(18)-专题18 探索规律

专题18探索规律

考点聚焦

重点速记

1、算式中的规律。

在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出

这一类算式的结果．

例如：1×1=1；

11×11=121；

111×111=12321；

1111×1111=1234321；

通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字

呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分

再顺次写出．

2、数列中的规律。

按一定的次序排列的一列数，叫做数列．

（1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中．

例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1；

1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系．

（2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律．

例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组；

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1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和．

（3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律．

例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，

6…项依次相差15．

（4）相邻两数的关系中隐含着规律．

例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12…

3、数形结合规律。

在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面

要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．

真题专练

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．（2分）（2023•郑州）如图，〇、△、□各表示一个两位数中的其中一个数字，观察下

面图与数的关系，第4图形表示的两位数是（）

A．54B．43C．34

2．（2分）（2023•临西县）瑞士的巴尔末从测量光谱的数据、、、中得到了巴尔

末公式，请你按这种规律写出第10个数据，这个数据为（）

A．B．C．D．

3．（2分）（2023•惠州）小朋友玩游戏，老师让小朋友们站成一排，并从第一位开始依照

1、2、3循环报数，最后一位小朋友报的数是2，请问，这一排可能有（）个小朋友．

A．25B．26C．27D．28

4．（2分）（2023•石鼓区）观察下面的圆柱，分析它们的底面直径和高的变化引起体积变

化的规律，根据这个规律，第n个圆柱的体积是（）

A．πn3B．πn2C．2πn2

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5．（2分）（2023•建平县）瑞士的一位中学老师从光谱数据，，，，中发现了一

个规律，从而打开了光谱奥妙的大门，请你根据这个规律写出第5个数是（）

A．B．C．D．

6．（2分）（2023•深州市）六一儿童节，一年级（2）班的学生用彩灯布置教室，按“两红、

三蓝、两紫”的顺序排列，第57盏灯是（）

A．红色B．蓝色C．紫色

7．（2分）（2023•晋中）明明用小棒按如图的规律搭房子，搭30间房子要（）根小棒。

A．120B．121C．150

8．一些正方体按图方式摆放。如果用n表示第几个图形，用y表示图形露在外面的面的个数，

下面式子能表示第几个图形与露在外面的面的个数关系的是（）

A．y＝9nB．y＝4+5nC．y＝2+2n

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．（2分）（2023•涵江区）将一些小圆球如图摆放，第9幅图中共有个小圆球。

10．用大小一样的圆形画图，先观察前四幅图阴影部分面积与1个圆面积的关系，再根据这

个规律推算第五幅图阴影部分的面积相当于个圆的面积。

11．（2分）（2023•荔城区）如果按照如图正方形点子图的规律排列，第⑥幅图共有

个点子，第n幅图共有个点子。

12．找规律，填一填。△□□〇〇☆△□□〇〇☆△□□〇〇☆……第40个图形是。

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13．如图，用小棒摆正方形。摆1个正方形要4根小棒，摆2个正方形要7根小棒，继续这

样摆，摆10个正方形要根小棒；摆n个正方形需要的小棒根数是

根。

……

4根7根10根小棒……

14．（2分）（2023•平湖市）如图所示，第1层有1个点，第2层有4个点，第3层有9个

点……按这样的规律，第9层有个点，第有196个点。

15．（2分）（2023•信阳）如图，按照前面四幅图的规律，算出第五幅图中的正方形里共有

个圆；再算出第七幅图中的正方形里共有个圆。

16．（2分）（2023•莆田）有一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），

（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1）……

①第72组的两个数之和是。

②在前55组中，“5”这个数出现了次。

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

17．△△△▽▼△△△▽▼……，照这样排列下去，第30个图形一定是▼。

18．这组数据是没有规律的：3，10，18，27，37，48，60，……。

19．（2分）（2022•孟州市）下面是一组按规律排列的数：60、75、90、105、120……则935

不是这组数中的数。

20．（2分）（2022•昆明）用小棒按如图搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，

搭n个用3n根小棒。

四．应用题（共7小题，满分60分）

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21．（6分）（2023•罗甸县）像如图那样用小棒摆三角形，请你算一算。摆10个三角形用

