双曲线的定义及其标准方程教案

双曲线的定义及其标准方程教案一、教学目标1.知识与技能目标理解双曲线的定义，能准确叙述双曲线的定义内容。掌握双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程。了解双曲线标准方程的推导过程，体会双曲线与椭圆标准方程推导过程的联系与区别。2.过程与方法目标通过类比椭圆的定义和标准方程的推导过程，培养学生类比推理、归纳总结的能力。在双曲线定义的形成过程中，让学生经历观察、实验、分析、归纳等数学活动，提高学生的数学思维能力。通过求解双曲线的标准方程，培养学生运用代数方法解决几何问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过本节课的学习，让学生感受数学的严谨性和科学性，培养学生对数学的学习兴趣。在教学过程中，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神。

二、教学重难点1.教学重点双曲线的定义。双曲线的标准方程。2.教学难点双曲线定义中"差的绝对值"的理解。双曲线标准方程的推导过程。

三、教学方法讲授法、类比法、探究法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾引导学生回顾椭圆的定义：平面内与两个定点\(F_1,F_2\)的距离之和等于常数（大于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做椭圆。提问：椭圆的标准方程有哪两种形式？（\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)和\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)）2.情境引入展示生活中双曲线的实例，如双曲线冷却塔的外形，双曲线型拱桥等，让学生观察这些图形的特点，引出本节课要研究的双曲线。提出问题：双曲线的定义是什么？它的标准方程又是怎样的？激发学生的学习兴趣，从而导入新课。

（二）讲解新课（30分钟）1.双曲线的定义实验演示准备一条拉链，拉开一部分，在拉链的两边分别固定在两个定点\(F_1,F_2\)上。把笔尖放在拉链的开口\(M\)处，随着拉链逐渐拉开或闭合，笔尖所经过的点形成的轨迹是什么图形？学生观察并思考，小组讨论后回答。教师引导学生总结出：平面内与两个定点\(F_1,F_2\)的距离之差的绝对值等于常数（小于\(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做双曲线。强调定义中的几个要点：两个定点\(F_1,F_2\)--双曲线的焦点。\(|F_1F_2|\)--双曲线的焦距，记为\(2c\)。距离之差的绝对值--常数记为\(2a\)，且\(2a\lt2c\)。思考：当\(2a=2c\)时，点的轨迹是什么？当\(2a\gt2c\)时，点的轨迹又是什么？练习巩固已知\(F_1(5,0)\)，\(F_2(5,0)\)，平面内一动点\(P\)满足\(|PF_1||PF_2|=6\)，则点\(P\)的轨迹是（）A.双曲线B.双曲线的一支C.一条射线D.不存在学生思考后回答，教师进行点评和讲解，加深学生对双曲线定义的理解。2.双曲线标准方程的推导类比椭圆标准方程的推导过程，引导学生思考双曲线标准方程的推导方法。建系设点以两焦点\(F_1,F_2\)所在直线为\(x\)轴，线段\(F_1F_2\)的垂直平分线为\(y\)轴，建立平面直角坐标系。设\(F_1(c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，双曲线上任意一点\(M(x,y)\)。列式化简根据双曲线的定义\(\vert\vertMF_1\vert\vertMF_2\vert\vert=2a\)，可得\(\vert\sqrt{(x+c)^2+y^2}\sqrt{(xc)^2+y^2}\vert=2a\)。移项得\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\sqrt{(xc)^2+y^2}\pm2a\)。两边平方得\((x+c)^2+y^2=(xc)^2+y^2\pm4a\sqrt{(xc)^2+y^2}+4a^2\)。展开并化简得\(cxa^2=\pma\sqrt{(xc)^2+y^2}\)。两边再平方得\(c^2x^22a^2cx+a^4=a^2(x^22cx+c^2+y^2)\)。整理得\((c^2a^2)x^2a^2y^2=a^2(c^2a^2)\)。令\(b^2=c^2a^2\)（\(b\gt0\)），则双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)（焦点在\(x\)轴上）。同理，当焦点在\(y\)轴上时，设\(F_1(0,c)\)，\(F_2(0,c)\)，可得双曲线的标准方程为\(\frac{y^2}{a^2}\frac{x^2}{b^2}=1\)。强调双曲线标准方程中\(a,b,c\)的关系：\(c^2=a^2+b^2\)，与椭圆中\(a,b,c\)的关系进行对比。思考：双曲线标准方程\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0,b\gt0\)）中，\(x\)的取值范围是什么？\(y\)的取值范围是什么？练习巩固已知双曲线的焦点在\(x\)轴上，且\(a=3\)，\(b=4\)，求双曲线的标准方程。学生独立完成后，教师进行讲解，规范解题步骤。

