2024-2025学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用（教师用书）教学实录 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.7定积分的简单应用（教师用书）教学实录新人教A版选修2-2科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.7定积分的简单应用（教师用书）教学实录新人教A版选修2-2教学内容分析1.本节课的主要教学内容：本节课主要讲解定积分的简单应用，包括定积分在几何和物理中的应用，如计算平面图形的面积、体积以及物体运动的路程等。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课内容与教材第1章第1.6节“定积分的概念”和第1.7节“定积分的性质”紧密相关，学生需要掌握定积分的概念和性质，才能更好地理解和应用定积分解决实际问题。核心素养目标1.培养学生运用数学模型解决问题的能力，通过定积分的应用，提高学生对实际问题的抽象建模能力。

2.增强学生的逻辑推理和运算能力，在解决几何和物理问题时，训练学生的逻辑思维和运算技巧。

3.强化学生的数学应用意识，理解数学与实际生活的紧密联系，提高学生用数学眼光看待问题的素养。重点难点及解决办法重点：1.定积分在几何中的应用，特别是计算平面图形的面积。

2.定积分在物理中的应用，如计算物体运动的路程。

难点：1.理解定积分与面积、路程的对应关系。

2.正确运用定积分公式解决实际问题。

解决办法：1.通过实例分析，帮助学生理解定积分与几何图形面积的关系，强化直观感受。

2.通过物理实例，让学生体会定积分在描述运动路程时的应用，增强应用意识。

3.设计阶梯式练习，逐步引导学生从简单到复杂，逐步突破难点。

4.引导学生进行小组讨论，通过合作学习，共同解决难点问题。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，包括《新人教A版选修2-2》第1章第1.7节内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如几何图形的面积计算演示、物体运动路程的实例分析等。

3.教学软件：使用数学软件或在线平台，提供定积分计算工具和可视化效果，帮助学生直观理解。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行小组合作学习；准备实验操作台，用于演示和验证定积分的应用。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

设计预习问题：围绕定积分的简单应用，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考，如“如何将实际问题转化为定积分问题？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解定积分的概念和性质。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过实际案例，如计算河流的流域面积，引出定积分的应用，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解定积分在几何中的应用，如计算圆的面积、三角形的面积等。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分组讨论如何使用定积分计算复杂图形的面积。

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，如积分的计算方法和步骤，进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题，如如何将实际问题转化为积分问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，分享自己的理解和解决方法。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，如积分的几何意义，勇敢提问并参与讨论。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置计算不同平面图形面积的作业，巩固学生对定积分应用的掌握。

提供拓展资源：提供与定积分相关的拓展资源，如物理中的匀速直线运动路程计算等。

反馈作业情况：及时批改作业，针对学生的错误给予反馈，并指出改进方法。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的作业，如计算不规则图形的面积。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，如在线视频教程，进行进一步的学习。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出如何提高积分计算技巧的建议。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

（1）定积分在经济学中的应用

-阅读材料：《微积分在经济中的应用》选段，探讨定积分在经济学中计算总收益、总成本等问题的应用。

（2）定积分在物理学中的应用

-阅读材料：《高等数学》中关于定积分在物理学中计算功、冲量等问题的讲解。

（3）定积分在计算机图形学中的应用

-阅读材料：《计算机图形学》中关于定积分在计算曲线长度、曲面面积等问题的应用。

（4）定积分在工程学中的应用

-阅读材料：《工程数学》中关于定积分在计算流体力学、结构力学等领域的应用。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

（1）探究定积分与极限的关系

-学生可以尝试通过极限的定义来推导定积分的定义，理解定积分与极限的内在联系。

（2）研究定积分的性质

-学生可以尝试证明定积分的线性性质、可加性、保号性等性质，加深对定积分性质的理解。

（3）探究定积分在实际问题中的应用

-学生可以结合实际生活中的问题，如计算物体的运动路程、计算物体的冲量等，运用定积分的知识进行解决。

（4）探究定积分与其他数学工具的关系

-学生可以研究定积分与微积分中的其他概念，如导数、微分方程等的关系，理解它们之间的内在联系。

（5）探究定积分在各个领域的应用

-学生可以尝试了解定积分在生物学、医学、天文学等领域的应用，拓宽自己的知识视野。

（6）尝试编写定积分的编程实现

-学生可以尝试使用编程语言（如Python、MATLAB等）编写定积分的计算程序，加深对定积分计算方法的理解。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法：在讲解定积分的简单应用时，我尝试引入了多个实际案例，如建筑工地的面积计算、物理学中的功的计算等，让学生在实际情境中理解和应用定积分的概念。

2.互动式教学：通过小组讨论、角色扮演等方式，鼓励学生积极参与课堂活动，提高了学生的参与度和学习兴趣。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对定积分概念的理解不够深入：部分学生在学习定积分时，对概念的理解停留在表面，缺乏对定积分本质的把握。

2.课堂互动不足：虽然我采用了互动式教学，但在实际操作中，部分学生仍然表现出被动学习的状态，课堂互动效果有待提高。

3.作业设计单一：目前的作业设计较为单一，未能充分调动学生的思考能力和创新意识。

反思改进措施（三）改进措施

1.深化概念教学：在讲解定积分概念时，我将结合极限的思想，通过逐步引导，帮助学生深入理解定积分的本质。

2.丰富课堂互动：为了提高学生的参与度，我计划在课堂上增加小组讨论、角色扮演等互动环节，鼓励学生主动提出问题和解决方案。

3.优化作业设计：我将尝试设计更具挑战性和趣味性的作业，如让学生利用所学知识解决实际问题、设计数学模型等，激发学生的学习兴趣和创造力。

4.加强学生反馈：在课后，我将通过问卷调查、个别访谈等方式，收集学生对课堂内容和教学方法的反馈，以便及时调整教学策略。

5.跨学科教学：为了拓宽学生的知识面，我将尝试将定积分的应用与其他学科（如物理、化学、经济学等）相结合，让学生在实际问题中感受数学的力量。

6.利用现代教育技术：我计划利用多媒体技术，如在线教学平台、虚拟实验室等，为学生提供更加丰富的学习资源和实践机会。课后作业1.作业题目：计算下列图形的面积。

-已知抛物线y=x^2在区间[0,4]上的面积。

-解答：利用定积分计算，面积=∫[0,4]x^2dx=[x^3/3]from0to4=(4^3/3)-(0^3/3)=64/3。

2.作业题目：计算下列曲线的弧长。

-已知曲线y=e^x在区间[0,1]上的弧长。

-解答：弧长=∫[0,1]√(1+(dy/dx)^2)dx=∫[0,1]√(1+e^2x)dx。此题需要数值方法或近似计算，结果约为2.718。

3.作业题目：计算下列物体的体积。

-已知一个圆柱体的高为h，底面半径为r，计算其体积。

-解答：体积=πr^2h。这是一个基本的几何体积公式，直接应用即可。

4.作业题目：计算下列物体的表面积。

-已知一个圆锥体的底面半径为r，高为h，计算其表面积。

-解答：表面积=πr√(r^2+h^2)+πr^2。这里需要使用圆锥的侧面积公式和底面积公式。

5.作业题目