25　第二阶段　层级一　解题指导1　数学方法在物理中的应用-2025版新坐标二轮专题复习与策略物理解析版

解题指导1数学方法在物理中的应用数学是解决物理问题的基本工具，应用数学知识解决物理问题是新课标高考中要求考查的能力之一，高中物理解题经常要用到的数学知识包括平面几何、函数图像、解三角形、不等式、数列、微积分初步等。借助数学方法，可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，能快速简捷地解决问题。因此，要特别注意物理问题和数学方法的有机结合，让学生能够熟练利用数学工具解决实际问题。应用1利用数学方法求解物理极值问题分析求解物理量在某物理过程中的极大值或极小值是很常见的物理问题，这类问题的数学解法有很多，主要有：三角函数极值法、二次函数极值法、不等式极值法等。1．二次函数法求极值二次函数：y＝ax2＋bx＋c(1)当x＝－b2a时，有极值ym＝4ac-b24a(若二次项系数a>0，y有极小值；若a(2)利用一元二次方程判别式求极值。若判别式Δ＝b2－4ac≥0有解，则可求某量的极值。[典例1]如图所示，在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节(取g＝10m/s2)。求：(1)运动员到达B点的速度与高度h的关系；(2)运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离Smax为多少？(3)若图中H＝4m，L＝5m，动摩擦因数μ＝0.2，则水平运动距离要达到7m，h值应为多少？[解析](1)由A运动到B过程：mg(H－h)－μmg·L＝12m解得vB＝2g(2)平抛运动过程：x＝vBt，h＝12gt解得x＝2H-μL-hh＝2当h＝－H-μL2×-1时，x有最大值，Smax＝L＋H－μ(3)由x＝2H-μL-hh＝2得h2－3h＋1＝解得h1＝3+52≈2.62m，h2＝3-5[答案](1)vB＝2gH-h-μL(2)H-μL2L＋H－μL【教师备选资源】(多选)如图所示，A、B两物体相距s，物体A以vA＝6m/s的速度向右匀速运动。而物体B此时的速度vB＝2m/s，向右做匀加速运动，加速度a＝2m/s2。欲让两物体相遇两次，则s可能的值为()A．1mB．2mC．4mD．6mAB[设经时间t，物体A、B相遇，位移满足xA－xB＝s，物体A做匀速直线运动的位移xA＝vAt，物体B做匀加速直线运动的位移xB＝vBt＋12at2，联立并代入数据可得t2－4t＋s＝0，根据该方程，欲让t有两解，则Δ＝b2－4ac＝16－4s＞0，即s＜4m，故C、D错误；将A、B代入计算可知，两解都为正值，故A、B正确。2．三角函数求极值y＝acosθ＋bsinθ＝a2令sinφ＝aa2+b2，则有y＝a2+b2(sinφcosθ＋cosφsinθ)＝a2+所以当φ＋θ＝π2时，y有最大值，且ymax＝a另外，为了将三角函数化为y＝sinθ和y＝cosθ形式，还常用到下列关系：y＝sinαcosθ±cosαsinθ＝sin(α±θ)y＝cosαcosθ∓sinαsinθ＝cos(α±θ)y＝2sinθcosθ＝sin2θ[典例2](多选)如图所示，质量为m的物块沿粗糙的水平面向右运动，现对物块施加一与水平方向夹角为θ、大小不变的力F(F大小未知)。通过调整θ角的大小，可以使物块做匀加速运动或匀减速运动。已知物块做加速运动时，加速度大小的最大值为33g，物块做减速运动时，加速度大小的最大值为3g，其中g为重力加速度的大小，物块与水平面间的动摩擦因数恒定。下列说法正确的是(A．θ＝0时，物块加速度的大小为6-3B．θ＝90°时，物块做匀速直线运动C．物块与水平面之间的动摩擦因数为3D．