（三）例题讲解（20分钟）1.根据双曲线的定义求标准方程例1：已知双曲线的两个焦点分别为\(F_1(5,0)\)，\(F_2(5,0)\)，双曲线上一点\(P\)到\(F_1,F_2\)距离之差的绝对值等于\(6\)，求双曲线的标准方程。分析：由已知可得\(c=5\)，\(2a=6\)，即\(a=3\)，再根据\(c^2=a^2+b^2\)求出\(b^2\)。解：因为双曲线的焦点在\(x\)轴上，所以设双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)。已知\(c=5\)，\(2a=6\)，则\(a=3\)。又因为\(c^2=a^2+b^2\)，所以\(b^2=c^2a^2=259=16\)。所以双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{9}\frac{y^2}{16}=1\)。总结：求双曲线标准方程的步骤：确定焦点位置。求出\(a,b,c\)的值。写出双曲线的标准方程。2.根据双曲线的标准方程求参数的值例2：已知双曲线方程为\(4x^2y^2=1\)，求\(a,b,c\)的值。分析：将双曲线方程化为标准方程的形式，再确定\(a,b,c\)的值。解：将双曲线方程\(4x^2y^2=1\)化为标准方程\(\frac{x^2}{\frac{1}{4}}\frac{y^2}{1}=1\)。所以\(a^2=\frac{1}{4}\)，\(b^2=1\)，则\(a=\frac{1}{2}\)，\(b=1\)。又因为\(c^2=a^2+b^2\)，所以\(c=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)。总结：将给定的双曲线方程化为标准方程，是求参数值的关键。

（四）课堂练习（10分钟）1.已知双曲线的两个焦点分别为\(F_1(0,6)\)，\(F_2(0,6)\)，双曲线上一点\(P\)到\(F_1,F_2\)距离之差的绝对值等于\(8\)，求双曲线的标准方程。2.已知双曲线方程为\(\frac{x^2}{25}\frac{y^2}{16}=1\)，求\(a,b,c\)的值以及焦点坐标。3.已知双曲线的焦点在\(y\)轴上，且\(a=4\)，\(c=5\)，求双曲线的标准方程。

学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。完成后，教师对练习进行点评，强调解题要点。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括双曲线的定义、标准方程以及它们的推导过程。2.让学生思考双曲线与椭圆的定义和标准方程有哪些联系与区别，鼓励学生积极发言。3.教师对学生的回答进行总结和补充，强调本节课的重点和难点，以及在学习过程中需要注意的问题。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业已知双曲线的两个焦点分别为\(F_1(4,0)\)，\(F_2(4,0)\)，双曲线上一点\(P\)到\(F_1,F_2\)距离之差的绝对值等于\(6\)，求双曲线的标准方程。已知双曲线方程为\(9y^216x^2=144\)，求\(a,b,c\)的值以及焦点坐标。2.拓展作业查阅资料，了解双曲线在实际生活中的其他应用，并撰写一篇简短的报告。思考：如果双曲线的定义中"距离之差的绝对值"改为"距离之和"，会得到什么图形？它的方程又是怎样的？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对双曲线的定义和标准方程有了较