已知三角函数值求角教案

已知三角函数值求角教案一、教学目标1.知识与技能目标让学生理解已知三角函数值求角的基本原理，掌握已知三角函数值求角的一般步骤。能够熟练运用反正弦、反余弦、反正切函数，求出给定三角函数值对应的角，并能准确表示角的取值范围。2.过程与方法目标通过实例分析，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，体会由特殊到一般的数学思想方法。在解决问题的过程中，提高学生运用数学知识进行逻辑推理和运算求解的能力。3.情感态度与价值观目标引导学生积极参与数学学习活动，激发学生对数学的兴趣和求知欲。通过对问题的探究，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点理解反正弦、反余弦、反正切函数的概念及性质。掌握已知三角函数值求角的方法，并能正确求解。2.教学难点正确理解反正弦、反余弦、反正切函数的值域与定义域的关系，准确表示所求角的取值范围。对于多解情况的讨论与分析，避免漏解或错解。

三、教学方法1.讲授法：讲解反正弦、反余弦、反正切函数的概念、性质及已知三角函数值求角的方法，使学生系统地掌握新知识。2.讨论法：组织学生讨论一些典型例题，鼓励学生积极思考、发表见解，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.练习法：通过适量的课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用知识解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课1.复习回顾提问学生三角函数的定义及性质，如正弦函数\(y=\sinx\)，余弦函数\(y=\cosx\)，正切函数\(y=\tanx\)的定义域、值域、周期性等。让学生回顾已知角求三角函数值的方法，如已知\(x=\frac{\pi}{6}\)，求\(\sinx\)，\(\cosx\)，\(\tanx\)的值。2.情境引入提出问题：已知\(\sinx=\frac{1}{2}\)，\(x\inR\)，如何求出\(x\)的值呢？引导学生思考与本节课内容相关的问题，从而引入新课。

（二）讲解新课1.反正弦函数定义：对于正弦函数\(y=\sinx\)，\(x\in[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，它是单调递增的，并且对于每一个\(y\in[1,1]\)，都有唯一的\(x\in[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，使得\(\sinx=y\)。我们把这个函数\(x=\arcsiny\)叫做反正弦函数，记作\(y=\arcsinx\)，其中\(x\in[1,1]\)，\(y\in[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)。性质定义域：\([1,1]\)。值域：\([\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)。单调性：在定义域\([1,1]\)上是单调递增函数。函数图像：其图像关于原点对称，是奇函数，即\(\arcsin(x)=\arcsinx\)，\(x\in[1,1]\)。例题讲解例1：已知\(\sinx=\frac{1}{2}\)，\(x\in[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，求\(x\)的值。解：因为\(y=\arcsinx\)是\(y=\sinx\)，\(x\in[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)的反函数，所以由\(\sinx=\frac{1}{2}\)，可得\(x=\arcsin\frac{1}{2}\)。又因为\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)，且\(\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，所以\(x=\frac{\pi}{6}\)。例2：求\(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})\)的值。解：设\(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})=\alpha\)，则\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。因为\(\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且\(\frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，所以\(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{\pi}{3}\)。2.反余弦函数定义：对于余弦函数\(y=\cosx\)，\(x\in[0,\pi]\)，它是单调递减的，并且对于每一个\(y\in[1,1]\)，都有唯一的\(x\in[0,\pi]\)，使得\(\cosx=y\)。我们把这个函数\(x=\arccosy\)叫做反余弦函数，记作\(y=\arccosx\)，其中\(x\in[1,1]\)，\(y\in[0,\pi]\)。性质定义域：\([1,1]\)。值域：\([0,\pi]\)。单调性：在定义域\([1,1]\)上是单调递减函数。函数图像：其图像关于\(y\)轴对称，不是奇函数也不是偶函数，但有\(\arccos(x)=\pi\arccosx\)，\(x\in[1,1]\)。例题讲解例3：已知\(\cosx=\frac{1}{2}\)，\(x\in[0,\pi]\)，求\(x\)的值。解：因为\(y=\arccosx\)是\(y=\cosx\)，\(x\in[0,\pi]\)的反函数，所以由\(\cosx=\frac{1}{2}\)，可得\(x=\arccos\frac{1}{2}\)。又因为\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)，且\(\frac{\pi}{3}\in[0,\pi]\)，所以\(x=\frac{\pi}{3}\)。例4：求\(\arccos(\frac{1}{2})\)的值。解：设\(\arccos(\frac{1}{2})=\beta\)，则\(\cos\beta=\frac{1}{2}\)。因为\(\cos\frac{2\pi}{3}=\frac{1}{2}\)，且\(\frac{2\pi}{3}\in[0,\pi]\)，所以\(\arccos(\frac{1}{2})=\frac{2\pi}{3}\)。3.反正切函数定义：对于正切函数\(y=\tanx\)，\(x\in(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)，它是单调递增的，并且对于每一个\(y\inR\)，都有唯一的\(x\in(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)，使得\(\tanx=y\)。我们把这个函数\(x=\arctany\)叫做反正切函数，记作\(y=\arctanx\)，其中\(x\inR\)，\(y\in(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。性质定义域：\(R\)。值域：\((\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。单调性：在定义域\(R\)上是单调递增函数。函数图像：其图像关于原点对称，是奇函数，即\(\arctan(x)=\arctanx\)，\(x\inR\)。例题讲解例5：已知\(\tanx=\sqrt{3}\)，\(x\in(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)，求\(x\)的值。解：因为\(y=\arctanx\)是\(y=\tanx\)，\(x\in(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)的反函数，所以由\(\tanx=\sqrt{3}\)，可得\(x=\arctan\sqrt{3}\)。又因为\(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\)，且\(\frac{\pi}{3}\in(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)，所以\(x=\frac{\pi}{3}\)。例6：求\(\arctan(1)\)的值。解：设\(\arctan(1)=\gamma\)，则\(\tan\gamma=1\)。因为\(\tan(\frac{\pi}{4})=1\)，且\(\frac{\pi}{4}\in(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)，所以\(\arctan(1)=\frac{\pi}{4}\)。4.已知三角函数值求角的一般步骤步骤一：确定所求角\(x\)所在的区间。步骤二：根据三角函数值的正负，确定角\(x\)是第几象限角。步骤三：如果已知三角函数值是特殊值，直接利用反三角函数求出在对应区间内的角；如果不是特殊值，可以通过计算器求出近似值。步骤四：根据角的周期性，写出满足条件的所有角。