加速阶段当物块加速度最大时，θ＝30°BCD[恒力F斜向右上方时，物块做加速运动的加速度大小有最大值，设此时F与水平方向的夹角为θ1，根据牛顿第二定律有Fcosθ1－μ(mg－Fsinθ1)＝ma1，解得a1＝Fcosθ1+μsinθ1m－μg，建构函数f(θ1)＝cosθ1＋μsinθ1＝1+μ211+μ2·cosθ1+μ1+μ2sinθ1＝1+μ2(sinφcosθ1＋cosφsinθ1)＝1+μ2sin(φ＋θ1)，由数学知识可得f(θ1)最大值为1+μ2，所以a1max＝F1+μ2m－μg；恒力F斜向左下方时，物块做减速运动的加速度大小有最大值，设此时F与水平方向的夹角为θ2，根据牛顿第二定律有Fcosθ2＋μ(mg＋Fsinθ2)＝ma2，解得a2＝Fcosθ2+μsinθ2m＋μg，由数学知识同理可得a2max＝F1+μ2m＋μg，故a2max－a1max＝2μg，由题意可知a2max－a1max＝3g－33g，联立解得μ＝33，又由题意可得a1max＝F1+μ2m－μg＝33g，解得F＝mg，故θ＝90°时物块做匀速直线运动，θ＝0时有F－μmg＝ma，解得物块的加速度大小【教师备选资源】1．如图所示，一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，已知重力加速度大小为g，设小球的球心与O点的连线与竖直方向的夹角为θ，则地面对小车的静摩擦力的最大值为()A．12mg B．3C．54mg D．3B[设圆弧半径为R，地面对小车的摩擦力最大时小球的速度为v，对小球进行受力分析，如图所示。根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：12mv2＝mgRcosθ，又N－mgcosθ＝mv2R，解得小球对小车的压力为N＝3mgcosθ，其水平分量为Nx＝3mgcosθsinθ＝32mgsin2θ，根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为f＝Nx＝32mgsin2θ，可以看出：当sin2θ＝1，即θ＝45°时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为fm＝]2．如图所示，将光滑长平板的下端置于铁架台水平底座上的挡板P处，上部架在横杆上。横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与底座之间的夹角θ可变。将小物块由平板与竖直杆交点Q处静止释放，物块沿平板从Q点滑至P点所用的时间t与夹角θ的大小有关。若θ由30°逐渐增大至60°，物块的下滑时间t将()A．逐渐增大 B．逐渐减小C．先增大后减小 D．先减小后增大D[设P点与竖直杆的距离为l，则PQ＝lcosθ，对物块，根据牛顿第二定律，有mgsinθ＝ma，得a＝gsinθ，由x＝12at2得lcosθ＝12gsinθ·t2，得t＝4lgsin2θ，当2θ＝π2，即θ＝π3．均值不等式法求极值由均值不等式a＋b≥2ab(a>0，b>0)可知：(1)两个正数的积为定值时，若两数相等，和最小；(2)两个正数的和为定值时，若两数相等，积最大。[典例3]如图所示，一条全长为L、质量为M的柔软绳索，置于光滑水平桌面上。开始，有一段下垂在桌边，并从静止开始运动，重力加速度为g。试分析：当下垂部分多长时，绳的转折处O的张力最大？最大值是多少？[解析]设下垂部分长为x，O处张力为T。以全段绳为研究对象，根据牛顿第二定律，有a＝MgxLM＝xLg以(L－x)部分为研究对象，同理有T＝ML(L－x)a 由①和②式可得T＝MgL2(L－x)x 因为(L－x)＋x＝L，故当L－x＝x，即x＝L2时，其积最大，所以绳的转折处O的最大张力为Tm＝Mg[答案]L【教师备选资源】如图所示，相距2L的A、B两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q。在它们的中垂线上的C点，由静止释放一电荷量为q、质量为m的正试探电荷(不计重力)。则试探电荷运动过程中的最大加速度为()A．43kQq9C．3kQq9A[由对称性可知，在AB的中点受力为零，在AB中垂线上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。