重庆市南开中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页重庆市南开中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各式是分式的是（

）A． B． C． D．2．下列大模型标志中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．3．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则的长为（

）A． B． C．2 D．4．与最接近的整数是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过顶点，若，，则的值为（

）A．4 B．6 C．8 D．166．下列命题为真命题的是（

）A．同旁内角互补B．三角形的外角大于它的任意一个内角C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形7．用圆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个圆，第②个图案中有个圆，第③个图案中有个圆，，按此规律，若第个图案中有个圆，则的值为（

）A．9 B．10 C．11 D．128．如图，在中，，以为直径作半圆，分别与，交于，两点，点为圆心，连接，，，若，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．9．如图，在正方形中，，分别为边和上的点，且，连接，，过作交于，过作交于，交延长线于，若，则的度数为（

）A． B． C． D．10．已知：，，下列说法：①当时，的值为或；②若关于的方程恰有3个不同的实数根，则的值为3；③无论取任何实数，关于的函数的最小值都不可能是8．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题11．单项式的系数为．12．一个不透明的箱子里装有红，白两种颜色的小球共4个，它们除颜色外其他均相同，若摸出1个小球恰好是白色小球的概率为，则同时摸出2个小球都是红色小球的概率为．13．如图，在四边形中，，的平分线交于点，连接和，，，若，，则．14．关于的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为．15．如图，是的直径，弦交于点，，弦于点，连接，．若，则，．16．一个四位数各数位上的数字互不相等且均不为0，若将的千位数字和百位数字组成的两位数与的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数，，是“方数”，则最大的“方数”是，若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的最大值与最小值的差是．三、解答题17．计算：(1)；(2)先化简，再求值：，其中．18．2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，．名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，．名同学对《哪吒2》评分统计表性别平均数众数中位数方差满分占比女生男生根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中的________，________，________；(2)根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可）(3)我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？19．米小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：(1)如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法）(2)求证：四边形是矩形．证明：四边形是菱形，，①__________．．，②__________．，③__________．四边形是平行四边形，④__________．四边形是矩形．米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形，其余作图过程均不变，则四边形的形状是⑤__________．20．米小果等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多个，购买哪吒手办共需元，敖丙手办共需元．(1)求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？(2)经由米小果的争取，商家同意哪吒手办的单价降低元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了个，最终总费用比原计划多了元，求的值．21．如图1，在中，，，，为上一点，，动点从出发，沿方向运动，到达点时停止运动，连接，，设点走过的路程为，的面积为．(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，请直接写出常数的取值范围．22．寒假期间，小明和小亮相约在公园进行跑步练习，两人从公园大门出发，准备沿路线跑到终点，一起跑到点后，小明体力不支，准备走近路，小亮则继续按原计划路线行进，已知点在点的东北方向米处，点在点的正东方向，米，点在点的正东方向，点在点的北偏东方向上．（参考数据：，，）(1)求的长度；（结果保留根号）(2)同时离开点后，小明的速度是每分钟米，小亮的速度是每分钟米，请通过计算说明，离开点多少分钟后，小亮已跑过点且在小明的南偏东方向上？（结果精确到）23．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，．(1)求该拋物线解析式；(2)如图1，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交于D，点E为直线上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值；(3)如图2，将拋物线绕点旋转得到新拋物线，M为新抛物线对称轴上一点，将沿射线方向平移，在平移过程中，若存在平移后的三角形恰有两个顶点同时落在新拋物线上，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程．24．如图，为等边三角形，D为中点，过点A作线段，连接，交于点G，连接，交于点H，且．(1)如图1，若，，，求的长；(2)如图2，连接，过D作于M，若，求证：；(3)如图3，，，连接，M为直线上一动点，将绕点H逆时针旋转至，连接，当取最小值时，直线上方存在一点N，使得，连接，请直接写出的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《重庆市南开中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷》参考答案题号12345678910答案DABBCDCADA1．