第六章 第4讲 功能关系 能量守恒定律

第六章机械能第4讲功能关系能量守恒定律单/击/此/处/添/加/副/标/题汇报人姓名Contents考点1功能关系的理解和应用考点2能量守恒定律的应用热点帮关注热点迁移应用练习帮练透好题精准分层目录01点击添加标题单击此处添加文本具体内容02点击添加标题单击此处添加文本具体内容

核心考点五年考情命题分析预测功能关系的理解和应

用2023：山东T4；2022：江苏T10；2019：全国ⅡT18功能关系在选择题中考查的频率比

较高，特别是功能关系中的图像问

题是高考的热点.预计2025年高考题

出题可能性较大，有可能会结合体

育运动等实际情境进行考查.能量守

恒定律可能会结合弹簧模型以计算

题形式考查.核心考点五年考情命题分析预测能量守恒定律的应用2023：浙江6月T18；2022：河北T9；2021：山东T18；2019：江苏T8功能关系在选择题中考查的频率比

较高，特别是功能关系中的图像问

题是高考的热点.预计2025年高考题

出题可能性较大，有可能会结合体

育运动等实际情境进行考查.能量守

恒定律可能会结合弹簧模型以计算

题形式考查.

考点1功能关系的理解和应用

1.对功能关系的理解(1)[1]

是能量转化的量度，做了多少功就有多少能量发生转化.(2)做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过[2]

⁠

来实现.功做功2.几种常见的功能关系及表达式力做功能的变化二者关系合力做功动能变化W＝[3]

＝ΔEk重力做功重力势能变化(1)重力做正功，重力势能减少；(2)重力做负

功，重力势能增加；(3)WG＝-ΔEp＝[4]

⁠

⁠弹簧弹力做功弹性势能变化(1)弹力做正功，弹性势能减少；(2)弹力做负

功，弹性势能增加；(3)W弹＝-ΔEp＝[5]

⁠

⁠Ek2-Ek1

Ep1-

Ep2

Ep1-

Ep2

力做功能的变化二者关系只有重力或系统

内弹力做功机械能

不变化机械能守恒，即ΔE＝[6]

⁠除重力和系统内

弹力之外的其他

力做功机械能

变化(1)其他力做多少正功，物体的机械能增加多少；(2)其他力做多少负功，物体的机械能减少多少；(3)W其他＝[7]

⁠0

ΔE

力做功能的变化二者关系一对相互作用的滑

动摩擦力的总功内能增加(1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负

功，系统内能增加；(2)摩擦生热Q＝[8]

⁠⁠电场力做功电势能变化(1)电场力做正功，电势能减少；(2)电场力做

负功，电势能增加；(3)W电＝-ΔEp＝[9]

⁠

⁠安培力做功电能变化W克安＝ΔE电，W安＝[10]

⁠fx相对

Ep1-

Ep2

-ΔE电

滑雪者沿斜面下滑时，判断下列关于滑雪者功能关系说法的正误.(1)合力对滑雪者做负功，滑雪者动能一定减小.

(

√

)(2)合力对滑雪者做正功，滑雪者机械能一定增加.

(✕)(3)滑雪者动能增加时，滑雪者机械能可能增加.

(

√

)(4)滑雪者重力势能的减少量等于滑雪者动能的增加量.

(✕)√✕√✕

命题点1功能关系的理解和简单应用1.[直线运动中功能关系的应用/多选]如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在

水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、

速度2m/s匀速行驶.已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，

重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力.下列说法正确的是(

ABD

)A.从M到N，小车牵引力大小为40NB.从M到N，小车克服摩擦力做功800JC.从P到Q，小车重力势能增加1×104JD.从P到Q，小车克服摩擦力做功700JABD

方法点拨两种摩擦力做功特点的比较类型静摩擦力做功滑动摩擦力做功能量的转化机械能只能从一个物体转移到

另一个物体，而没有机械能转

化为其他形式的能(1)一部分机械能从一个物体转移到另

一个物体.(2)一部分机械能转化为内能，此部分

能量就是系统机械能的损失量类型静摩擦力做功滑动摩擦力做功一对摩擦

力的总功一对静摩擦力所做功的代数和

总等于零一对滑动摩擦力做功的代数和总是负

值，总功W＝-Ffs相对，即发生相对滑动

时产生的热量做功情况两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功2.[曲线运动中功能关系的应用]由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛

