重庆一诊数学试题及答案

重庆一诊数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共30分）

1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)的图像的对称轴是：

A.x=2

B.x=-2

C.y=2

D.y=-2

2.在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是：

A.75°

B.90°

C.105°

D.120°

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，d=2，则S10等于：

A.100

B.105

C.110

D.115

4.已知复数z=1+i，则|z|的值是：

A.1

B.√2

C.2

D.√3

5.下列不等式中，正确的是：

A.2x+3>5x-1

B.3x-2<2x+1

C.4x+5>3x+4

D.5x-3<4x+2

二、填空题（每题5分，共25分）

6.已知函数f(x)=2x-3，若f(2)=1，则x的值为______。

7.在等腰三角形ABC中，AB=AC，若BC=5，则底角B的度数是______。

8.已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则第5项an等于______。

9.已知复数z=1-2i，则z的共轭复数是______。

10.若不等式2x-3<5x+1成立，则x的取值范围是______。

三、解答题（每题15分，共45分）

11.（1）已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的图像的顶点坐标。

（2）求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值。

12.（1）已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=30°，求∠A的度数。

（2）若等腰三角形ABC的周长为10，求底边BC的长度。

13.（1）已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，求第n项an。

（2）求等比数列{an}的前n项和Sn。

四、解答题（每题15分，共45分）

14.（1）已知函数f(x)=√(x-2)+1，求f(x)的定义域。

（2）若f(x)在区间[2,4]上单调递增，求k的取值范围，其中f(x)=kx^2-4x+3。

15.（1）在三角形ABC中，AB=AC=6，∠B=60°，求三角形ABC的面积。

（2）若点D在边AC上，且AD=DC，求三角形ABC中∠ADC的度数。

16.（1）已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=-2，求前n项和Sn。

（2）若等差数列{an}的前10项和为S10，求第10项an。

五、应用题（每题15分，共30分）

17.一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，若要在2小时内到达目的地，请问汽车需要行驶的最短距离是多少？

18.一个长方形的长是宽的两倍，若长方形的周长是48厘米，求长方形的面积。

六、证明题（每题15分，共30分）

19.证明：对于任意实数x，不等式x^2-4x+3≥0恒成立。

20.证明：在任意三角形ABC中，边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2的充要条件是∠C是直角。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.A解析：函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴为x=-b/2a，代入a=1，b=-4，得x=2。

2.C解析：三角形内角和为180°，∠A+∠B+∠C=180°，代入∠A=60°，∠B=45°，得∠C=180°-60°-45°=75°。

3.A解析：等差数列前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=2，得S10=10(3+(3+9d))/2=100。

4.B解析：复数模长公式为|z|=√(a^2+b^2)，代入a=1，b=1，得|z|=√(1^2+1^2)=√2。

5.C解析：将不等式两边同时乘以x，得2x^2-5x+3>0，解得x<1/2或x>3/2，所以x的取值范围是x<1/2或x>3/2。

二、填空题答案及解析：

6.2解析：代入f(2)=1，得2*2-3=1，解得x=2。

7.75°解析：等腰三角形底角相等，∠B=∠C，∠B=30°，所以∠C=75°。

8.162解析：等比数列第n项公式为an=a1*q^(n-1)，代入a1=2，q=3，得an=2*3^(n-1)，第5项an=2*3^4=162。

9.1+2i解析：复数共轭公式为z*=a-bi，代入a=1，b=-2，得z*=1+2i。

10.x<-2解析：将不等式两边同时减去2x，得-3x<4，解得x>-4/3，所以x的取值范围是x<-2。

三、解答题答案及解析：

11.（1）顶点坐标为(2,-1)，解析：对称轴为x=2，代入x=2，得f(2)=-1，所以顶点坐标为(2,-1)。

（2）最大值为1，最小值为-1，解析：函数在区间[1,3]上单调递减，最大值在x=1时取得，最小值在x=3时取得。

12.（1）∠A=75°，解析：等腰三角形底角相等，∠B=∠C，∠B=30°，所以∠C=75°。

（2）BC=5，解析：等腰三角形底边长度为BC，所以BC=5。

13.（1）an=2*3^(n-1)，解析：等比数列第n项公式为an=a1*q^(n-1)，代入a1=2，q=3，得an=2*3^(n-1)。

（2）Sn=2*(1-3^n)/(1-3)，解析：等比数列前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，代入a1=2，q=3，得Sn=2*(1-3^n)/(1-3)。

四、解答题答案及解析：

14.（1）定义域为[2,+∞)，解析：根号内的表达式x-2必须大于等于0，所以x≥2。

（2）k的取值范围为k<-1或k>3，解析：将不等式两边同时平方，得kx^2-4x+3<0，解得x<1/2或x>3/2，所以k的取值范围为k<-1或k>3。

15.（1）三角形ABC的面积为9√3，解析：三角形面积公式为S=(1/2)*底*高，代入底BC=6，高为AB的平方根，得S=(1/2)*6*√3=9√3。

（2）∠ADC=30°，解析：等腰三角形底角相等，∠ADC=∠B=30°。

16.（1）Sn=-n^2+4n，解析：等差数列前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=-2，得Sn=-n^2+4n。

（2）an=3-2(n-1)，解析：等差数列第n项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=-2，得an=3-2(n-1)。

五、应用题答案及解析：

17.汽车需要行驶的最短距离为80公里，解析：速度=距离/时间，代入速度80公里/小时，时间2小时，得距离=80*2=160公里，所以汽车需要行驶的最短距离为80公里。

18.长方形的面积为72平方厘米，解析：长方形面积公式为S=长*宽，代入长=2*宽，周长48厘米，得2*(2*宽+宽)=48，解得宽=6厘米，长=12厘米，所以面积S=12*6=72平方厘米。

六、证明题答案及解析：

19.证明：对于任意实数x，不等式x^2-4x+3≥0恒成立。

证明过程：将不等式左边配方，得(x-2)^2-1≥0，因为平方总