离散数学及其应用-第2版 习题答案 第11·章

第10章1.（1）减法不是；（2）加减法不是；（3）减法、除法不是；（4）减法、除法不是；（5）加法、减法不是2.（1）不符合可结合律。（b*c）*c=d*c=d;b*(c*c)=b*a=b,不相等；（2）a是单位元，d是零元。3.（1）假；（2）假；（3）真；（4）真4.（1）构成代数系统，满足交换律，不满足结合律，无零元，无幺元，无可逆元；（2）构成代数系统，服从结合律、交换律，无零元，幺元为1，e2πi/3与e4πi/3（3）构成代数系统，服从结合律、交换律，零元为1，无幺元，无可逆元；（4）构成代数系统，服从结合律、交换律，无零元，幺元为0，ax+b与-ax-b(∀a,b∈R)互为逆元。5.（1）幺元为1，可逆元只有1（逆元为1）；（2）幺元为0，a的可逆元为-a(∀a∈Z)；（3）幺元为矛盾式，除矛盾式外所有命题公式为可逆元，且逆元为该命题公式的否定；（4）幺元为0，无零元，0逆元为0，1和3互为逆元，2的逆元为2。6.（1）自同态映射（不是满自同态映射或自同构映射）；（2）不是自同态映射；（3）自同态映射（不是满自同态映射或自同构映射）；（4）不是自同态映射。7．证明：反证法。设x为0的左逆元，根据左逆元的性质有（1）x*0=e，根据零元的性质有x*0=0，则e=0，矛盾。故0无左逆元，同理可证0无右逆元。8.（1）共有6个双射函数：1）a→a;b→b;c→c;2）a→a;b→c;c→b;3）a→c;b→b;c→a;4）a→b;b→a;c→c;5）a→b;b→c;c→a;6）（2）设f为（1）中的函数，只需判断∀x,y∈A,fx∘y=f(x)∘f(y)是否成立，由于∀x,y∈A,fx∘y=fc9.（1）证明：∀x,y,z∈A,x∘y∘z=x∘（2）（题目可能有误）定义新的二元运算*满足：a*b=b;b*a=b;a*c=c;c*a=c;b*c=a;c*b=a;a*a=a;b*b=a;c*c=a，易得a是幺元，且*满足结合律，故<A,*>10.易得该运算在Z+上的封闭性且满足结合律11.（题目有误）12.证明：由题意知，当x=a，存在ua,va∈S，使得a*ua=va*a=a。任意x∈S，有ux,vx∈S，使得a*u13.证明：反证法。若S中无幂等元，任取x∈S，则x2≠x,但x2∈S,x3≠x,但x3∈S,…以此类推，可以得到x14.（1）是半群，不是独异点和群。（2）是群。（3）是群。（4）是独异点。（5）是群。15.证明：（1）封闭性：∀a,b∈Z,a*b=a+b-2∈Z，故满足封闭性。（2）∀x,y,z∈Z,x*y*z=x+y-2*z=x+y-2+z-2=x+y+z-4,x*y*z（3）∀x∈Z,x*2=x且2*x=x，故（4）∀x∈Z,4-x综上，<Z,*>是群。16.证明：充分性：∀a,b∈G,ab2=a2必要性：已知G是交换群，则∀a,b∈G,ab=ba,故ab217.证明：∀x,y∈G,则xy,yx∈G,18.（1）由定理10.5.1，小于15且与15互素的自然数为：1,7,11,13，则G的所有生成元为a,a（2）由定理10.5.3，求15的因子有：1,3,5,15，则G的所有子群为：<a>,<a19.证明循环群是阿贝尔群：设循环群G=<a>，则∀x,y∈G,∃i,j∈Z,有x=ai,y=阿贝尔群不一定是循环群，如<R,+>是阿贝尔群但不是循环群,其中R表示实数集，+表示普通加法。20.（1）构成环，乘法无幺元故不构成整环，关于乘法运算无可逆元故不是域。（2）关于加法不封闭故不构成环。（3）关于乘法不封闭故不构成环。（4）构成环，关于乘法不满足交换律故不构成整环，也不是域。21.证明<R,⊕>是阿贝尔群：封闭性和结合律容易证明满足；幺元为-1；任意a∈R,逆元为-2-a，故满足群。∀a,b∈R,a⊕b=a+b+1=b+a+1=b证明<R,∘>是半群：封闭性易得；结合律：∀x,y,z∈R,x∘y∘z=x*y+x+y∘证明分配律：∀x,y,z∈R,x∘y⊕z综上<R,⊕，∘>构成环。定义φ:R→R,φ(x)=x-1.对于任意x∈R,则x+1∈R且φ(x+1)=(x+1)-1=x,于是φ是满射.对于任意x,y∈R,若φ(φ所以φ(x+φ所以φ(x∘y)=φ(x)∘φ(y).

故环22.（1）因为a是含幺环R中的可逆元,令幺元为e,则:aa-1=a-1a=e，则-a（2）假设ab为可逆元，且设c=ab-1为ab的逆元,abc=e=abb-1a-123.只需证明<R-{0},*>为阿贝尔群：根据整