物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示，图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮

弹的理想运动轨迹.O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为

落地点，b点为轨迹的最高点，a、c距地面高度相等，下列说法正确的是(

D

)A.到达b点时，炮弹的速度为零B.炮弹到达b点时的加速度为重力加速度gC.炮弹经过a、c两点时的速度大小相等D.炮弹由O点运动到b点的时间小于由b点运动到d点的时间D[解析]

命题点2功能关系中的图像问题分析3.[W-x图像/2023新课标/多选]一质量为1kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开

始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如

图所示.物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2.下列说法

正确的是(

BC

)A.在x＝1m时，拉力的功率为6WB.在x＝4m时，物体的动能为2JC.从x＝0运动到x＝2m，物体克服摩擦力做的功为8JD.从x＝0运动到x＝4m的过程中，物体的动量最大为2kg·m/sBC

4.[多种图像组合]如图所示，某一斜面与水平面平滑连接，一小木块从斜面由静止

开始滑下，滑到水平面上的A点停下，已知小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数

相同，取水平面为参考平面，则此过程中木块的重力势能Ep、动能Ek、机械能E和

产生的内能Q与水平位移x的关系图线错误的是(

C

)C

命题点3功能关系的综合应用5.[2021北京]秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆

动，等效“摆球”的质量为m，人蹲在踏板上时摆长为l1，人站立时摆长为l2.不计空

气阻力，重力加速度大小为g.(1)如果摆长为l1，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T的

大小.

(2)在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆

球”摆得越来越高.a.人蹲在踏板上从最大摆角θ1开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势

摆到另一边的最大摆角为θ2.假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，

通过计算证明θ2＞θ1.b.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大.随着摆动越来越

高，达到某个最大摆角θ后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿

势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能ΔEk

应满足的条件.

考点2能量守恒定律的应用

能量守恒定律(1)内容：能量既不会凭空[11]

⁠，也不会凭空消失，它只能从一种形式

[12]

为另一种形式，或者从一个物体[13]

⁠到另一个物体，在转化或

转移的过程中，能量的总量[14]

⁠.(2)表达式①E初＝[15]

，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和.②ΔE增＝[16]

，某种形式能量的增加量等于其他形式能量的减少量.产生转化转移保持不变E末

ΔE减

[答案]

BD

7.[单物体能量守恒/2021全国甲]如图，一倾角为θ的光滑斜面上有50个减速带(图中

未完全画出)，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无

动力小车(可视为质点)从距第一个减速带L处由静止释放.已知小车通过减速带损失

的机械能与到达减速带时的速度有关.观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻

减速带间的平均速度均相同.小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水

平地面，继续滑行距离s后停下.已知小车与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大

小为g.(1)求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；[答案]

mgdsinθ

[解析]

由能量守恒定律可知，小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时

损失的机械能等于小车在相邻减速带间重力势能的减少量，即mgdsinθ.

(2)求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；

(3)若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失

的机械能，则L应满足什么条件？

热点7

弹簧问题中的功能关系分析弹簧问题中的功能关系分析涉及力和运动关系的分析.由于弹簧弹力是变力，且做功

与弹性势能的变化相关联，因而此类比较抽象、复杂的问题成为高考命题的热点，

同时也是学习的难点.

1.[单物体弹簧问题/2023浙江1月]一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后

从跳台纵身而下.游客从跳台下落直到最低点过程中(

B

)A.弹性势能减小B.重力势能减小C.机械能保持不变D.绳一绷紧动能就开始减小[解析]

游客从跳台下落直到最低点过程中，游客的重力做正功，重力势能减小，B

正确；橡皮绳绷紧后形变量一直增大，弹性势能一直增大，A错误；橡皮绳绷紧后

的过程，橡皮绳的弹力做负功，因此游客的机械能减小，C错误；绳绷紧后游客先

加速后减速，因此游客的动能先增大后减小，D错误.B1232.[多物体弹簧问题/多选]如图所示，质量为M的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧

连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹

簧相连.现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，

当B下降到最低点时(未着地)，A对水平桌面的压力刚好为零.轻绳不可伸长，弹簧始

终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态.以下判断正确的是(

ACD

)A.M＜2mB.2m＜M＜3mC.在B从释放位置运动到最低点的过程中，B所受合力对B先做正

功后做负功D.在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的

功等于B机械能的减少量ACD123[解析]

