选修2-1空间向量与立体几何教案

选修2-1空间向量与立体几何教案一、教学目标1.知识与技能目标理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。掌握空间向量的坐标表示，能进行空间向量的坐标运算。理解空间向量的数量积，掌握空间向量数量积的性质和运算律。能运用空间向量解决立体几何中的平行、垂直、夹角和距离等问题。2.过程与方法目标通过类比平面向量的知识，引导学生自主探究空间向量的相关概念和运算，培养学生的类比推理能力和探究能力。通过运用空间向量解决立体几何问题，让学生体会向量法在解决立体几何问题中的优势，提高学生的逻辑推理能力和运算能力。3.情感态度与价值观目标培养学生的空间观念和创新意识，激发学生学习数学的兴趣。通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。

二、教学重难点1.教学重点空间向量的概念、运算及其坐标表示。利用空间向量解决立体几何中的平行、垂直、夹角和距离问题。2.教学难点空间向量数量积的理解和应用。如何将立体几何问题转化为空间向量问题，并合理运用向量方法解决问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解空间向量的基本概念、运算和性质，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论立体几何问题的向量解法，激发学生的思维，培养学生的合作交流能力。3.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）通过回顾平面向量的知识，提问学生："平面向量在平面几何中有哪些应用？"引导学生回答平面向量可以用来解决平面几何中的平行、垂直、夹角和距离等问题。然后提出问题："在立体几何中，能否用类似的方法来解决问题呢？"从而引出本节课的主题空间向量与立体几何。

（二）讲解新课（30分钟）1.空间向量的概念（5分钟）讲解空间向量的定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。介绍空间向量的表示方法：可以用有向线段来表示，也可以用字母表示。强调空间向量的模：向量的大小叫做向量的模，记作|a|。2.空间向量的运算（10分钟）空间向量的加法、减法和数乘运算类比平面向量的运算，讲解空间向量的加法、减法和数乘运算的定义和运算法则。通过实例，让学生理解空间向量运算的几何意义。空间向量的坐标表示建立空间直角坐标系，讲解空间向量的坐标表示方法。引导学生掌握空间向量坐标运算的规律，如加法、减法、数乘运算的坐标表示。3.空间向量的数量积（10分钟）讲解空间向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则a·b=|a||b|cosθ。强调空间向量数量积的性质：a·a=|a|²。a⊥b⇔a·b=0。|a·b|≤|a||b|。讲解空间向量数量积的运算律：交换律：a·b=b·a。分配律：(a+b)·c=a·c+b·c。数乘结合律：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)。

（三）例题讲解（20分钟）1.例1：已知空间向量a=(1,2,3)，b=(2,0,1)，求：a+b。3a2b。a·b。|a|，|b|。cos〈a,b〉。解：a+b=(12,2+0,3+1)=(1,2,4)。3a2b=3(1,2,3)2(2,0,1)=(3+4,60,92)=(7,6,7)。a·b=1×(2)+2×0+3×1=1。|a|=√(1²+2²+3²)=√14，|b|=√((2)²+0²+1²)=√5。cos〈a,b〉=a·b/(|a||b|)=1/(√14×√5)=√70/70。目的：通过本题，让学生巩固空间向量的坐标运算和数量积运算。2.例2：已知正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F分别是棱BB₁、DC的中点，求证：AE⊥D₁F。证明：以D为原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系。则A(1,0,0)，E(1,1,1/2)，D₁(0,0,1)，F(0,1/2,0)。所以AE=(0,1,1/2)，D₁F=(0,1/2,1)。因为AE·D₁F=0×0+1×1/2+1/2×(1)=0，所以AE⊥D₁F。目的：让学生掌握利用空间向量证明线线垂直的方法，体会向量法在证明立体几何问题中的简洁性。3.例3：求异面直线AB与CD所成角的大小，其中A(2,1,3)，B(1,2,1)，C(1,1,2)，D(0,3,3)。解：AB=(12,2+1,13)=(1,3,2)，CD=(0+1,31,3+2)=(1,2,1)。cos〈AB,CD〉=|AB·CD|/(|AB||CD|)=|1×1+3×2+(2)×(1)|/(√((1)²+3²+(2)²)×√(1²+2²+(1)²))=4/(√14×√6)=2√21/21。所以异面直线AB与CD所成角的大小为arccos(2√21/21)。目的：让学生学会利用空间向量求异面直线所成角的方法，注意异面直线所成角的范围是(0,π/2]。

（四）课堂练习（15分钟）1.已知空间向量a=(3,1,2)，b=(1,2,1)，求：2a+b。a3b。a·b。2.已知长方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=4，AA₁=3，E是CC₁的中点，求证：AC₁⊥DE。3.求异面直线A₁B与AD₁所成角的大小，其中正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱长为1。

（五）课堂小结（5分钟）1.回顾空间向量的概念、运算及其坐标表示。2.总结利用空间向量解决立体几何问题的方法和步骤。3.强调空间向量数量积的应用和注意事项。

（六）布置作业（5分钟）1.已知空间向量a=(1,2,3)，b=(2,1,4)，求：3ab。a·b。|a+b|。2.已知三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，求：PB与AC所成角的大小。点P到平面ABC的距离。3.思考：如何用空间向量求二面角的大小？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对空间向量的概念、运算及其坐标表示有了较深入的理解，掌握了利用空间向量解决立体几何中平行、垂直、夹角和距离等问题的方法。在教学过程中，通过类比平面向量的知识，引导学生自主探究空间向量的相关内容，培养了学生的类比推理能力和探究能力。同时，通过例题讲解和课堂练习，让学生及时