导数 2025山东各地市一模数学试题分类汇编

函数与导数-山东各地市2025届高三数学一模模拟试题汇编13.（2025·山东青岛·一模）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则__________.【答案】2【解析】【分析】设函数在点和处的两条切线互相垂直，，，由题意分别表示出，，两直线相互垂直可得，进而根据切线方程求出A，B坐标，进而求解即可.【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直，如图，可得的零点为1，故不妨设，，则，，当时，，，当时，，，则，．所以，即．因为：，即，：，即，则，，因为，且，故.故答案为：2.14.（2025·山东威海·一模）已知函数，若，则的最小值为__________.【答案】1【解析】令，则或.由可得；由，即（），可得.所以函数的零点为和.

因为恒成立，所以，即.

将代入，可得.设（），对求导，可得.令，即，因为，所以，解得.当时，，，则，所以在上单调递减；当时，，，则，所以在上单调递增.所以在处取得极小值，也是最小值，，即的最小值为.

故答案为：111.（2025·山东淄博·一模）过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（）A. B.C.数列的前项和为 D.【答案】ABD【解析】【分析】设直线，方程联立由判断A；可得，，从而结合累加法求和可判断B；由，结合等差数列的求和公式可判断C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断D.【详解】设直线，联立，得，则由，即，解得（负值舍去），故A正确；可得，，所以，故B正确；因为，则，故C错误；因为，，所以，设，则，可得在上单调递增，则时，，又，则，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是设出切线方程，方程联立由，得出，，进而判断各选项.7.（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果.【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，且反比例函数的图象也关于直线对称，可知点关于直线对称，设，则，设，则，由题意可得：，解得或（舍去），可得，则，所以.故选：A.14.（2025·山东济宁·一模），若恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】对不等式进行变形可得，构造函数，利用导数研究的单调性，进而可求的取值范围.【详解】在上恒成立当时，即解得，此时.令则，①当时，．在上单调递增，恒成立，恒成立，；②时．在上单调递减，在上单调递增，解得与矛盾，舍去；综上所述，的取值范围为故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用导数研究的单调性结合条件分类讨论可得.6.（2025·山东菏泽·一模）曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（）A. B.0 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义，互相垂直的两直线的斜率的关系分类讨论进行求解即可．【详解】由，不妨设，两切线的斜率分别为，当时，则有，此时，显然，因此不成立，不符合题意；当时，则有，此时，显然，因此不成立，不符合题意；当，则有，此时，变形得．故选：A3.（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可得出切线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得解.【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为，所以，曲线在处的切线方程为，该切线交轴于点，交轴于点，因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选：D.7.（2025·山东聊城·一模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若是增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导，根据判别式，结合二次函数的性质分类求解.【详解】要使奇函数是增函数，则需要在上单调递增，且，当时，恒成立，因为，此时的对称轴，所以只需即可，即.故选：B14.（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为__________：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】①.5②.【解析】【分析】由已知有，应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有恒成立，问题化为在上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围.【详解】由题设，当且仅当时等号成立，所以的最小值为5，此时不等式化为恒成立，所以，即令且，则，时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，故，则因此可得在上，恒成立，令且，所以，令，，在单调递增，且，则时，，函数在单调递减，时，，函数在单调递增，因此可得，即，则当，，则在单调递增，当，，则在单调递减，所以，故只需.故答案为：5，【点睛】关键点点睛：将不等式恒成立化为在上恒成立，再应用导数研究右侧的最大值为关键.21.（2025·山东齐鲁名校大联考·一模）已知为函数的导函数，且．若，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用导数的运算性质解出，所以，即，结合基本不等式求解即可.【详解】由题意可得，所以，解得，所以，即，又，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故选：D22.（2025·山东齐鲁名校大联考·一模）已知函数，则下列结论正确的是（）A.对于任意的，存在偶函数，使得为奇函数B.若只有一个零点，则C.当时，关于的方程有3个不同的实数根的充要条件为D.对于任意的，一定存在极值【答案】ACD【解析】【分析】取可判断A；由得，分与讨论求解可判断B；利用导数研究的性质，作出图象，转化为图象交点问题，数形结合可判断C；分与讨论，结合极值的定义可判断D.【详解】若为奇函数，显然可取，故选项A正确；由，得．