北京市2020年中考数学试题【含答案、解析】

试卷第=page88页，共=sectionpages99页试卷第=page11页，共=sectionpages88页北京市2020年中考数学试题【含答案、解析】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是一个几何体的三视图，对这个几何体的描述正确的是（

）A．底面是长方形 B．侧面是三角形 C．三棱柱 D．四棱柱2．据国家统计局统计：2021年我国夏粮总产量2916亿斤，比2020年增长2.1%，用科学记数法表示2916亿，结果正确的是（）A． B． C． D．3．下列说法：（1）相等的角是对顶角；（2）同旁内角互补；（3）同角或等角的余角相等；（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；（5）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；错误的有（

）A．5个 B．2个 C．3个 D．4个4．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．5．正十二边形的外角和为（）A．180° B．360° C．540° D．720°6．如图，，以为原点，向右为正方向，为1个单位长度建立数轴．点表示数，则与的函数图像大致是（

）

A．

B．

C．

D．

7．不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率（

）A． B． C． D．8．若点A（m,n）在y=x+b的图像上，且2m-3n＞6，则b的取值范围为（）A．b＞2 B．b＞-2 C．b＜2 D．b＜-2二、填空题9．若式子有意义，则的取值范围为．10．关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则．11．写一个比小的有理数：．12．二元一次方程组的解为13．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，4），若直线y＝2x+b与线段AB有公共点，则b的值可以为．（写出一个即可）14．如图所示，在同一直线上，，，要使，需添加的一个条件是________，并说明理由．15．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为．16．计算：．三、解答题17．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图所示，点在数轴上分别对应的数为，则两点间的距离表示为．根据以上知识解题：(1)若数轴上两点表示的数为，则之间的距离为；(2)若数轴上两点A、B表示的数为、．①之间的距离可用含的式子表示为；②若该两点之间的距离为，那么值为．(3)的最小值为．18．一个等腰三角形的周长为．(1)一边长为，求其他两边的长；(2)若腰长为n厘米，求n的范围．19．先化简，再求值：当时，求代数式的值．20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C为的三个顶点，直线的解析式为．(1)如图①，若点A在y轴上，点B在x轴上，，，求A，B两点的坐标；(2)在（1）的条件下，过x轴上一点作于E，DE交y轴于点F，求的面积；(3)如图②，将沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点P（P不同于A和C两点），过P作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于点M，且，在平移过程中，M点的坐标是否发生变化？如果不变，请写出M点的坐标及理由．21．如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．

