选修2-2教案定积分

选修2-2教案定积分一、教学目标1.知识与技能目标理解定积分的概念，了解定积分的几何意义和物理意义。掌握定积分的基本性质，并能利用性质计算简单的定积分。理解微积分基本定理，会用牛顿莱布尼茨公式计算定积分。2.过程与方法目标通过求曲边梯形面积、变速直线运动路程等实例，经历从具体问题情境中抽象出定积分概念的过程，培养学生的抽象概括能力。在探究定积分性质和微积分基本定理的过程中，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法，提高学生的逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过定积分概念的形成过程，感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。在数学探究活动中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点定积分的概念、几何意义和基本性质。微积分基本定理及其应用。2.教学难点对定积分概念中"分割、近似代替、求和、取极限"四个步骤的理解。微积分基本定理的理解与证明。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合，多媒体辅助教学。

四、教学过程

（一）导入新课1.创设情境通过展示一段汽车行驶的视频，提出问题：如何计算汽车在某段时间内行驶的路程？已知汽车的速度函数\(v=v(t)\)，\(t\in[a,b]\)，速度随时间变化，不能直接用匀速直线运动的路程公式\(s=vt\)来计算。2.问题引导引导学生回顾求曲边梯形面积的方法，如在必修2中，我们用"分割、近似代替、求和、取极限"的方法求过抛物线\(y=x^2\)上一点\((1,1)\)的切线与坐标轴围成的图形的面积。类似地，对于汽车行驶路程问题，能否也采用类似的方法来求解呢？从而引出本节课的主题定积分。

