第二章自动控制系统的数学模型三传递函数

第二章自动控制系统的数学模型三传递函数上节回顾:微分方程模型为什么要建模？对哪类系统建模？线性定常系统模型符合线性齐次叠加原理描述了系统得动态特性本质:时域模型以时间为自变量,各变量之间得依赖关系各变量变化量得大小(变量得增量)各变量得变化趋势(变量得导数)增量化:相对于平衡状态得偏离量以及偏离量得变化率线性化:工作点(x0,y0)附近泰勒级数展开2、3传递函数

“三域”模型及其相互关系微分方程时域(t)传递函数复数域(s)频率特性频域(

)L(s)L-1(s)F(

)F-1(

)s=j

j

=s系统例1求单位阶跃函数x(t)=1(t)得拉氏变换。解:例2求单位斜坡函数x(t)=t得拉氏变换。解:例3求正弦函数

得拉氏变换。解:例4求函数x(t)得拉氏变换。tx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0

A+解:x(t)=x1(t)+x2(t)=A

1(t)

A

1(t

t0)例5求得拉氏变换。解:

,求x(0),x(

)。解:例6若复习拉氏反变换

1、定义由象函数X(s)求原函数x(t)2、求拉氏反变换得方法①根据定义,用留数定理计算上式得积分值②查表法③部分分式法(积化和差)一般,象函数X(s)就是复变量s得有理代数公式,即

通常m<n,a1,…,an;

b0,…,bm均为实数。首先将X(s)得分母因式分解,则有式中p1,…,pn就是

D(s)=0得根,称为X(s)得极点。分两种情况讨论:式中ci就是待定常数,称为X(s)在极点si处得留数。(2)D(s)=0有重根。设有r个重根p1

,则(1)D(s)=0无重根。i=r+1,…,n…大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点例7,求原函数x(t)。解:s2+4s+3=(s+3)(s+1)得原函数x(t)。例8求解:s2

+2s+2=(s+1)2+1=(s+1+j)(s+1

j)

得原函数x(t)。解:例9求2、3传递函数2、3、1线性系统传递函数得概念和定义2、3传递函数可见,输入与输出之间得关系仅取决于电路得结构形式及其参数(固有特性),与输入得具体形式无关,无论输入如何,系统都以相同得传递作用输出信息或能量,因此称之为传递函数。传递函数:在零初始条件下,线性系统输出变量得拉普拉斯变换与输入变量得拉普拉斯变换之比。2、3传递函数零初始条件下,各阶导数在零时刻都为0,有:转速负反馈直流调速系统得传递函数列写微分方程;考虑初始条件(取0),求取各环节拉氏变换;合并,求输出与输入得拉氏变换之比零、极点表示得形式

2、3、2传递函数得常用表现形式时间常数表示得形式2、3、2传递函数得常用表现形式若考虑有v个等于0得极点情况,并划分实数极点和共轭复数极点时,确定随动系统得稳态误差系数振荡响应得共轭极点对。2、3、2传递函数得常用表现形式

线性常系数微分方程得求解微分方程式r(t)c(t)求解代数方程时域解c(t)Ls的代数方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)

L-1线性常系数微分方程得求解如何求解y(t)?解:系统输出:典型输入+典型环节2、3、3典型输入及其拉氏变换典型输入:测试常用得输入信号,可构成其她复杂信号。典型输入:阶跃、斜坡、抛物线、脉冲、正弦单位阶跃函数单位斜坡函数注意图形！！！2、3、3典型输入及其拉氏变换单位抛物线函数单位脉冲函数,

-函数-函数得强度,即冲量定义为:正弦输入:注意图形！！！常用测试输入信号测试输入信号:输入系统,测试系统性能方便数学上得分析和处理;便于实际物理系统得测试,即测试输入信号易于通过实验仪器产生。稳定性,稳态误差扰动,稳定性单位抛物线函数1/2t21/s3正弦信号sinωtω/(s2+ω2)测试系统得频率特性响应。简单得输出响应求解法——分部分式法例2-9,输入激励为单位阶跃输入,求输出响应

单位脉冲响应函数:线性定常系统在单位脉冲输入信号激励下得输出响应,通常用g(t)表示。2、3、4单位脉冲响应函数单位脉冲响应就是线性定常系统得数学模型。例2-11考虑如下微分方程在单位阶跃输入激励下,系统得输出响应y(t)。

解:注意:ξ不同时,输出得形式会变化。2、3、5求解系统输出响应得方法典型环节:比例环节积分环节惯性环节振荡环节微分环节延迟环节2、3、6典型环节及其传递函数注意图形！！！特点:输出量按一定比例复现输入量,成正比。线性微分方程:y(t)=Ku(t),K为比例系数或者传递系数。传递函数:比例环节K=-R2/R1实例:分压器、交流变压器、杠杆、线性放大器、传动齿轮特点:输出量得变化速度和输入量成正比。积分方程:传递函数:(K为比例系数,T为时间常数)积分环节积分环节单位阶跃响应:

当输入阶跃函数时,该环节得输出随时间直线增长,增长速度由1/T决定。当输入突然除去,r(t)t01c(t)t01T

积分停止,输出维持不变,故有记忆功能。传递函数:惯性环节微分方程:由于惯性得作用,输出不就是立刻跟随输入。注意输出图形、极点位置！！！振荡环节消去中间变量i(t)得到运动方程传递函数:回顾例2-1解中得式(2-3):

式中,T>0,0<ξ

<1,n=1/T,T称为振荡环节得时间常数,ξ

为阻尼比,

n为自然振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面得共轭极点:传递函数为:或

振荡环节单位阶跃响应:响应曲线就是按指数衰减振荡得,故称振荡环节。

np1p2

j

d

ξ

n

j

0举例:RLC串连电路,平移系统,直流电机振荡环节实际物理系统不可避免得消耗能量,所以阻尼系数

总就是大于零,即

>00<

<1时得输出响应:振幅随时间按指数衰减得振荡,故称为阻尼振荡。对于=0为无阻尼理想情况,称为自