当时，解得；当时，，解得，所以若只有一个零点，则或，故选项B错误；当时，，则．由，解得或．当时，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的极小值为，极大值为．又当时，；当时，，当时，；当时，的大致图象如图，由图可知，当的图象与直线有3个交点时，有，所以关于的方程有3个不同的实数根的充要条件为，故选项C正确；，若，则只有一个变号零点，此时函数存在极值；若，因为的判别式，所以有两个变号零点，此时函数既存在极大值又存在极小值，故选项D正确．故选：ACD．27.（2025·山东齐鲁名校大联考·一模）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】构造函数，应用导函数得出单调性，再结合偶函数性质得出，最后计算求解.【详解】设，则．由当时，，得，即，故在区间上单调递增．又，所以，即．因为为上的偶函数，所以，即，计算得，所以，解得或．故答案为：.9.（2025·山师附中·一模）已知函数，则（）A.函数的定义域为B.当时，函数在定义域上单调递增C.曲线是中心对称图形D.若，且的最小值是0【答案】ABC【解析】【分析】利用对数函数定义域求法可得A正确，由复合型对数函数单调性可判断B正确，利用函数对称性定义代入计算可得，因此C正确，求导可得，再由基本不等式计算可得即可，可判断D错误.【详解】对于A，由函数解析式可得，解得，因此函数的定义域为，显然A正确；对于B，当时，易知函数单调递增，单调递减，所以函数在定义域上单调递增，B正确；对于C，令，，因此的图象关于点中心对称，易知满足，可得的图象关于点中心对称，可得C正确；对于D，时，，其中，则，因为，当且仅当时等号成立，故，而成立，故，即，所以的最小值为，即D错误.故选：ABC.10.（2025·山师附中·一模）函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是（）A.若是上的函数，则为上的函数B.，是上的函数C.是上的函数，则D.命题“是上的函数”的一个必要条件为“”【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的定义逐项判断可得结果.【详解】A.若是上的函数，则有，.设，则，由得，，∴，∴为上的函数，故A正确．B.由题意得，，∵对，，∴，即，∴，是上的函数，故B正确．C.若，则恒成立，即是函数，故C错误．D.由是上的函数，得在上恒成立，当时，，时，，故时，，时，，根据二次函数的性质可知，是函数的零点，即，故．记，，由得，由得，∴在上为减函数，在上为增函数，故，即，故D正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.15.（2025·山师附中·一模）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是（2）【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调性；（2）分离参数得，构造，利用导数求最大值即得.【小问1详解】当时，函数的定义域是，，令，得，解得，故的单调递减区间是，令，得，解得，故的单调递增区间是，综上，的单调递减区间是，单调递增区间是.【小问2详解】由任意，知恒成立.因，故，在上恒成立.设，则，令，得，（舍去），当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值，也是最大值，且，所以若在上恒成立，则，故实数的取值范围是.17.（2025·山东青岛·一模）已知函数，.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数的导数性质进行求解即可；（2）根据极值的定义，结合导数的性质进行证明即可.【小问1详解】当时，，，则，当或时，；当时，，所以函数在上单调递减，在和上单调递增.【小问2详解】由，，得，因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根，设为且，因为函数在时的图象关于轴对称，所以，即，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以分别是函数的极大值点和极小值点，即，，又，即，则，又，则，，设，，则，即函数在上单调递减，所以，即.18.（2025·山东威海·一模）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在，使得曲线关于直线对称.若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（3）当时，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）存在，；（3）.【解析】【1】当时，，，则，所以，可得曲线在点处的切线方程为，即.【2】令，所以的定义域为，若曲线关于直线对称，所以的定义域关于对称，故，则有，所以，即，整理得，所以，故存在，使曲线关于直线对称.【3】法1：由题，即，当时，，所以即，令，则，若，所以，所以不满足题意；若，当时，，所以在上单调递减，可得，所以不满足题意；若，当时，，所以在上单调递增，所以，所以满足题意；当时，，可得，所以即，令，则，由，所以当时，，所以在上单调递减，所以，所以不满足题意，综上所述，的取值范围为.法2：因为，所以即，设，则，设，则，当时，，所以在上单调递减，可得，所以在上单调递减，可得，所以不满足题意，当时，由得，若，则，当时，，所以在上单调递减，可得，所以在上单调递减，所以，所以不满足题意，若，则，所以在上单调递增，可得，所以在上单调递增，可得，所以满足题意，综上所述，的取值范围为.18.（2025·山东淄博·一模）已知函数．（1）求单调区间；（2）证明：时，；（3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值．【答案】（1）的增区间为，减区间为.（2）见解析（3）整数的最大值为．【解析】【分析】（1）直接利用导数判断的单调区间；（2）要证，即证，令，对求导，得到即可证明.（3）分离常数，得，为此求出函数在上的最小值．这可利用导数知识求解．【小问1详解】函数的定义域是，，当时，；当时，．所以，的增区间为，减区间为.【小问2详解】要证时，，即证在恒成立，令，，，令，，当时，，，所以在上单调递减，所以，则，所以在上单调递减，所以，所以，综上，时，；【小问3详解】不等式等价于不等式，由可得：，设，，则，设，函数的定义域是，，设，则，令，则，时，，在上为增函数，时，，在上为减函数，∴在处取得极大值，而，∴，函数在上为减函数．于是当时，，当时，，∴当时，，为增函数，当时，，为减函数，故函数的增区间为，减区间为，所以，所以，即∴，，于是在上为减函数，故函数在上的最小值为，所以，所以整数的最大值为．