钩码B释放后做简谐运动，根据简谐运动的对称性可知，B在最高点加速度

大小为g，所以在最低点加速度大小也为g.在最低点对B由牛顿第二定律有F-mg＝

ma，得F＝2mg，而B在最低点时物块A对水平桌面的压力刚好为零，可知A左侧轻绳

上拉力的竖直分力等于Mg，故M＜2m，A正确，B错误；B从释放位置到最低点的过

程中，速度先增大后减小，由动能定理可知，合力对B先做正功后做负功，故C正

确；由功能关系可知，B从释放位置到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等

于B机械能的减少量，故D正确.123

DA.弹簧的劲度系数为3000N/mB.整个过程中电梯的加速度一直在减小C.电梯停止在井底时受到的摩擦力大小为17000ND.电梯接触弹簧到速度最大的过程中，电梯和弹簧组成的系统损失

的机械能约为4600J123

123

1.[功能关系中的图像问题/2023浙江6月]铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气

阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E

随运动时间t的变化关系中，正确的是(

D

)ABCDD123

1232.[功能关系的应用/2022江苏]如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A连接

在一起，处于压缩状态.A由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块

B轻放在A右侧，A、B由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中A、B始终不分

离，当A回到初始位置时速度为零.A、B与斜面间的动摩擦因数相同，弹簧未超过弹

性限度，则(

B

)A.当上滑到最大位移的一半时，A的加速度方向沿斜面向下B.A上滑时，弹簧的弹力方向不发生变化C.下滑时，B对A的压力先减小后增大D.整个过程，A、B克服摩擦力所做的总功大于B的重力势能减少量B123[解析]

释放时刻，vA＝0，设斜面倾角为θ，A、B与斜面间的动摩擦因数为μ

123下滑过程，A对B的弹力方向只能沿斜面向上，设大小为FAB，在最高点时，设弹簧

弹力为F，规定沿斜面向下为正方向对AB：F＋(mA＋mB)gsinθ-μ(mA＋mB)gcosθ＝(mA＋mB)a对B：mBgsinθ-μmBgcosθ-FAB＝mBa

123所以在最高点处F＜0，沿斜面向上，弹簧依然处于压缩状态，弹力方向不发生变

化，在下滑过程中，F增大，FAB增大，B正确，C错误.

123

合力F合＝kx0-(mAgsinθ＋f)＝0，加速度为零，A错误.

整个过程，弹簧的弹性势能不变，B的重力势能减少，系统内能增加(摩擦生热).由

功能关系可知，A、B克服摩擦力做的功等于B的重力势能减少量，D错误.123

123(1)求B、C向左移动的最大距离x0和B、C分离时B的动能Ek；

123(2)为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值Fmin；

123(3)若三物块都停止时B、C间的距离为xBC，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B

克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与fxBC的大小；

[解析]

从B、C分离到B停止运动，设B的路程为xB，C的位移为xC，以B为研究对象，由动能定理得-W-fxB＝0-Ek以C为研究对象，由动能定理得-fxC＝0-Ek由B、C的运动关系得xB＞xC-xBC联立可得W＜fxBC123(4)若F＝5f，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图

像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值(用f、k、m表示)，不要求推

导过程.以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向.

123

所以C向右运动的a-x图像如下.123

1.一个人站立在商场的自动扶梯的水平踏板上，随扶梯向上加速，如图所示，则

(

D

)A.人对踏板的压力大小等于人所受到的重力大小B.人只受重力和踏板的支持力的作用C.踏板对人的支持力做的功等于人的机械能增加量D.人所受合力做的功等于人的动能的增加量D12345678910111213[解析]

人的加速度斜向上，将加速度分解到水平和竖直方向得ax＝acosθ，方向水

平向右，ay＝asinθ，方向竖直向上，水平方向受静摩擦力作用，f＝max＝ma

cos

θ，水平向右，竖直方向受重力和支持力，FN-mg＝masinθ，所以FN＞mg，故A、B

错误；除重力以外的力对物体做的功等于物体机械能的变化量，踏板对人的力除了

支持力还有摩擦力，运动过程中摩擦力也做功，所以踏板对人的支持力做的功不等

于人的机械能增加量，故C错误；由动能定理可知，人所受合力做的功等于人的动

能的增加量，故D正确.123456789101112132.[创新信息给予方式/2024广东惠州第一次调研/多选]如图为足球踢出后在空中运动

依次经过a、b、c三点的轨迹示意图，其中a、c点等高，b点为最高点，则足球

(

AC

)A.在运动过程中受到空气阻力的作用B.在b点的速度为0C.在a点的机械能比在b点的机械能大D.在a点的动能与在c点的动能相等AC12345678910111213[解析]