多少根小棒？摆n个三角形呢？

22．有一个无限小数，小数部分任意相邻四位数字之和都是26，已知第3位是3，第6位是

6，第8位是8，那么第2021位上的数字是几？（写出计算与分析过程）

23．（6分）（2021•黔南州）如图，1个杯子的高度是15cm，把5个完全一样的杯子叠起来

的高度是25cm，那么10个这样的杯子叠起来的高度是多少厘米？

24．（8分）（2023•临西县）一张长方形桌子可坐6人，按如图方式将桌子拼在一起。

（1）2张这样的桌子拼在一起可坐多少人？3张桌子呢？n张桌子呢？

（2）一家饭店有80张这样的长方形桌子，按照如图方式每4张拼成1张大桌子，则80张桌

子可拼成20张大桌子，共可坐多少人？

25．（10分）（2023•武城县）如图所示，用“十字”分割正方形。分割一次，分成了4个

正方形，分割两次，分成了7个正方形。

（1）如果连续用“十字”分割4次，分成了个正方形。

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（2）如果连续用“十字”分割n次，会分成个正方形。

（3）如果分成346个正方形。需要用“十字”分割次。

26．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律？

（2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字可以怎样表示？

（3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是200，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写

出来。

27．（12分）（2022•高邑县）聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律：

42﹣22＝（4+2）×（4﹣2）＝12

72﹣32＝（7+3）×（7﹣3）＝40

92﹣42＝（9+4）×（9﹣4）＝65

（1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。

152﹣52＝（+）×（﹣）＝（）

（2）求如图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2﹣b2”来计算，明明说也可以用“（a+b）

×（a﹣b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？

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专题18探索规律

参考答案

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．【分析】前3个图中都有圆，表示的数字中都有5，即5表示圆形；进而可以得出3表示