(1)求证：四边形是矩形；(2)若，时，求的长．22．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．完成下列步骤，画出函数的图象；列表、填空；x0123y3______1______123描点：连线观察图象，当x______时，y随x的增大而增大；结合图象，不等式的解集为______．23．已知I是的内心，的延长线交的外接圆于点D，连接．(1)在图1中：①证明：；②判断外心的位置，并证明；(2)如图2，若为的外接圆直径，取中点O，且于点I，切圆O于点D，求的值．24．新知学习：在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1﹣x2|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度lx＝m；若|y1﹣y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度ly＝n．如图①，图形W在x轴上的投形长度lx＝|3﹣1|＝2；在y轴上的投影长度ly＝|4﹣0|＝4．(1)已知点A（3，3），B（4，1）．如图②所示，若图形W为△OAB，则lx＝，ly＝．(2)在图②的基础上，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OCD，若图形W为△OCD，则lx＝，ly＝．(3)在图②的基础上，将△OAB绕点O顺时针旋转45°得△OEF，若图形W为△OEF，则lx＝，ly＝．(4)如图③，已知点C（4，0），点D在直线y＝﹣2x+6上，若图形W为△OCD，当lx＝ly时，求点D的坐标．25．学校团委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱存入银行，定期一年，到期后取回本金，而把利息捐给家庭贫困的儿童．学校共有学生1200人全部参加了此项活动，图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，图2是该校学生人均存款情况的条形统计图．（1）求该学校的人均存款数；（2）若银行一年定期存款的年利率是2.25%，且每702元能提供给1位家庭贫困儿童一年的基本费用，那么该学校一年能够帮助多少位家庭贫困儿童？26．借鉴我们已有研究函数的经验，探索函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图像与性质，研究过程如下，请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣2﹣101234…y…m03n305…其中，m＝，n＝；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图像；(3)观察函数图像：①写出该函数的一条性质；②已知函数y＝x＋4的图像如图所示根据函数图像，直接写出不等式x＋4＜|x2﹣2x﹣3|的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）27．综合与实践问题情境：数学活动课上，同学们将绕点A顺时针旋转得到，点落在边AB上，连接，过点作于点D．特例分析：（1）如图1，若点D与点A重合，请判断线段AC与BC之间的数量关系，并说明理由；探索发现：（2）如图2，若点D在线段CA的延长线上．且，请判断线段AD与之间的数量关系，并说明理由．28．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到⊙的弦（分别为A，B的对应点），则称线段为以P为中心的“相关线段”．(1)如图，已知点，在线段，，中，以P为中心的“相关线段”是________；(2)已知点，线段是以P为中心的“相关线段”，求点F的横坐标的取值范围．(3)已知点，若直线上存在点F，使得线段是以P为中心的“相关线段”，直接写出m的取值范围：___________．答案第=page66页，共=sectionpages77页答案第=page77页，共=sectionpages88页《初中数学中考试题》参考答案题号12345678答案CDDCBAAD1．C【分析】根据三视图可知这个几何体为三棱柱，由此求解即可．【详解】解：由三视图可知，这个几何体是一个三棱柱，∴底面是三角形，侧面是长方形，故选C．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．2．D【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：2916亿＝291600000000＝2.916×1011．故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．D【分析】根据对顶角的定义对①进行判断；根据补角的定义对②进行判断；根据余角的定义对③进行判断；根据平行线的性质对④⑤⑥进行判断．【详解】（1）相等的角是对顶角,错误；（2）同旁内角互补,错误；（3）同角或等角的余角相等，正确；（4）平行于同一直线的两条直线互相平行，正确；（5）垂直于同一条直线的两条直线互相平行,条件缺少在同一平面内，错误；（6）已知直线外过一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；错误的命题有4个，故选：D【点睛】此题主要考查了对顶角的定义、余角及补角的定义和平行线的性质，关键是熟练掌握各知识点．4．C【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．【详解】A.不是中心对称图形是轴对称图形，故该选项不符合题意，B.是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项不符合题意，C.是中心对称图形但不是轴对称图形，故该选项符合题意，D.不是中心对称图形是轴对称图形，故该选项不符合题意，故选：C.【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．5．B【分析】根据多边形的外角和定理求解．【详解】解：正十二边形的外角和的度数为360°．故选：B．【点睛】本题考查多边形的外角和，熟练掌握多边形外角和定理是解题关键．6．A【分析】根据为1个单位长度建立数轴，且，故有个单位长度，继而得到表示的数为，结合点表示数，得到，根据函数的属性，画图象即可．本题考查了反比例函数的解析式确定和图象的属性，正确确定函数解析式是解题的关键．【详解】根据为1个单位长度建立数轴，且，故有个单位长度，故得到表示的数为，由点表示数，得到，故选A．7．A【分析】可利用画树状图得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．【详解】解：设李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗分别为A、B、C，画树状图为：

由图知，一共有6种等可能的结果，其中从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的有2种，∴从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率为，故选：A．【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意题目中是放回试验还是不放回实验试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．8．D【分析】由点A的坐标结合一次函数图象上点的坐标特征，可得出m+b=n，2m-3n=-3b再由2m-3n＞6，，即可得出b的取值范围．【详解】∵点A（m,n）在y=x+b的图像上，∴m+b=n，2m-3n=-3b，∵2m-3n＞6，∴-3b＞6