由于足球在ab段和bc段的轨迹不对称【注意：足球踢出后的运动过程，若

其仅受重力作用，那么形成的运动轨迹应该是抛物线的一部分，ab段和bc段的轨迹

应该是对称的】，因此足球在运动过程中受到空气阻力的作用，A对；b点为轨迹的

最高点，足球的速度水平向右，B错；足球从a点运动到b点的过程中，空气阻力对

足球做负功，足球的机械能减小，因此足球在a点的机械能大于在b点的机械能，C

对；足球在a点和c点的高度相同，重力势能相等，但足球从a点运动到c点的过程

中，空气阻力对足球做负功，足球的机械能减小，因此足球在a点的动能大于在c点

的动能，D错.12345678910111213

A.滑板爱好者下滑过程中机械能守恒CD12345678910111213

123456789101112134.如图所示，在高为h的粗糙平台上，有一个质量为m的小球，小球被一根细线拴在

墙上，小球与墙间有一根被压缩的轻质弹簧.当烧断细线时，小球被弹出，小球落地

时速度大小为v.对烧断细线到小球刚要落地的过程，下列说法正确的是(

D

)D12345678910111213

123456789101112135.[2024浙江名校联考]如今，因为气排球相对标准排球质量轻，打法多变，深受人

们喜爱.下列关于水平发球后球在空中运动过程中竖直方向的加速度a、水平方向的

速度v、动能Ek、机械能E的大小随运动时间t的变化关系中，可能正确的是(

D

)D12345678910111213[解析]

由题意，可知气排球在飞行过程中需要考虑空气阻力的作用，其运动轨迹

应为曲线，故可知在竖直方向上气排球的加速度应不是一个定值，水平方向也不可

能合力为零，做匀速运动，故A、B错误.由于气排球飞出后(开始一段时间内)，受

空气阻力的影响较大，合力对气排球做负功，可知出手后其动能将减小，故C错误.

根据功能关系可知，由于空气阻力对气排球做负功，则其机械能将减小，且由于气

排球的速度减小，可知空气阻力也将减小，即图像的斜率减小，故D符合题意.123456789101112136.如图，底端固定有挡板的斜面体置于粗糙水平面上，轻弹簧一端与挡板连接，弹

簧为原长时自由端在B点，一小物块紧靠弹簧放置并在外力作用下将弹簧压缩至A

点.物块由静止释放后，沿粗糙斜面上滑至最高点C，然后下滑，最终静止在斜面上.

若整个过程中斜面体始终静止，则下列说法正确的是(

B

)A.整个运动过程中，物块加速度为零的位置只有一处B.物块上滑过程中速度最大的位置与下滑过程中速度最大的位置

不同C.对整个运动过程，系统弹性势能的减少量等于系统内能的增加

量D.物块从A上滑到C的过程中，地面对斜面体的摩擦力大小先增

大再减小，然后不变B12345678910111213[解析]

物块沿斜面上滑时，加速度最初沿斜面向上，逐渐减小至零后再反向增

大，最终不变，当kx1＝f＋mgsinα时，物块的加速度为零，此时物块上滑的速度最

大；物块到达最高点后由C点开始从静止下滑，说明其重力沿斜面向下的分力大于

最大静摩擦力，物块经过B点后，弹簧对物块有沿斜面向上的弹力，当kx2＋f＝mg

sinα时，物块的加速度为零，此时物块下滑的速度最大.显然x1＞x2，说明物块上滑

过程速度最大的位置与下滑过程速度最大的位置不同，故A错误，B正确.易知物块

最终静止在斜面上的位置比A点高，故对整个运动过程，弹簧的弹性势能转化为内

能和物块的重力势能，所以系统内能的增加量小于弹簧减少的弹性势能，故C错误.12345678910111213物块从A上滑到B的过程中，弹簧的弹力逐渐减小，在物块的合力等于零之前，由牛