三角形；4表示正方形；而且第一个数字表示的图形在外面，第二个数字表示图形在第一个

数字表示图形的里面．

【解答】解：图形中有一个正方形和一个三角形，正方形在外，三角形在内，所以用

数字：43表示．故选：B．

【点评】根据第一幅、第二幅和第三幅图中的数字，得出：〇△□各表示的数字是解决本题

的关键．

2．【分析】根据所给数据发现：分子是从3开始的数的平方，分母比分子小4。据此解答。

【解答】解：3+（10﹣1）＝12

12×12＝144

144﹣4＝140

所以第10个数据为。故选：C。

【点评】通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的

基本能力。

3．【分析】根据题意，每3个小朋友一循环，因为最后一个报的是2，所以小朋友的个数应

该是3的倍数多2人．分别计算各选项人数，即可找到符合题意的选项。

【解答】解：25÷8＝3（组）……1（个）

26÷3＝8（组）……2（个）

27÷3＝9（组）

28÷3＝9（组）……1（个）

所以26个小朋友最后一个报数是2。

答：这一排可能有26个小朋友。故选：B。

【点评】先找到规律，再根据规律求解。

4．【分析】利用圆柱的体积公式：V＝πr2h计算前面几个圆柱的体积，根据体积的变化发现

规律，并运用规律做题。

【解答】解：①π×（2÷2）2×1＝π

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②π×（4÷2）2×2＝8π＝23π

③π×（6÷2）2×3＝27π＝33π

所以第n个圆柱的体积是πn3。故选：A。

【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。

5．【分析】观察可知，分子是3、4、5、6……的平方数，分母比分子小4，第5个数的分子

是7的平方，据此解答即可。

【解答】解：72＝49

49﹣4＝45

答：根据这个规律写出第5个数是。故选：C。

【点评】本题考查了数字的变化规律，知道分子和分母的变化规律是解题关键。

6．【分析】由题意可知，循环周期是7，用57除以循环周期，计算出商和余数，找出第57

盏灯是什么颜色即可。

【解答】解：57÷7＝8（组）……1（盏）

答：第57盏灯是红色。故选：A。

【点评】本题考查了简单的周期现象，找出循环周期是几是解题的关键。

7．【分析】搭一间房用5根小棒，2间房用9根小棒，3间房用13根小棒，以后每增加一间

房就多用4根小棒，由此解决问题。

【解答】解：搭一间房用5根小棒，可以写成1+1×4；

2间房用9根小棒，可以写成1+2×4；

3间房用13根小棒，可以写成1+3×4；

……

所以搭n间房子需要1+4n根小棒。

当n＝30时，需要小棒1+30×4＝121（根）

答：搭30间房子要121根小棒。故选：B。

【点评】主要考查了通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先

应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。

8．【分析】由图可知，第1个图形露出9个面，第2个图形露出14个面，第3个图形露出

19个面，第4个图形露出24个面……，4个图形的左右两边都是露出4个面，每增加2个小

正方体，就会增加5个面，据此找规律解答。

【解答】解：由分析可知，图形露在外面的面的个数＝5+图形的序数×5，如果用n表示第几

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个图形，用y表示图形露在外面的面的个数，则y＝4+5n。故选：B。

【点评】解答本题需准确分析图形的序数与露出的面数之间的关系，分析出每增加2个小正

方体，就会增加5个面是关键。

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．【分析】由图可知，第1个图形有1个小圆球，第2个图形有（1+3）个小圆球，第3个

图形有（1+3+5）个小圆球，第4个图形有（1+3+5+7）个小圆球……以此类推，第n个图形

小圆球的个数等于从1开始连续n个奇数的和，从1开始连续n个奇数的和等于奇数个数的

平方，据此解答。

【解答】解：1+3+5+7+9+11+13+15+17＝92＝81（个）

答：第9幅图中共有81个小圆球。故答案为：81。

【点评】本题主要考查数形结合思想的应用，找出小圆球个数的变化规律是解答题目的关键。

10．【分析】观察图示可知：阴影部分是由几个扇形组成的，且扇形的半径与所在圆的半径

相等，扇形内角和可通过三角形内角和、四边形内角和推得，扇形的面积由半径和圆心角决

定，据此可推算出第五幅图阴影部分的面积相当于几个圆的面积。

【解答】解：①三角形内角和为180°，阴影部分由三个扇形组成，扇形半径与圆的半径相

等，每个扇形的圆心角均是三角形的一个内角，三个圆心角的和就等于三角形内角和180°，

则S阴影S圆S圆；

②四边形内角和为360°，阴影部分由四个扇形组成，扇形半径与圆的半径相等，每个扇形

的圆心角均是四边形的一个内角，四个圆心角的和就等于四边形内角和360°，则S阴影

S圆＝S圆；

③四边形内角和为360°，阴影部分由四个扇形和一个半圆组成，扇形半径与圆的半径相等，

每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角，四个圆心角的和就等于四边形内角和360°，再

加上一个半圆圆心角为180°，则S阴影S圆S圆；

④四边形内角和为360°，阴影部分由四个扇形和两个半圆组成，扇形半径与圆的半径相等，

每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角，四个圆心角的和就等于四边形内角和360°，再

加上两个半圆圆心角之和为360°，则S阴影S圆＝2S圆；

⑤四边形内角和为360°，阴影部分由四个扇形和三个半圆组成，扇形半径与圆的半径相等，

每个扇形的圆心角均是四边形的一个内角，四个圆心角的和就等于四边形内角和360°，再

加上三个半圆圆心角之和180°×3＝540°，则S阴影S圆S圆。

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答：第五幅图阴影部分的面积相当于个圆的面积。故答案为：。

【点评】本题考查了图形变化的规律，需要对于多边形内角和比较熟悉，同时能够准确计算

扇形的面积，还要善于发现图形之间的联系，找到变化的规律。

11．【分析】根据观察，第一幅有4个点子；

第二幅有8个点子；

第三幅有12个点子；

......