解得b＜-2.故选D.【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系.9．【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列不等式组解答即可．【详解】解：由题意可得：解得：．故填．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，根据条件列出关于x的不等式组成为解答本题的关键．10．【分析】根据方程有两不同实数根，得，求得再根据得，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程有两个不同的实数根，∴，解得：，∴∵∴，∵∴，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系，解师生关键是熟练掌握当一元二次方程有两不相等实数根时，；当一元二次方程有两相等实数根时，；当一元二次方程有两不相等实数根时，．当时，一元二次方程有两根，，则，．11．【分析】首先得到，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，且是无理数，∴是比小的有理数．故答案为：．【点睛】本题考查的是无理数的大小比较，掌握无理数的定义与大小比较的方法是解本题的关键．12．【分析】利用加减消元法求出解即可．【详解】解：①×3-②×2得：，解得：，将代入②得：，则方程组的解为．故答案为：【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．13．0（答案不唯一）【分析】由点的坐标特征得出线段AB∥x轴，当直线y＝2x+b经过点A时，得出b＝2；当直线y＝2x+b经过点B时，得出b＝﹣4；即可得出答案．【详解】解：当直线y＝2x+b经过点A（1，4）时，4＝2×1+b，解得：b＝2；当直线y＝2x+b经过点B（4，4）时，4＝2×4+b，解得：b＝﹣4．又∵直线y＝2x+b与线段AB有公共点，∴﹣4≤b≤2．故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的一元一次不等式是解题的关键．14．【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意要证明，已知，两个条件，抓住这两个已知条件结合全等三角形判定定理即可得到本题答案．【详解】解：∵在同一直线上，，，∴可添加条件：，理由如下：在和中，，∴（SAS），故答案为：．15．【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可．【详解】解：四边形ABCD的面积为：=，故答案为：．【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键．16．1【分析】先计算出绝对值符号里面的结果，再求得此题结果即可．【详解】解：，故答案为：1．【点睛】此题考查了有理数的加法和绝对值，关键是掌握有理数的加法法则．17．(1)(2)①；②或(3)【分析】（1）根据题目已知中的两点间的距离表示为．即可解答；（2）①根据题意用两点距离表示即可求解；②根据题意列出方程，解方程即可求解；（3）求的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当时，有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值．【详解】（1）解：数轴上两点表示的数为，则之间的距离为，故答案为：；（2）①∵数轴上两点A、B表示的数为、，∴之间的距离可用含的式子表示为：；故答案为：②依题意得，之间的距离用含的式子表示为：，则有，或，解得或，故答案为：或．（3）表示到与的距离的和，所以当时，有最小值，的最小值为．【点睛】本题主要考查了绝对值和数轴上两点的距离，绝对值方程，掌握绝对值的定义是解题的关键．18．(1)，(2)【分析】本题主要查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系：（1）分两种情况：当腰长是时，当底边长是时，即可求解；（2）根据等腰三角形的定义可得底边长是，再由三角形的三边关系，即可求解．【详解】（1）解：当腰长是时，底边长为，此时，不能构成三角形，舍去；当底边长是时，腰长为，此时其他两边的长分别为，；综上所述，其他两边的长分别为，；（2）解：∵腰长为n厘米，∴底边长是，由三角形的三边关系得：，解得：．19．；【分析】运用乘法公式，分式的性质，分式的混合运算进行化简，再代入求值即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握乘法公式，分式的性质，分式的混合运算法则，代入求值等知识是解题的关键．20．(1)，(2)6(3)M点的坐标不变化，，理由见解析【分析】（1）根据，得，根据直线AB的解析式为，点A在y轴上，令得，即可得；（2）根据，得，即可得，则，即可得，，则，利用ASA证明，即可得；（3）过点P作交BC于点N，则，，根据得，则，根据得，利用AAS证明，得，根据，，得，根据，可得，即可得．【详解】（1）解．∵，，∴，∵直线AB的解析式为，点A在y轴上，∴令得，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴，，∴，在与中，∴（ASA），∴；（3）M点的坐标不发生变化，，理由如下，解：如图所示，过点P作交BC于点N，则，，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即M点的坐标不发生变化．【点睛】本题考查了一次函数，全等三角形的判定与性质，等边对等角，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．21．