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19.（2025·山东泰安·一模）已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解析（3）或【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可；（2）对函数求导，需要对参数进行分类讨论，确定导函数正负，进一步确定原函数的增减；（3）由题意得有两个不同实根,令，对进行分类讨论，确定函数的零点个数，从而求得的取值范围.【小问1详解】由题意的定义域为当时，，，，又，在处的切线方程为，即【小问2详解】，，当，即时，，在上单调递减，当，即时，在上，，在上，在上单调递减，在上单调递增，综上，时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增.【小问3详解】方程有两个不同实根，等价于方程有两个不同实根,设，则且，当时，时，时，，此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意；当时，在上单调递增，当时，，存在使，在上，在上，在上单调递减，在上单调递增，，又，设，则，当时，单调递减，又，，又，在上和上各有一个零点，符合题意；当时，，在上，在上，在上单调递增，在上单调递增，，只有一个零点，不符合题意；当时，，，存在使得，在上单调递减，在上单调递增，，，又当时，单调递增，又，，在上存在一个零点又，时有两个零点，符合题意；综上，方程有两个不同实根时，或.【点睛】关键点点睛：对于含参数的函数零点问题，1是对参数分类讨论，利用函数的单调性与零点存在性定理判断函数零点个数；2是参变分离，利用两个函数交点个数问题，数形结合求解.8.（2025·山东日照·一模）已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）．①求实数的值；②求证：．【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）①；②证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，结合a的取值范围分析可得函数的单调区间；（2）①利用导数的几何意义，结合动点到直线的最小值列等式即可求出a的值；②分和两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得证.【小问1详解】函数的定义域为，因为，令，得：，令，得：，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．【小问2详解】①由（1）知：．由，又，所以切点，由（1）可知，切点在直线的上方，所以，整理得，设，则，（也可构造）设，则在上恒成立．所以在单调递增．又，又，方程只有1解：．②依题意：要证，当时，，令，在上单调递增，所以不等式成立；当时，要证，即．设，则．设．则．当时，，所以．所以在上单调递减．所以，即．所以在上单调递减，，即当时，成立．综上：当时，在上恒成立．16.（2025·山东临沂·一模）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.【小问1详解】由，得，则，所以曲线在点处的切线方程为，即；小问2详解】令，则，令，则，令，则，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，当时，，当时，，如图，作出函数的大致图象，因为函数在上恰有两个零点，所以函数的图象恰有两个交点，所以的取值范围为.19.（2025·山东济宁·一模）已知函数的图象上存在两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数．（1）试判断函数是否为“切线支撑”函数．若是，求出一组点；否则，请说明理由；（2）已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围；（3）证明：函数为“切线支撑”函数．【答案】（1）是；（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先由降幂公式和辅助角公式得到，再结合函数新定义和正弦函数的取值可得；（2）先由导数分析单调性得到切点必在轴的两侧，再利用导数的意义得到切线方程，然后结合函数新定义构造函数，分析单调性得到极值；（3）由函数新定义结合导数的意义得到点处的切线方程，再结合余弦函数的取值证明.【小问1详解】,显然，令，得，即，所以是的极小值点，且为曲线得一条切线，所以函数是“切线支撑”函数，可取.【小问2详解】当时，，所以在上为增函数，所以切点不可能都在轴的右侧；当时，，所以在上为增函数，所以切点不可能都在轴的左侧；所以切点必在轴的两侧.不妨设，，当时，，所以点处的切线方程为，即；当时，，所以点处的切线方程为，即，因为两点处的切线重合，所以，设，则，所以在上单调递增，又当时，，所以，即，设点处的切线方程为，设，则，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以，所以，设点处的切线方程为，则，即，所以为“切线支撑”函数，综上可得，实数的取值范围为.【小问3详解】因为，设，所以点处的切线方程为和，所以，所以，不妨取，则，即，所以，不妨取，则切线的方程为，又，所以函数为“切线支撑”函数．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是构造函数，利用单调性得到隐零点，再求极值.17.（2025·山东菏泽·一模）已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，存在，使得，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，对参数进行讨论，判断与0的大小即可得到相应的单调性；（2）依题意，由参数可知只需即可，结合（1）可求.【小问1详解】当时，恒成立，此时在上单调递减；当时，令，则当时，，此时在单调递减，当时，，此时在单调递增；综上所述，当时，的减区间为，无增区间；当时，的减区间为，增区间为.【小问2详解】因为存在，使得.只需或因为，所以所以只需，由（1）知为与中的较大者所以或，解得或，所以综上所述，a的取值范围为17.（2025·山东聊城·一模）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，构造二次函数，分类讨论，根据导数的正负来判断函数的单调性.（2）利用极值点与导数的关系，结合二次函数和韦达定理，构造函数，求导研究单调性，解不等式求解.【小问1详解】的定义域为.