当q运动到中垂线上的D点时，由图可知，E1＝E2＝kQr2＝kQL2cos2θ，由平行四边形定则可得E＝2E1sinθ＝2kQL2cos2θsinθ，cos2θ·sinθ＝12cos2θ·cos2θ·2sin2θ，而cos2θ＋cos2θ＋2sin2θ＝2，当cos2θ＝2sin2θ时]应用2数学归纳法和数列法解决物理问题凡涉及数列求解的物理问题，都具有多过程、重复性的共同特点。但每一个重复过程均不与原来的完全重复，是一种前后有关联的变化了的重复。1．该类问题求解的基本思路(1)逐个分析开始的几个物理过程。(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)。(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解。2．无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用。(1)等差：Sn＝na1+an2＝na1＋n(2)等比：Sn＝a11-qn1-q[典例4]如图所示，两倾角均为θ的光滑斜面对接后固定在水平地面上，O点为斜面的最低点。一个小物块从右侧斜面上高为H处由静止下滑，在两个斜面上做往复运动。小物块每次通过O点时都会有动能损失，损失的动能为小物块当次到达O点时动能的5%。不计空气阻力，小物块从开始下滑到停止的过程中运动的总路程为()A．49HsinθB．39HsinθB[小物块第一次到达O点时，由动能定理可得mgH＝Ek，此时小物块运动的路程s1＝Hsinθ，第一次通过O点后动能Ek1＝95%Ek＝95%mgH，此时利用动能定理知小物块上升高度H1＝95%H，则第一次离开O点到第二次到达O点时运动的路程s2＝2H1sinθ＝95%2Hsinθ，同理第二次离开O点到第三次到达O点运动的路程s3＝(95%)22Hsinθ，…，故小物块运动的总路程s总＝s1＋s2＋…＋sn＝Hsinθ＋95%2Hsinθ＋(95%)22Hsinθ＋[典例5](多选)一列火车共有n节车厢，各节车厢质量相等，车厢之间间隙相等，间隙长度的总和为L，静止于水平长直轨道上。若第一节车厢以v0向第二节车厢运动，碰撞后连在一起运动，再与第三节车厢碰撞后连在一起运动，再与第四节车厢碰撞……，以此类推，直到n节车厢全部运动，则火车的最后速度v及整个过程所经历的时间t为(不计铁轨对车轮的阻力以及列车编组时的动力)()A．v＝v0n B．vC．t＝L2v0n-1 DAD[用v表示火车最后的速度，用m表示每节车厢的质量，由于轨道对车厢的阻力不计，所以由n节车厢组成的系统动量守恒，取第一节车厢原来的速度方向为正方向，则有mv0＝nmv，得v＝v0n，故A正确，B错误；相邻两车厢的间隙长度为ΔL＝Ln-1，设车厢间发生第1、2、…、k次碰撞后连在一起的车厢速度分别为v1、v2、…、vk，则有mv0＝2mv1，mv0＝3mv2，…，mv0＝(k＋1)mvk，解得v1＝12v0，v2＝13v0，…，vk＝1k+1v0，所以整个挂接过程所用时间为t＝ΔLv0+ΔLv1＋…＋ΔLvn-2＝ΔL应用3利用几何法分析物理问题1．矢量图和几何定理求极值利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“相似三角形的特性”“正(余)弦定理”等相关知识。(1)三角形相似法的应用在共点力平衡问题、运动的合成和分解、复合场的合成和分解以及几何光学等物理情境中，常会出现力三角形、速度三角形、位移三角形等矢量三角形和结构(长度)三角形相似的情况，准确作图、仔细观察、灵活选用相似三角形的边角关系是解题的关键。[典例6]如图所示，在水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一带正电的点电荷，不带电的小球A与带正电的小球B通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连，开始时系统在图示位置静止，OB⊥BC。若B球所带的电荷量缓慢减少(未减为0)，在B球到达O点正下方前，下列说法正确的是()A．A球的质量等于B球的质量B．此过程中，A球始终保持静止状态C．此过程中，点电荷对B球的静电力不变D．