顿第二定律有

kx-f-mgsinα＝ma，a随着弹簧形变量x的减小而减小，方向沿斜面向

上，以斜面体、物块和弹簧整体为研究对象，知地面对斜面体的摩擦力

f地＝ma

cos

α，a减小，则f地减小；物块的合力等于零之后到B的过程，由牛顿第二定律有

f＋mg

sinα-kx＝ma，a随着x的减小而增大，方向沿斜面向下，以斜面体、物块和弹簧整体

为研究对象，知地面对斜面体的摩擦力

f地＝macosα，a增大，则f地增大；物块从B

运动到C的过程，物块的加速度不变，则由f地＝macosα知，f地不变.综上知，物块从

A上滑到C的过程中，地面对斜面体的摩擦力先减小再增大，然后不变，故D错误.123456789101112137.[2023福建莆田一中期中]如图所示，有三个斜面a、b、c，底边的长分别为L、L、

3L，高度分别为3h、h、h.某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别

沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端.三种情况相比较，下列说法正确的是

(

A

)A.因摩擦产生的热量3Qa＝3Qb＝QcB.因摩擦产生的热量4Qa＝3Qb＝QcC.物体到达底端的动能Eka＝3Ekb＝3EkcD.物体损失的机械能ΔEa＝3ΔEb＝ΔEcA12345678910111213

123456789101112138.[联系生产实践/2024广东惠州第一次调研/多选]图(a)是粮库工作人员通过传送带把

稻谷堆积到仓库内的情境，其简化模型如图(b)所示，工作人员把一堆稻谷轻轻地放

在以恒定的速度v顺时针转动的传送带的底端，稻谷经过加速和匀速两个过程到达传

送带顶端，然后被抛出落到地上.已知传送带的长度为L，与地面的夹角为θ，忽略空

气阻力，不计传送带两端轮子半径大小及稻谷厚度，重力加速度为g，以地面为零

势能面，对稻谷中一颗质量为m的谷粒P的说法正确的是(

ABC

)12345678910111213A.在匀速阶段，其他谷粒对谷粒P的作用力方向竖直向上[答案]

ABC12345678910111213

123456789101112139.[多选]如图甲所示，可视为质点的小球用长为L、不可伸长的轻绳悬挂于O点.现对

小球施加一水平恒力使其从静止开始运动，轻绳拉力大小FT随绳转过的角度θ变化

的图线如图乙所示，图中F0为已知量，重力加速度为g，下列说法正确的是(

BC

)A.小球到达最高点时的机械能最大C.小球运动过程中轻绳拉力的最大值为4F0BC12345678910111213

12345678910111213

12345678910111213

10.[2023辽宁]某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能.某次演练

中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v1＝80m/s时离

开水面，该过程滑行距离L＝1600m、汲水质量m＝1.0×104kg.离开水面后，飞机攀

升高度h＝100m时速度达到v2＝100m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开

始空中投水.取重力加速度g＝10m/s2.求：(1)飞机在水面滑行阶段的加速度a的大小及滑行时间t；[答案]

2m/s2

40s

解得a＝2m/s2又v1＝at解得t＝40s

12345678910111213

解得ΔE＝2.8×107J.(2)整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE.

[答案]

2.8×107J1234567891011121311.如图所示，在倾角为37°的斜面底端固定一挡板，轻弹簧下端连在挡板上，上端

与物块A相连，用不可伸长的细线跨过斜面顶端的定滑轮把A与另一物体B连接起

来，A与滑轮间的细线与斜面平行.已知弹簧劲度系数k＝40N/m，A的质量m1＝1

kg，与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，B的质量m2＝2kg.初始时用手托住B，使细线刚

好处于伸直状态，此时物体A与斜面间没有相对运动趋势，物体B的下表面离地面的

高度h＝0.3m，整个系统处于静止状态，弹簧始终处于弹性限度内.取重力加速度g

＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.(1)由静止释放物体B，求B刚落地时的速度大小.

12345678910111213

12345678910111213(2)把斜面处理成光滑斜面，再将B换成一个形状完全相同的物体C并由静止释放，发

现C恰好到达地面，求C的质量m3.

[解析]

由(1)分析同理可知换成光滑斜面，没有摩擦力，则从手放开C到C落地过程中以A、C和弹簧为系统，根据机械能守恒定律可得m3