排列与排列数公式教学设计

排列与排列数公式教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列。掌握排列数公式，能运用排列数公式进行计算和解决简单的实际问题。2.过程与方法目标通过对实际问题的分析，引导学生发现排列问题的特征，培养学生的抽象概括能力。在推导排列数公式的过程中，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法，提高学生的逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过对排列知识的学习，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。

二、教学重难点1.教学重点排列的概念和排列数公式。能运用排列数公式解决简单的排列问题。2.教学难点对排列概念中"顺序"的理解。排列数公式的推导及应用。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）导入新课1.展示问题情境问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？2.引导学生分析问题对于问题1，让学生思考并回答不同的选法有哪些。学生可能会回答：甲上午、乙下午；甲上午、丙下午；乙上午、甲下午；乙上午、丙下午；丙上午、甲下午；丙上午、乙下午，共6种选法。对于问题2，引导学生列举出所有可能的三位数，如123、124、132、134、142、143、213、214、231、234、241、243、312、314、321、324、341、342、412、413、421、423、431、432，共24个。3.引出课题教师指出：像上面这些问题，都涉及到从一些元素中按照一定的顺序选取若干个元素的问题，这就是我们今天要学习的排列问题。板书课题：排列与排列数公式。

（二）新课讲授1.排列的概念引导学生观察上述两个问题的共同特点，总结出排列的定义。一般地，从\(n\)个不同元素中取出\(m(m\leqn)\)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个排列。强调定义中的关键词："不同元素""取出\(m\)个元素""一定的顺序"。让学生举例说明生活中哪些问题属于排列问题，进一步加深对排列概念的理解。2.排列数的概念对于从\(n\)个不同元素中取出\(m(m\leqn)\)个元素的所有排列的个数，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的排列数，用符号\(A_{n}^m\)表示。例如，在上述问题1中，从3个不同元素中取出2个元素的排列数为\(A_{3}^2=6\)；在问题2中，从4个不同元素中取出3个元素的排列数为\(A_{4}^3=24\)。3.排列数公式的推导引导学生思考如何计算排列数\(A_{n}^m\)。以\(A_{4}^3\)为例，分三步来分析：第一步，确定百位上的数字，有4种选法；第二步，确定十位上的数字，因为百位已经选了一个数字，所以只剩下3种选法；第三步，确定个位上的数字，此时百位和十位已经选了两个数字，所以只剩下2种选法。根据分步乘法计数原理，\(A_{4}^3=4×3×2=24\)。类似地，对于\(A_{n}^m\)，从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素进行排列，分\(m\)步完成：第一步，确定第1个位置上的元素，有\(n\)种选法；第二步，确定第2个位置上的元素，此时剩下\(n1\)个元素，所以有\(n1\)种选法；第三步，确定第3个位置上的元素，此时剩下\(n2\)个元素，所以有\(n2\)种选法；......第\(m\)步，确定第\(m\)个位置上的元素，此时剩下\(n(m1)\)个元素，所以有\(n(m1)\)种选法。根据分步乘法计数原理，可得\(A_{n}^m=n(n1)(n2)\cdots(nm+1)\)。这里\(n,m\inN^+\)，且\(m\leqn\)，这个公式叫做排列数公式。进一步引导学生对排列数公式进行变形：\(A_{n}^m=\frac{n!}{(nm)!}\)，其中\(n!=n(n1)(n2)\cdots2×1\)，规定\(0!=1\)。4.排列数公式的应用例1：计算\(A_{10}^3\)。解：根据排列数公式\(A_{n}^m=n(n1)(n2)\cdots(nm+1)\)，可得\(A_{10}^3=10×9×8=720\)。例2：解方程\(3A_{x}^3=2A_{x+1}^2+6A_{x}^2\)。解：原方程可化为\(3x(x1)(x2)=2(x+1)x+6x(x1)\)。因为\(x\geq3\)且\(x\inN^+\)，两边同除以\(x\)，得\(3(x1)(x2)=2(x+1)+6(x1)\)。展开并整理得\(3x^217x+10=0\)，即\((3x2)(x5)=0\)。解得\(x=5\)或\(x=\frac{2}{3}\)（舍去）。所以\(x=5\)。例3：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解：方法一：由于百位不能为0，所以百位有9种选法；十位从剩下的9个数字中选一个，有9种选法；个位再从剩下的8个数字中选一个，有8种选法。根据分步乘法计数原理，共有\(9×9×8=648\)个没有重复数字的三位数。方法二：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为\(A_{10}^3\)，其中0在百位的排列数为\(A_{9}^2\)。所以满足条件的三位数的个数为\(A_{10}^3A_{9}^2=10×9×89×8=648\)。

（三）课堂练习1.计算：\(A_{5}^2\)\(A_{6}^3\)\(A_{8}^4\)2.已知\(A_{n}^2=30\)，求\(n\)的值。3.用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的三位数，共有多少个？

（四）课堂小结1.引导学生回顾排列的概念，强调"顺序"的重要性。2.回顾排列数公式的推导过程和两种形式，让学生明确如何运用公式进行计算和解决问题。3.总结解决排列问题的一般方法和步骤，如先确定特殊位置或特殊元素，再根据排列数公式进行计算。

（五）布置作业1.教材第20页练习第1，2，3，4题。2.从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个组成没有重复数字的三位数，共有多少个？其中能被3整除的有多少个？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对排列的概念和排列数公式有了一定的理解和掌握。在教学过程中，通过实际问题的引入，激发了学生的学习兴趣，让学生在解决问题的过程中体会了排列的应用。在推导排