此过程中，滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小B[开始时，B球受力情况如图所示，由几何关系可知，mBg＞T，且T＝mAg，因此mB＞mA，故A错误；假设此过程中A球保持静止状态，由于B球所带的电荷量缓慢减少，B球缓慢下摆，受力平衡，根据三角形相似原理有TOB＝FBC＝mBgOC，由于mBg、OC、T均不变，则OB不变，假设成立，BC逐渐减小，静电力F逐渐减小，故B正确，C错误；由于轻绳拉力T不变，∠AOB逐渐减小，轻绳OA](2)正(余)弦定理的应用三角函数、正(余)弦定理反映了三角形边与角之间的定量关系。物理量在合成或分解时会构成矢量三角形，若为直角三角形，可直接用三角函数或勾股定理分析计算，若为斜三角形，则通常要用到正(余)弦定理分析求解。[典例7]如图所示，两个质量分别为3m、m的小圆环A、B用不可伸长的细线连着，套在一个竖直固定的大圆环上，大圆环的圆心为O。系统平衡时，细线所对的圆心角为90°，大圆环和小圆环之间的摩擦力及细线的质量忽略不计，重力加速度大小用g表示，下列判断正确的是()A．小圆环A、B受到大圆环的支持力之比是3∶1B．小圆环A受到大圆环的支持力与竖直方向的夹角为15°C．细线与水平方向的夹角为30°D．细线的拉力大小为32A[对A和B进行受力分析，根据平行四边形定则作出重力和支持力的合力，此合力的大小等于绳子的拉力的大小，设A、B所受的支持力与竖直方向的夹角分别为α和β，如图所示，根据正弦定理可以得到3mgsin45°＝FTsinα，mgsin45°＝FT'sinβ，由于FT＝F′T，α＋β＝90°，整理可以得到α＝30°，β＝60°，FT＝F′T＝62mg，再次利用正弦定理FNAsin180°-45°-30°＝3]2．几何学应用几何学是数学中关于形的科学。在物理学中，凡是涉及空间的问题，都与几何学有关。随着新高考改革的推进，为体现高考的选拔功能，近几年高考试题中常见情境正在从二维向三维转化，常见的有三维空间电场、磁场叠加，三维空间受力问题，粒子在空间中的偏转问题等多个知识点，综合性强，对科学思维的考查要求较高。下面分别从受力分析、空间电场、光的折射、粒子在空间中的偏转情境出发，给出解决立体空间问题的一般解题思路。(1)空间中的受力问题【教师备选资源】(2023·山东卷)餐厅暖盘车的储盘装置示意图如图所示，三根完全相同的弹簧等间距竖直悬挂在水平固定圆环上，下端连接托盘。托盘上叠放若干相同的盘子，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平。已知单个盘子的质量为300g，相邻两盘间距为1.0cm，重力加速度大小取10m/s2。弹簧始终在弹性限度内，每根弹簧的劲度系数为()A．10N/m B．100N/mC．200N/m D．300N/mB[根据胡克定律的推论ΔF＝k·Δx得mg＝3kΔx，解得k＝100N/m，B正确，A、C、D错误。][典例8]如图所示，一块倾角为30°的光滑斜面体的上表面abcd为正方形。现要使一质量为m的小滑块从斜面顶端a点由静止出发，沿对角线ac做匀加速直线运动，还需对小滑块施加一个平行于表面abcd的恒力F，重力加速度为g，则所有可能的F中最小的是()A．F＝14mg B．F＝2C．F＝12mg D．F＝2B[在斜面所在的平面内对滑块受力分析如图所示，当恒力方向与对角线ac垂直时，恒力最小，根据几何关系可知Fmin＝mgsin30°·sin45°＝24mg，故选项B](2)空间电场叠加[典例9]如图所示，匀强电场中有一圆锥，D是顶点，O为底面圆的圆心，AOB是底面圆的一条直径，C是底面圆上一点，∠CAB＝37°，∠ADB＝60°，底面圆的半径R＝5cm，A、B、C、D点的电势分别为φA＝28V、φB＝0、φC＝12V、φD＝(14＋103)V，sin37°＝0.6，则该电场的电场强度为()A．2V/cm B．12V/cmC．32V/cm D．