D【分析】本题考查了分式的定义，即一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义进行判断即可．【详解】解：A.是整式，不符合题意；B.是整式，不符合题意；C.是整式，不符合题意；D.是分式，符合题意；故选：D．2．A【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】解：选项A找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，所以不是轴对称图形，故选：A．3．B【分析】本题考查了相似图形的性质，位似图形与相似图形的关系．根据位似图形的性质，得到，根据相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，∴∴，∵，，，∴，解得：，故选：B．4．B【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键．【详解】解：∵∴∴，∴与最接近的整数是故选：B．5．C【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及反比例函数的几何意义，过点作轴于点，根据等腰三角形的性质以及反比例函数的几何意义，可得，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作轴于点，∵，轴∴∴∴，故选：C．6．D【分析】本题考查的是真假命题的判断，行线的性质，三角形的外角，垂线的性质，平行四边形的判定定理，掌握以上知识是解题的关键．根据平行线的性质，三角形的外角，垂线的性质，平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：A.两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意；B.三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，原命题是假命题，故该选项不符合题意；C.同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题，故该选项不符合题意；D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是真命题，故该选项符合题意．故选：D．7．C【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．根据前3个图中的个数找到规律，得出第n个图案中圆圈的个数为：个圆圈，根据题意再求解．【详解】解：第①个图案中有个圆圈，第②个图案中有个圆圈，第③个图案中有个圆圈，...，则第个图案中圆圈的个数为：个圆圈，第个图案中有个圆，则，解得：故选：C．8．A【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，扇形面积的计算；根据已知得出，根据，得出，进而根据三角形内角和定理以及平角的定义得出，再根据半圆的面积减去三角形的面积即可求解．【详解】解：∵在中，，∴又∵∴∴∴∴图中阴影部分的面积故选：A．9．D【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理的应用；过点作于点，设交于点，得出，证明，得出，根据三角形内角和定理得出，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，设交于点，∵四边形是正方形，∴，，∴∴，∵，，∴∴∵，∴又∵∴∴故选：D．10．A【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．解方程或，即可判断①，画出函数图象，可得恰有3个不同的实数根，则必过原点或，得出或，即可判断②，求得最小值，解方程即可判断③．【详解】解：①，∴或，∴或解得：或或；故①不正确，②如图所示，，若恰有3个不同的实数根，则必过原点，或∴或解得：或，故②不正确③最小值为当解得：或，故③不正确；故选：A．11．【分析】此题考查单项式的系数定义，熟记定义并应用解答问题是关键．单项式中的数字因数是单项式的系数，根据定义即可得到答案．【详解】解：单项式的系数为，故答案为：．12．/【分析】本题考查了概率公式，列表法求概率；根据概率公式得出白色小球有个，则红色小球个，进而列表法求同时摸出2个小球都是红色小球的概率，即可求解．【详解】解：∵一个不透明的箱子里装有红，白两种颜色的小球共4个，摸出1个小球恰好是白色小球的概率为，∴白色小球有个，则红色小球个，列表如下白红红红白白红白红白红红白红红红红红红白红红红红红红白红红红红红共有12种等可能结果，其中摸出2个小球都是红色小球的共有6种，所以摸出2个小球都是红色小球的概率为故答案为：13．【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理；取的中点，以为直径作，根据题意可得在上，根据角平分线的定义可得，则即可得出，进而证明，得出，在中，勾股定理，即可求解．【详解】解：如图所示，取的中点，以为直径作，∵，∴∴在上∵平分∴∴∴∴又∵∴∴又∵∴∴∴在中，故答案为：．14．【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于的分式方程有整数解，得出，，即可得解．【详解】解：解不等式组得，∵不等式组有解且最多有3个整数解，∴，解得：，解关于的分式方程得，∵关于的分式方程有整数解，∴或或或或或∵为整数，且，，∴∴，那么符合条件的所有整数的和为，故答案为：．15．【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，弧与圆周角的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键；连接，先证明四边形是平行四边形，进而证明得出，连接，，过点作得出，在，中，勾股定理表示出，进而建立方程，解方程，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，设，∵是直径∴∴又∵∴∴∵∴四边形是平行四边形，∴∵∴∴∵，设，则∴又∴解得：∴，如图所示，连接，，过点作∵∴∴∴∴∴在中，，在中，∴解得：（负值舍去）∴故答案为：，．16．【分析】本题考查了完全平方数，整式的加减，二元一次方程组的解，整除；根据题意最大的方数前两位为，再找，根据，求得最大的“方数”；根据①各数位上的数字互不相等且均不为0；②是的倍数，③是一个完全平方数，得出，进而找到最大的和最小的，即可求解．【详解】解：依题意，一个四位数各数位上的数字互不相等且均不为0，最大的方数前两位为，又∵，∴∴是最大的“方数”；∵是的倍数，∴是的倍数，当时，不是的倍数，∵是一个“方数”，则即是一个完全平方数，各数位上的数字互不相等且均不为0，∴当时，或经检验，，，满足且是的倍数，则最大为当时，，经检验，没有满足条件的值，当时，，经检验，没有满足条件的值，当时，，经检验，，，满足且是的倍数，则最小为∴满足条件的最大值与最小值的差是故答案为：，．17．