌握直线与平面垂直的判定定理，并能运用定理证明直线与平面垂直。理解直线与平面所成角的概念，会求简单的直线与平面所成角。2.过程与方法目标通过对实例的观察、分析，抽象出直线与平面垂直的定义，培养学生的抽象概括能力。通过实验、探究，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理，培养学生的探究能力和逻辑推理能力。通过运用判定定理解决实际问题，提高学生运用知识解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标让学生亲身经历数学知识的形成过程，体验探索的乐趣，激发学生学习数学的兴趣。在教学过程中，培养学生的空间观念，渗透转化的数学思想，培养学生严谨的治学态度。

二、教学重难点1.教学重点直线与平面垂直的定义和判定定理的理解与应用。直线与平面所成角的概念及求法。2.教学难点对直线与平面垂直判定定理的理解，尤其是"两条相交直线"这一条件的理解。如何引导学生通过实验探究得出直线与平面垂直的判定定理。

三、教学方法讲授法、直观演示法、探究法、讨论法相结合。通过直观演示和实例分析，引导学生观察、思考、探究，让学生在自主探究与合作交流中掌握知识，提高能力。

四、教学过程

（一）导入新课1.展示图片：展示一些生活中直线与平面垂直的实例，如旗杆与地面、高楼大厦与地面等，让学生观察这些实例中直线与平面的位置关系，引出本节课的主题直线与平面垂直。2.提出问题：在日常生活中，你还能发现哪些直线与平面垂直的例子？你是如何判断一条直线与一个平面垂直的？通过这些问题，激发学生的兴趣，引导学生思考直线与平面垂直的定义。

（二）讲解新课1.直线与平面垂直的定义引导学生观察教材中给出的直线与平面垂直的实例，让学生感受直线与平面垂直的直观形象。提出问题：如何用数学语言来描述直线与平面垂直的定义呢？让学生思考并尝试回答。教师总结直线与平面垂直的定义：如果一条直线l与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。强调定义中的关键词"任意一条直线"，并通过实例让学生理解这一概念的重要性。例如，在教室里，让学生观察黑板的一条边与地面，虽然黑板的这条边与地面上的某些直线垂直，但不能说这条边与地面垂直，只有当这条边与地面上的任意一条直线都垂直时，才能说这条边与地面垂直。思考：如果一条直线与一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直吗？通过这个问题，加深学生对定义的理解，引导学生思考定义中"任意一条直线"与"无数条直线"的区别。2.直线与平面垂直的判定定理实验探究准备一个三角形纸片，过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）。提出问题：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？让学生动手操作，观察并思考。学生通过实验发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。分析实验引导学生分析折痕AD与桌面垂直的条件：当折痕AD垂直于BC时，由于桌面α内的直线BC与折痕AD垂直，根据直线与平面垂直的定义，只要平面α内有一条直线与折痕AD垂直，那么折痕AD就与平面α垂直。进一步分析：如果平面α内有两条直线与折痕AD垂直，折痕AD就一定与平面α垂直吗？通过这个问题，引导学生思考两条直线的位置关系对判定直线与平面垂直的影响。归纳定理教师引导学生归纳直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。用符号语言表示判定定理：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n=A，则l⊥α。强调定理中的"两条相交直线"这一条件的重要性，通过实例让学生理解如果两条直线不相交，即使它们都与另一条直线垂直，也不能保证这条直线与平面垂直。例如，在正方体中，一条棱与和它异面的两条棱都垂直，但这条棱并不与正方体的底面垂直。3.直线与平面所成角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。说明：当直线与平面垂直时，它们所成的角是直角。当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°。例1：在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，求直线A₁B与平面ABCD所成的角。分析：首先找到直线A₁B在平面ABCD上的射影，由于A₁B在平面ABCD上的射影是AB，所以∠A₁BA就是直线A₁B与平面ABCD所成的角。解：因为正方体的各棱长都相等，所以∠A₁BA=45°，即直线A₁B与平面ABCD所成的角是45°。通过例1，引导学生掌握求直线与平面所成角的一般步骤：找出直线在平面上的射影。确定斜线与射影所成的角。通过解三角形求出这个角的大小。

（三）课堂练习1.教材P66练习第1、2、3题。第1题：让学生根据直线与平面垂直的定义判断直线与平面的垂直关系，巩固对定义的理解。第2题：利用直线与平面垂直的判定定理判断直线与平面的垂直关系，提高学生运用判定定理的能力。第3题：求直线与平面所成的角，进一步熟悉求角的方法和步骤。2.补充练习已知直线a、b和平面α，下列推理中正确的是（）A.若a∥b，a⊥α，则b⊥αB.若a⊥α，b⊥α，则a∥bC.若a⊥α，a⊥b，则b∥αD.若a⊥α，b∥α，则a⊥b分析：根据直线与平面垂直的性质定理和判定定理对各选项进行分析。A选项：若a∥b，a⊥α，根据两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，可得b⊥α，该选项正确。B选项：若a⊥α，b⊥α，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得a∥b，该选项正确。C选项：若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，该选项错误。D选项：若a⊥α，b∥α，则a与b垂直，该选项正确。答案：ABD

（四）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容，包括直线与平面垂直的定义、判定定理、直线与平面所成角的概念及求法。2.让学生谈谈在本节课中的收获和体会，以及还存在哪些疑问。3.教师对学生的发言进行总结和补充，强调本节课的重点和难点，以及在学习过程中需要注意的问题。

（五）布置作业1.教材P67习题2.3A组第4、5、6题。第4题：根据直线与平面垂直的定义和判定定理，证明直线与平面的垂直关系，巩固所学知识。第5题：求直线与平面所成的角，进一步提高学生运用知识解决问题的能力。第6题：综合运用直线与平面垂直的知识解决实际问题，培养学生的应用意识和创新能力。2.思考：如果一个平面与另一个平面垂直，那么一个平面内的直线与另一个平面一定垂直吗？请举例说明。通过这个问题，引导学生进一步思考直线与平面垂直的相关知识，为下节课的学习做好铺垫。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对直线与平面垂直的定义和判定定理有了较为深入的理解，能够运用定义和判定定理解决一些简单的问题。在教学过程中，通过直观演示、实验探究等方式，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的观察能力、探究能力和逻辑推理能力。同时，注重引导学生思考问题，及时解决学生在学习过程中遇到的困难，取得了较好的教学效果。但在教学中也发现了一些不足之处，例如，在讲解直线与平面垂直的判定定理时，虽然通过实验探究让