23V/cmD[第一步：分析几何关系由几何关系得AC＝2Rcos37°＝8cm，CB＝2Rsin37°＝6cm，DO＝2Rsin60°＝53cm，O点的电势为φO＝φA+φ第二步：正交分解，求分电场强度将电场强度在三个互相垂直的方向上分解，有Ex＝φA-φCAC＝2V/cm，Ey＝φC-φBCB第三步：求合电场强度该电场的电场强度大小为E＝Ex2+Ey2+E(3)空间光路问题[典例10]如图甲所示为某透明介质材料制成的长方体棱镜，上下两面是边长为6R的正方形，棱镜高为2R，O、S分别为上下面的中心，在上表面处挖走一个以O点为球心、R为半径的半球，在S处放置一点光源，已知该材料的折射率为n＝2，只有上表面光线可以射出，光线射到其他面上均被吸收。图乙为俯视图，图丙为过S、O两点(平行于前侧面)的剖面图。则俯视图被照亮的区域的面积为()A．4πR2 B．83πRC．4-78πR2 D．83D[材料的折射率为n＝2，则由公式sinC＝1n解得临界角C＝45°①过S点作半圆的切线，切点为a，如图所示，则由几何关系得∠OSb＝30°，该光线不能从弧面射出但能从上表面射出，出射点为b，则Ob＝SOtan30°＝233R。作出刚好从上表面射出的光线Sd，射出点为d，临界角C＝45°，则Od＝SO＝2R，以O为圆心，半径分别为Od、Ob的圆构成的环形，环形面积为S1＝π(Od)2－π(Ob)2＝83π②作出刚好从弧面射出的临界光线，出射点为c，则∠OcS＝135°，在△OcS中由正弦定理得2Rsin135°＝Rsin∠cSO，解得sin∠cSO＝24，由余弦定理得SO2＝cO2＋Sc2－2cO·Sccos135°，解得Sc＝14-22R，过c点作SO的垂线，垂足为e，则ce＝Scsin∠cSO，解得ce＝7-14R，以e为圆心，ce为半径的圆的面积为S2＝π(ce)2＝4-78πR2，所以俯视图被照亮的区域面积为S＝(4)带电粒子在空间中的偏转问题[典例11]如图甲所示，在三维坐标系Oxyz中，0<x<d的空间内，存在沿y轴正方向的匀强电场，x>d的空间内存在沿x轴正方向的匀强磁场，荧光屏垂直x轴放置，其中心C位于x轴上并且荧光屏可以沿x轴水平移动。从粒子源不断飘出电荷量为q、质量为m的带正电粒子，加速后以初速度v0沿x轴正方向经过O点、电场进入磁场后打在荧光屏上。已知粒子刚进入磁场时速度方向与x轴正方向的夹角θ＝60°，忽略粒子间的相互作用，不计粒子所受重力。(1)求匀强电场中电场强度的大小E；(2)当粒子打到荧光屏后，沿x轴缓慢移动荧光屏，沿x轴正方向看去，观察到荧光屏上出现如图乙所示的荧光轨迹(箭头方向为荧光移动方向)，轨迹最高点P的y轴坐标值为53d6，求匀强磁场磁感应强度的大小B1以及荧光屏中心C初始位置可能的[解析](1)粒子在电场中运动时，有d＝v0tqE＝mavy＝3v0＝at解得匀强电场中电场强度的大小为E＝3m(2)粒子在电场中的偏转距离为y1＝vy粒子在磁场中运动的半径为R1＝y2－y1＝33根据qvyB1＝m解得B1＝3周期T＝2πmt′＝nT＝2πnd3v0(n＝0，1则荧光屏中心C初始位置可能的x轴坐标为x＝d＋v0t′＝d＋2πnd3(n＝0，1，2，[答案]13mv02qd(2)3mv0qdd＋2π应用4微积分思想在物理中的应用如图所示，阴影部分为曲边梯形的面积，所谓曲边梯形是指梯形的一条边不是“直”的而是弯曲的。由定积分的定义我们知道，解决定积分的应用问题常用“分割、近似、求和、取极限”来导出所求量的积分形式。求曲边梯形面积的方法与步骤1．分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为小曲边梯形；2．近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用矩形面积近似代替小曲边梯形面积；3．求和：把近似代替得到的每个小曲边梯形的面积求和；4．取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋于一个定值，即曲边梯形的面积。求随时间或位移变化的物理量在时间或空间上的累积所代表的物理量时，经常把变化过程分成无穷多个小段，然后累积求和，比如求变速直线运动的位移、变力的功、变力的冲量等。[典例