求导可得：.令，其判别式.

当，即时，因为，所以，则，所以在上单调递增.

当，即或时，方程的两根为，.(根同号)，.因为，当时，，则，，此时，，在上单调递增.当时，，则，，且，此时在和上，，，单调递增；在上，，，单调递减.

综上所得，当时，在上单调递增.当时，在和上单调递增；在上，单调递减.【小问2详解】因为有两个不同的极值点，所以且，解得.由韦达定理可知，，代入上式可得：.已知，即，可得，即.令，对求导得.因为，所以，在上单调递增.又，所以的解集为，即实数的取值范围是.15.（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案；（2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案.【小问1详解】由函数，求导可得，由函数在处取极大值，则，解得或，当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极大值，符合题意.综上所述，.【小问2详解】由（1）可得函数，求导可得，令，解得或，可得下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的极大值为，极小值为，函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，如下图：由图可得，则.35.（2025·山东齐鲁名校大联考·一模）已知函数．（1）当时，求在区间上的最值；（2）讨论的零点个数．【答案】（1）．（2）答案见解析【解析】分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，最后根据单调性得出最值即可；（2）先求导函数，再分类讨论根据导函数正负得出函数单调性，再构造函数结合函数值求解零点个数.【小问1详解】由题意得的定义域为，当时，．当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处取得极小值，也即最小值，为．因为，，所以在处取得最大值1．综上，．【小问2详解】令，得．令，则．当时，在上恒成立，所以在区间上单调递增．又，故此时有唯一零点．当时，．令，得，所以在区间上单调递减；令，得，所以在区间上单调递增．所以．令，则．令，则．当时，单调递增；当时，单调递减．又，所以当时，．①当，即时，，此时有唯一零点．②当，即时，．因为，所以在区间上有唯一零点．，令，则，所以，则，所以在区间上单调递减，则．又，所以在区间上存在唯一零点，故在区间上有两个零点．③当，即时，，由函数零点存在定理可得在区间上有唯一零点，故在区间上各有一个零点．综上，当或时，有一个零点；当且时，有两个零点．【点睛】关键点点睛：解题的关键是换元后构造函数结合函数单调性应用零点存在定理求解.36