（三）课堂练习1.已知\(\sinx=\frac{1}{2}\)，\(x\in[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，求\(x\)的值。2.已知\(\cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(x\in[0,\pi]\)，求\(x\)的值。3.已知\(\tanx=1\)，\(x\in(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)，求\(x\)的值。4.求\(\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})\)，\(\arccos(\frac{1}{2})\)，\(\arctan(\sqrt{3})\)的值。5.已知\(\sinx=\frac{3}{5}\)，\(x\in(0,\frac{\pi}{2})\)，求\(x\)的值（精确到\(0.01\)）。

（四）课堂小结1.与学生一起回顾反正弦、反余弦、反正切函数的定义、性质及已知三角函数值求角的一般步骤。2.强调在求解过程中需要注意的问题，如准确确定角的取值范围，正确运用反三角函数的性质等。3.鼓励学生积极思考，提出自己在本节课学习中遇到的疑问和困惑，教师进行解答和指导。

（五）布置作业1.书面作业已知\(\sinx=\frac{2}{3}\)，\(x\in[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，求\(x\)的值（精确到\(0.01\)）。已知\(\cosx=\frac{4}{5}\)，\(x\in[0,\pi]\)，求\(x\)的值（精确到\(0.01\)）。已知\(\tanx=2\)，\(x\in(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)，求\(x\)的值（精确到\(0.01\)）。求\(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{3})\)，\(\arccos(\frac{3}{4})\)，\(\arctan(\frac{5}{6})\)的值（精确到\(0.01\)）。2.拓展作业已知\(\sinx=\frac{1}{3}\)，求\(x\)的取值集合。已知\(\cosx=a\)（\(|a|\leq1\)），讨论\(x\)的取值情况。思考：如何利用三角函数线求解已知三角函数值求角的问题？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对已知三角函数值求角的方法有了初步的理解和掌握。在教学过程中，采用了多种教学方法相结合，如讲授法、讨论法和练习法，让学生积极参与到课堂教学中来，提高了学生的学习积极性和主动性。

在讲解反正弦、反余弦、反正切函数的概念和性质时，通过具体的例子进行分析，帮助学生理解。在已知三角函数值求角的教学中，注重引导学生掌握一般步骤，并通过课堂练习及时巩固所学知识。

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