（二）新课讲授1.定积分的概念实例分析以求曲边梯形的面积为例，设函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上非负、连续。分割在区间\([a,b]\)内插入\(n1\)个分点\(a=x_0\ltx_1\ltx_2\lt\cdots\ltx_{n1}\ltx_n=b\)，将区间\([a,b]\)等分成\(n\)个小区间\([x_{i1},x_i]\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，每个小区间的长度为\(\Deltax=\frac{ba}{n}\)。近似代替在每个小区间\([x_{i1},x_i]\)上，任取一点\(\xi_i\)，用\(f(\xi_i)\)代替该区间上的函数值，以\(f(\xi_i)\Deltax\)作为第\(i\)个小曲边梯形面积\(\DeltaS_i\)的近似值，即\(\DeltaS_i\approxf(\xi_i)\Deltax\)。求和将\(n\)个小曲边梯形面积的近似值相加，得到曲边梯形面积\(S\)的近似值\(S_n=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax\)。取极限当\(n\)趋向于无穷大时，上述和式的极限就是曲边梯形的面积\(S\)，即\(S=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax\)。归纳定义一般地，设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，用分点\(a=x_0\ltx_1\ltx_2\lt\cdots\ltx_{n1}\ltx_n=b\)将区间\([a,b]\)等分成\(n\)个小区间，每个小区间长度为\(\Deltax=\frac{ba}{n}\)，在每个小区间\([x_{i1},x_i]\)上取一点\(\xi_i\)（\(i=1,2,\cdots,n\)），作和式\(\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax\)，当\(n\rightarrow\infty\)时，如果和式的极限存在，我们把和式\(\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax\)的极限叫做函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的定积分，记作\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)，即\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax\)，其中\(f(x)\)叫做被积函数，\(x\)叫做积分变量，\([a,b]\)叫做积分区间，\(a\)叫做积分下限，\(b\)叫做积分上限。2.定积分的几何意义当\(f(x)\geq0\)时\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示由曲线\(y=f(x)\)，直线\(x=a\)，\(x=b\)以及\(x\)轴所围成的曲边梯形的面积。当\(f(x)\leq0\)时\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示由曲线\(y=f(x)\)，直线\(x=a\)，\(x=b\)以及\(x\)轴所围成的曲边梯形面积的相反数。当\(f(x)\)在\([a,b]\)上有正有负时\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示介于\(x\)轴、曲线\(y=f(x)\)以及直线\(x=a\)，\(x=b\)之间的各部分面积的代数和。例如，若\(f(x)\)在\([a,c]\)上\(f(x)\geq0\)，在\([c,b]\)上\(f(x)\leq0\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)，其中\(\int_{a}^{c}f(x)dx\)表示曲线\(y=f(x)\)在\([a,c]\)上与\(x\)轴围成的曲边梯形的面积，\(\int_{c}^{b}f(x)dx\)表示曲线\(y=f(x)\)在\([c,b]\)上与\(x\)轴围成的曲边梯形面积的相反数。通过多媒体展示不同情况下定积分的几何意义，帮助学生直观理解。3.定积分的物理意义变速直线运动的路程：如果物体做变速直线运动，速度函数为\(v=v(t)\)，那么在时间区间\([a,b]\)内物体所经过的路程\(s=\int_{a}^{b}v(t)dt\)。变力做功：如果物体在变力\(F(x)\)的作用下，沿\(x\)轴正方向从\(x=a\)移动到\(x=b\)，那么变力\(F(x)\)所做的功\(W=\int_{a}^{b}F(x)dx\)。结合具体的物理问题，如一个物体在变力\(F(x)=x^2+1\)（单位：\(N\)）的作用下，沿\(x\)轴正方向从\(x=1\)移动到\(x=3\)（单位：\(m\)），求变力所做的功，让学生进一步理解定积分的物理意义。4.定积分的基本性质性质1：\(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(k\)为常数）证明：设\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，则\((kF(x))^\prime=kf(x)\)。\(\int_{a}^{b}kf(x)dx=kF(b)kF(a)=k(F(b)F(a))=k\int_{a}^{b}f(x)dx\)性质2：\(\int_{a}^{b}[f(x)\pmg(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm\int_{a}^{b}g(x)dx\)证明：设\(F(x)\)，\(G(x)\)分别是\(f(x)\)，\(g(x)\)的一个原函数，则\((F(x)\pmG(x))^\prime=f(x)\pmg(x)\)。\(\int_{a}^{b}[f(x)\pmg(x)]dx=(F(b)\pmG(b))(F(a)\pmG(a))=(F(b)F(a))\pm(G(b)G(a))=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm\int_{a}^{b}g(x)dx\)性质3：\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）证明：设\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)F(a)\)，\(\int_{a}^{c}f(x)dx=F(c)F(a)\)，\(\int_{c}^{b}f(x)dx=F(b)F(c)\)。所以\(\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx=(F(c)F(a))+(F(b)F(c))=F(b)F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx\)通过实例让学生运用这些性质计算定积分，如计算\(\int_{1}^{2}(3x^2+2x)dx\)，利用性质\(2\)将其拆分为\(\int_{1}^{2}3x^2dx+\int_{1}^{2}2xdx\)，再利用性质\(1\)得到\(3\int_{1}^{2}x^2dx+2\int_{1}^{2}xdx\)，然后根据定积分的计算方法求解。5.微积分基本定理定理引入回顾前面用定义计算定积分的过程非常繁琐，是否有更简便的方法呢？通过一个具体例子来引导学生思考。已知物体做变速直线运动的速度函数\(v=t^2\)，\(t\in[0,1]\)，求物体在这段时间内行驶的路程\(s\)。计算过程按照定积分的定义计算：分割：将\([0,1]\)等分成\(n\)个小区间\([\frac{i1}{n},\frac{i}{n}]\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，\(\Deltat=\frac{1}{n}\)。近似代替：在\([\frac{i1}{n},\frac{i}{n}]\)上取\(\xi_i=\frac{i1}{n}\)，则\(\DeltaS_i\approxv(\xi_i)\Deltat=(\frac{i1}{n})^2\cdot\frac{1}{n}\)。求和：\(S_n=\sum_{i=1}^{n}(\frac{i1}{n})^2\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}(i1)^2=\frac{1}{n^3}\sum_{k=0}^{n1}k^2\)。利用\(\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)，可得\(S_n=\frac{1}{n^3}\cdot\frac{(n1)n(2n1)}{6}\)。取极限：\(s=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(n1)n(2n1)}{6n^3}=\frac{1}{3}\)。而如果我们知道物体运动的路程函数\(s(t)=\frac{1}{3}t^3\)，那么\(s(1)s(0)=\frac{1}{3}\times1^3\frac{1}{3}\times0^3=\frac{1}{3}\)。由此发现，对于函数\(v=t^2\)，它的定积分\(\int_{0}^{1}t^2dt\)的值等于其一个原函数\(s(t)=\frac{1}{3}t^3\)在积分上限\(1\)与积分下限\(0\)处函数值的差。定理内容一般地，如果\(f(x)\)是区间\([a,b]\)上的连续函数，并且\(F^\prime(x)=f(x)\)，那么\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)F(a)\)。这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式。为了方便，常把\(F(b)F(a)\)记作\(F(x)\vert_{a}^{b}\)。通过多个实例，让学生熟练运用微积分基本定理计算定积分，如计算\(\int_{0}^{2}(2x+3)dx\)，先求\(2x+3\)的一个原函数\(F(x)=x^2+3x\)，再根据定理计算\(F(2)F(0)=(2^2+3\times2)(0^2+3\times0)=10\)。

（三）课堂练习1.计算定积分\(\int_{1}^{3}(x^22x+1)dx\)。2.已知物体做变速直线运动的速度函数\(v=3t^2\)，\(t\in[0,2]\)，求物体在这段时间内行驶的路程。3.利用定积分的几何意义求\(\int_{0}^{2}\sqrt{4x^2}dx\)。

（四）课堂小结1.引导学生回顾定积分的概念，强调"分割、近似代替、求和、取极限"这四个步骤。2.总结定积分的几何意义和物理意义，以及在实际问题中的应用。3.回顾定积分的基本性质和微积分基本定理，强调它们在定积分计算中的重要性。

（五）布置作业1.书面作业计算定积分\(\int_{1}^{2}(3x^32x+5)dx\)。已知函数\(f(x)\)的图象如图所示，利用定积分的几何意义求\(\int_{0}^{2}f(x)dx\)。一物体在力\(F(x)=x^2+1\)（单位：\(N\)）的作用下沿\(x\)轴从\(x=1\)移动到\(x=3\)（单位：\(m\)），求力\(F(x)\)所做的功。2.拓展作业查阅资料，了解定积分在经济学、统计学等领域的应用，并撰写一篇简短的报告。思考如何用定积分的方法求不规则图形的面积，尝试自己设