(1)见解析(2)【分析】（1）先证四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形；（2）根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：，，四边形是平行四边形，又，，四边形是矩形；（2）解：四边形是矩形，，、分别为、中点，是的中位线，，，，．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．22．（1）①见解析，②，③见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据函数值填表即可；（2）根据图象得出函数性质即可；（3）根据图象得出不等式的解集即可．【详解】解：填表正确x0123y3210123画函数图象如图所示：由图象可得：时，y随x的增大而增大；由图象可得：不等式的解集为；故答案为2；0；；．根据函数值填表即可；根据图象得出函数性质即可；根据图象得出不等式的解集即可．【点睛】本题考查了一次函与不等式的关系，一次函数的图象等知识点．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．23．(1)①见解析；②D为外心，证明见解析(2)2【分析】（1）①根据等弧所对的圆周角相等即可证明结论成立；②由，可证，得出，从而，可求出D为外心；（2）连接．由为的外接圆直径可知切圆O于点D，根据余角的性质可证，由（1）的结论得，然后根据锐角三角函数的定义求解即可．【详解】（1）①连接．∵I是的内心∴平分，∴，∴，∴②D为外心，证明如下：∵I是的内心∴平分，∴，∵，∴∴，∴∴D为外心；（2）连接．∵为的外接圆直径，O为中点，∴O为的外接圆圆心．∵切圆O于点D，∴，即，∵，∴，∵为的外接圆直径，∴，∴，∵，，∴．∵由（1）得，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内心与外心，三角形外角的性质，切线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，综合运用各知识点是解答本题的关键．24．(1)4，3(2)3，4(3)，(4)(1，4)或（6，−6）【分析】(1)根据新定义进行解答即可；(2)过点D作于点M，过点B作于点N，可得，根据旋转的性质可得OD=OB，可证得，即可求得点D的坐标，同理可求得点C的坐标，据此即可解答；(3)首先根据题意可知点A的对应点E在x轴上，设点F的坐标为(m,n)，根据两点间距离公式，即可求得点E、F的坐标，据此即可解答；(4)设点D(d,−2d+6)，根据lx=ly，分四种情况：d<0，0<d<3，3<d<4，d>4，分别列出关于d的方程进行解答，即可分别求得．【详解】（1）解：∵A(3,3)，B(4,1)，∴lx=|4−0|=4，ly=|3−0|=3，故答案为4；3；（2）解：如图：将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OCD，过点D作于点M，过点B作于点N，，，，，，，，OM=ON=4，，过点A作于点H，过点C作于点K，同理可求得点C的坐标为(-3,3)，∴lx=|-3−0|=3，ly=|4−0|=4，故答案为：3，4；（3）解：如图：将△OAB绕点O顺时针旋转45°得△OEF，∵A(3,3)，点A的对应点E在x轴上，，点E的坐标为，∵B(4,1)，，，设点F的坐标为(m,n)，则，解得或(舍去)，故点F的坐标为，∴，，故答案为：，；（4）解：∵点D在直线y=−2x+6上，∴设D(d,−2d+6)，直线y=−2x+6经过一、二、四象限，与坐标轴的交点分别为(3,0)、(0,6)，∵点C(4,0)，lx=ly，∴①当d<0时，点D在第二象限，，∵|4−d|=|−2d+6|，∴4−d=−2d+6，解得，d=2(舍)；②当0<d<3时，点D在第一象限，∴4=−2d+6，解得，d=1，此时D(1,4)；③当3<d<4时，点D在第四象限，，∴4=2d−6，解得d=5(舍去)；④当d>4时，点D在第四象限，，∴d=2d−6，解得d=6，此时D(6,−6)；综上，D点的坐标为(1,4)或(6,−6)．【点睛】本题考查了对新定义的理解，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形、解二元二次方程组等知识，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．25．（1）390（元）；（2）15位【分析】（1）结合两个统计图运用加权平均数进行计算即可；（2）首先根据利息＝本金×利率，计算利息，然后用除法计算人数即可．【详解】解：（1）由题意得：七年级人数：1200×40%＝480（人），八年级人数：1200×35%＝420（人），九年级人数：1200×25%＝300（人）．人均存款数为：（400×480+300×420+500×300）÷1200＝390（元）；（2）利息为：390×1200×2.25%＝10530（元），10530÷702＝15（人），答：该学校一年能帮助15位家庭贫困儿童．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能够表示各部分占总体的百分比．注意加权平均数的正确计算方法．26．(1)5，4(2)见解析(3)①图象具有对称性，对称轴是直线x=1；②x＜-1.6或x＞4.3【分析】（1）把x=-2和x=1分别代入y=|x2-2x-3|，即可求得；（2）描点、连线画出图象即可；（3）①根据图象即可求得；②根据图象即可求得．【小题1】解：把x=-2代入y=|x2-2x-3|，得y=5，∴m=5，把x=1代入y=|x2-2x-3|，得y=4，∴n=4，故答案为：5，4；【小题2】如图所示；【小题3】①函数的性质：图象具有对称性，对称轴是直线x=1；故答案为：图象具有对称性，对称轴是直线x=1；②由图象可知，不等式x+4＜|x2-2x-3|的解集为x＜-1.6或x＞4.3．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一次不