第2章对称图形-圆 综合素质评价（含答案） 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第2章综合素质评价一、选择题(每题3分，共24分)1．已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A在()A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定2．⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法确定3.如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数为()A．50°B．25°C．30°D．35°4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD.若BD⊥OC，则eq\o(AC,\s\up8(︵))的长为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D．π5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BD平分∠ABC，若∠D＝20°，则∠ABD的度数为()A．20°B．25°C．30°D．35°6.如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，若∠P＝40°，则∠ABC的度数是()A．20°B．25°C．30°D．35°7．如图，⊙O是边长为4eq\r(3)的等边三角形ABC的外接圆，点D是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为()A.eq\f(8π,3)B．4πC.eq\f(16π,3)D．16π8．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最小值为()A．3B．4C．5D．6二、填空题(每题3分，共30分)9.一个扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的弧长为________．10．三边长分别为6，8，10的三角形的内切圆的半径长为________．11．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C.若点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(6，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．12．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为________．13．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的度数为____________．14．如图，已知⊙O的半径OA的长为2，弦AB的长为2eq\r(2).若在⊙O上找一点C，使AC＝2eq\r(3)，∠BAC＝________．15．如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作eq\o(BD,\s\up8(︵))，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．16．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，eq\o(AB,\s\up8(︵))所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2eq\r(3)，则花窗的周长(图中实线部分的长度)＝________(结果保留π)．17．某奢侈品牌的香水瓶从正面看上去如图所示，它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形(点B，C在⊙O上)，其中BC∥EF，已知⊙O的半径为2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，则该香水瓶的高度h＝________.18．如图，扇形纸片OAB所在圆的圆心角∠AOB＝90°，半径为4，将扇形纸片折叠，使点B落在点B′处，折痕与eq\o(AB,\s\up8(︵))，OB分别交于点M，N.若eq\o(B′M,\s\up8(︵))与半径OA相切于点C，且C是OA的中点，则BN的长为________．三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)19．如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD.求证：AD∥BC.20.某居民小区一圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定圆柱形管道截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面(保留作图痕迹)；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．21．如图是由边长均为1的小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图(不写作法，保留作图痕迹)．(1)图①中，在边AD上画点E，使AE＝DE；(2)图②中，画∠BCD的平分线CF，交AD于点F；(3)图③中，点O在格点上，⊙O与AB相切，切点为A，⊙O交AD于点G，BC与⊙O相切，切点为M，CD与⊙O相切，切点为N，画出点M，N.22．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D.(1)求图中阴影部分的面积；(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP.当CP的长最大时，求BP的长．23．如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC.(1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数；(2)求证：①EF∥BC；②EF＝BD.24．如图①，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，D是eq\o(BDC,\s\up8(︵))上的一个动点，连接DA并延长，点F在射线DA上，且DF＝DB，连接BF.(1)如图②，若AD是⊙O的直径．①求⊙O的半径长；②求AF的长；(2)在点D的运动过程中，当AC与△BDF的一条边平行时，求AF的长．25．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC＝4，在BC的上方画∠BAC＝30°，尝试操作后思考：(1)这样的点A唯一吗？(2)点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上(点B，C除外)，….小华同学画出了符合要求的一条圆弧BAC(如图①)．(1)该弧所在圆的半径长为________；(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图②所示的弓形外部，我们记为A′，请你证明∠BA′C＜30°；(3)如图③，已知线段AB和直线l，在直线l上求作点P，使得∠APB＝45°，尺规作图，保留作图痕迹；(4)如图④，在边长为9的等边三角形ABC中，动点P在△ABC内部，且∠BPC＝120°，连接AP，求AP的最小值．