(1)(2)；【分析】本体考查了实数的混合运算，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键；（1）根据二次根式的性质化简，根据零指数幂与负整数指数幂进行计算即可求解；（2）先根据分式的混合运算进行计算，再将代入化简结果进行计算即可求解．【详解】（1）解：（2）解：当时，原式．18．(1)，，(2)男生更喜欢《哪吒2》，理由见解析(3)【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据中位数，众数的定义求得，进而得出评分在的人数，求得的值；（2）根据中位数和众数分析，即可求解；（3）用和分别乘以评分在D组的占比，即可求解．【详解】（1）解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，．出现最多，则，根据统计表可得满分的有人，则中位数为第和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，．则按从小到大排列，第个数据为，第个数据为，则根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为，∴评分分数为和的人数都是人∴，则故答案为：，，．（2）男生更喜欢《哪吒2》，理由如下：根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》（3）（人）19．(1)见解析(2)；；；；菱形【分析】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，作一个角等于已知角，熟练掌握以上知识是解题的关键；（1）根据题意用尺规在右侧作，在上截取，并连接，即可求解．（2）根据菱形的性质与矩形的判定定理完成填空，进而根据矩形的性质与菱形的判定定理证明是菱形，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，（2）证明：四边形是菱形，，．．，．，．四边形是平行四边形，．四边形是矩形．米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形，其余作图过程均不变，则四边形的形状是菱形，理由如下四边形是矩形，，．，．，．四边形是平行四边形，．四边形是菱形．20．(1)哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元；(2)的值为【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；（1）设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；（2）由（1）得出计划购买敖丙手办个，哪吒手办个，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程，即可求解．【详解】（1）解：设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得，解得：经检验是原方程的解，且符合题意，（元）答：哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元；（2）解：由（1）可得计划购买敖丙手办个，哪吒手办个据题意得，解得：或（舍去）答：的值为21．(1)(2)见解析(3)或【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，动点问题的函数图象：（1）先利用勾股定理求出，则，再分点P在和上两种情况，过点作于，解直角三角形求出，进而根据三角形面积计算公式求解即可；（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可；（3）根据（2）的图象，分两种情况讨论，进行求解即可．【详解】（1）解：∵在中，，，，∴，∴，∵∴；当，即点在上时，过点作于，由题意得：，∴，∴；当，即点在上时，∴∴；综上所述，；（2）解：列表格如下：x026y60如图所示，即为所求；由函数图象可知，当时，y有最大值；（3）如图所示，当经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，即，解得当经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，即，解得根据函数图象，可得当时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点，综上所述：或时，一次函数的图象与的图象有且仅有个交点22．(1)米(2)分钟【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角以及三角函数的定义是解题的关键；（1）过点作于点，过点作于点，分别求得，即可求解；（2）小亮和小明分别位于点，设分钟后，小亮已跑过点且在小明的南偏东方向上，根据题意得出，进而表示出两人的路程，建立方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，依题意，四边形是矩形，，∴，在中，，∴，在中，，在中，∴（米）（2）如图所示，小亮和小明分别位于点，设分钟后，小亮已跑过点且在小明的南偏东方向上，依题意，，∴∴，设在中，，∴小明的路程为：，即，解得：小亮的路程为：即解得：分钟23．(1)(2)的最小值为(3)的坐标为或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出，得出，进而可得，求出直线的解析式为，作于，则，设，则，，表示出，由二次函数的性质可得当时，的值最大，为，此时，作直线于，直线于，直线于，求出，得到，由两点直线线段最短并结合垂线段最短可得，当、、在同一直线上，且直线时，的值最小，为，即可得解；（3）求出新抛物线的解析式为，得出新抛物线的对称轴为直线，再分两种情况：当平移后的的直角边在新抛物线上时，此时直线交新抛物线的对称轴于；当平移后的的斜边在新抛物线上时，此时直线交新抛物线的对称轴于；分别求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：在中，当时，，即，∴，∴，设直线的解析式为，将，代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为，如图，作于，则，∵点P是直线下方抛物线上一动点，∴设，则，∴，，∴，∵，∴当时，的值最大，为，此时，即，作直线于，直线于，直线于，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，由两点直线线段最短并结合垂线段最短可得，当、、在同一直线上，且直线时，的值最小，为，∴的最小值为（3）解：∵，∴原抛物线的顶点坐标为，∵将拋物线绕点旋转得到新拋物线，∴新抛物线的顶点坐标为，∴新抛物线的解析式为，即，∴新抛物线的对称轴为直线，如图，当平移后的的直角边在新抛物线上时，此时直线交新抛物线的对称轴于；由平移的性质可得，∴点的横坐标为，∴点的纵坐标为，即，设直线的解析式为，将代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为，当时，，即；如图，当