答案一、1.C2.A3.B4.B5.D6.B7.C8.D二、9.eq\f(4π,3)10.211.(2，0)12.eq\r(2)13.62°或118°14．15°或75°15.eq\r(3)16.8π17.5.7cm18.eq\f(3,2)点拨：如图，作点O关于直线MN的对称点O′，连接O′C，O′O，O′B，O′N，∴ON＝O′N.设BN＝x，则O′N＝ON＝OB－BN＝4－x.∵eq\o(B′M,\s\up8(︵))与半径OA相切于点C，∴O′C⊥OA，O′C＝OB＝4.∵∠AOB＝90°，∴O′C∥OB.∴四边形OBO′C是矩形．∴O′B＝OC，∠OBO′＝90°.∵C是OA的中点．∴O′B＝OC＝2.在Rt△BNO′中，O′N2＝BN2＋O′B2，即(4－x)2＝x2＋22，解得x＝eq\f(3,2)，∴BN＝eq\f(3,2).三、19.证明：∵AB＝CD，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵)).∴eq\o(AB,\s\up8(︵))－eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))－eq\o(AD,\s\up8(︵))，即eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵)).∴∠A＝∠B.∴AD∥BC.20．解：(1)如图所示．(2)如图，由作图可知，OD为弦AB的垂直平分线，记OD与AB相交于点C，则C为AB的中点，连接AO.∵AB＝16cm，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝8cm.设这个圆形截面的半径为xcm.由题知CD＝4cm，∴OC＝(x－4)cm.在Rt△OAC中，∵OC2＋AC2＝OA2，∴(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10.∴这个圆形截面的半径为10cm.21．解：(1)如图①，点E即为所求．(2)如图②，射线CF即为所求．(3)如图③，点M，N即为所求．22．解：(1)如图，连接AD.∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AC2＋AB2＝BC2.∴∠BAC＝90°.∵⊙A与BC相切于点D，∴AD＝eq\f(AC×AB,BC)＝eq\f(4×3,5)＝eq\f(12,5).∴S阴影＝eq\f(1,2)×3×4－eq\f(90°×π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))\s\up12(2),360°)＝6－eq\f(36,25)π.(2)如图，当C，A，P三点共线时，CP的长最大．∵∠BAC＝90°，∴∠BAP＝90°.又∵AP＝eq\f(12,5)，AB＝3，∴BP＝eq\r(AP2＋AB2)＝eq\f(3,5)eq\r(41).23．(1)解：∵CD为直径，∴∠CAD＝90°.由题知∠ADC＝∠AFE＝60°，∴∠ACD＝90°－60°＝30°.∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＝30°.(2)证明：①如图，延长AB到点M.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CBM＝∠ADC.又∵∠AFE＝∠ADC，∴∠AFE＝∠CBM.∴EF∥BC.②如图，过点D作DG∥BC交圆于点G，连接AG，CG.∵DG∥BC，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CG,\s\up8(︵)).∴BD＝CG.∵四边形ACGD是圆内接四边形，∴∠GDE＝∠ACG.易知EF∥DG，∴∠DEF＝∠GDE.∴∠DEF＝∠ACG.∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，∴∠AFE＝∠AGC.又∵AE＝AC，∴△AEF≌△ACG(AAS)．∴EF＝CG.∴EF＝BD.24．解：(1)①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∴∠ADB＝30°.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∴AD＝2AB＝12.∴⊙O的半径长为6.②∵∠ABD＝90°，AD＝12，AB＝6，∴BD＝eq\r(AD2－AB2)＝eq\r(122－62)＝6eq\r(3).∵DF＝DB，∴DF＝6eq\r(3).∴AF＝AD－DF＝12－6eq\r(3).(2)当AC∥BD时，如图①.∵∠ACB＝30°，∴∠D＝30°.∵AC∥BD，∴∠CBD＝∠ACB＝30°.∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝60°.∴∠BAD＝90°.又∵∠D＝30°，∴DF＝BD＝2AB＝12.∴AD＝eq\r(BD2－AB2)＝6eq\r(3).∴AF＝DF－AD＝12－6eq\r(3).当AC∥BF时，如图②.∵AC∥BF，∴∠BAC＋∠ABF＝180°.∴∠ABF＝60°.∵DF＝BD，∠ADB＝∠C＝30°，∴∠DBF＝∠DFB＝eq\f(180°－30°,2)＝75°.∴∠ABD＝135°.过点A作AH⊥BD，交DB的延长线于点H.∵∠ABD＝135°，∴∠ABH＝45°.∴△ABH是等腰直角三角形．又∵AB＝6，∴AH＝BH＝3eq\r(2).∵∠ADB＝30°，∴AD＝2AH＝6eq\r(2).∴DH＝3eq\r(6).∴DF＝BD＝DH－BH＝3eq\r(6)－3eq\r(2).∴AF＝AD－DF＝6eq\r(2)－(3eq\r(6)－3eq\r(2))＝9eq\r(2)－3eq\r(6).综上，AF的长为12－6eq\r(3)或9eq\r(2)－3eq\r(6).25．(1)4点拨：已知线段BC＝4，在BC的上方画∠BAC＝30°，过点C作CD⊥BC，交圆弧BAC于点D，连接BD，如图①，则BD为该弧所在圆的直径，∠BDC＝∠A＝30°，∴BD＝2BC＝8.∴该弧所在圆的半径长为eq\f(8,2)＝4.(2)证明：设A′C与圆弧BAC的交点为E，连接BE，如图②，则∠BEC＝∠A＝30°.∵∠BEC是△A′BE的一个外角，∴∠BA′C＜∠BEC.∴∠BA′C＜30°.(3)解：如图③，点P1，P2即为所求．(4)解：如图④，以BC为边，在△ABC的下方作等边三角形BDC，构造△BDC的外接圆⊙O，连接AD，OB，OA，OP，则BO⊥DC，DO⊥BC，AP≥OA－OP，BD＝CD，∠BDC＝60°，∠CBD