所以第n幅有4n个点子。

【解答】解：如果按照如图正方形点子图的规律排列，第⑥幅图共有24个点子，第n幅图共

有4n个点子。

故答案为：24，4n。

【点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个图形就多4个点子是解本题的关键。

12．【分析】每6个图形一循环，计算第40个图形是第几组循环零几个，即可判断其形状。

【解答】解：40÷6＝6（组）……4（个）

答：第40个图形是〇。

故答案为：〇。

【点评】先找到规律，再根据规律求解。

13．【分析】摆1个正方形要4根小棒，摆2个正方形要（4+3）根小棒，摆3个正方形要

（4+3+3）根小棒，摆n个正方形要[4+3×（n﹣1）]根小棒，由此解答本题即可。

【解答】解：由分析可知，摆10个正方形需要小棒：4+3×（10﹣1）

＝4+3×9

＝31（根）

摆n个正方形需要的小棒根数：4+3×（n﹣1）

＝4+3n﹣3

＝（3n+1）根

故答案为：31；（3n+1）。

【点评】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。

14．【分析】规律：每层的点数等于层数的平方；则第9层有点的个数＝92＝81，196＝14×

14，则第14层有196个点。

【解答】解：9×9＝81（个）

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196＝14×14

所以第14层有196个点。

答：第9层有81个点，第14层有196个点。故答案为：81；14层。

【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。

15．【分析】规律：每个正方形里面圆的个数是平方数，所以第n幅图中的正方形里共有n2

个圆。

【解答】解：5×5＝25（个）

7×7＝49（个）

答：第五幅图中的正方形里共有25个圆；第七幅图中的正方形里共有49个圆。

故答案为：25；49。

【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。

16．【分析】①观察数组的规律，第一个数是1的有1组，第一个数是2的有2组，第一个

数是3的有3组，第一个数是4的有4组，……，因为1+2+3+4+……+11＝66组，所以从第

67组开始，每组的第一个数是12，第67组是（12，1），依此类推，第72组是（12，6），

两个数的和是12+6＝18；

②因为1+2+3+……+10＝55组，所以第55组恰好是（10，10），第一个数是5的有5组，

即（5，1）、（5，2）、（5、3）、（5，4）、（5，5）。第二个数是5的只能是（5，5）、

（6，5）、（7，5）、（8，5）、（9，5）、（10，5）出现了6次，所以“5”这个数出现

了11次。据此解答。

【解答】解：①观察数组的规律，可知：

第一个数是1的有1组，

第一个数是2的有2组，

第一个数是3的有3组，

第一个数是4的有4组，

……，

又1+2+3+4+……+11＝66组，

所以从第67组开始，每组的第一个数是12，第67组是（12，1），第68组是（12，

2），……，第72组是（12，6），两个数的和：12+6＝18；

答：第72组的两个数之和是18。

②因为1+2+3+……+10＝55组，所以第55组恰好是（10，10）

第一个数是5的有5组，即（5，1）、（5，2）、（5、3）、（5，4）、（5，5），出现了5

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次；

第二个数是5的只能是（5，5）、（6，5）、（7，5）、（8，5）、（9，5）、（10，5）出

现了6次；

所以“5”这个数出现：5+6＝11（次）

答：在前55组中，“5”这个数出现了11次。故答案为：①18，②11。

【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备

的基本能力。

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

17．【分析】每5个图形一循环，计算第30个是第几组循环零几个，即可判断其形状。

【解答】解：30÷5＝6（组）

所以第30个图形一定是▼。原题说法正确。故答案为：√。

【点评】先找到规律，再根据规律求解。

18．【分析】依次加7、8、9、10、11、12。

【解答】解：3，10，18，27，37，48，60，……。规律为依次加7、8、9、10、11、12。所

以原题干表述错误。故答案为：×。

【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的

基本能力。

19．【分析】这组数每次递增15，所以用935减去60，看能否被15整除即，如果能整除就

是，否则不是；据此解答。

【解答】解：75﹣60＝15，90﹣75＝15，……

所以这组数每次递增15，

（935﹣60）÷15≈58.33

所以，935不是这组数中的数。原题干表述正确。故答案为：√。

【点评】此题考查了数列的规律，关键是求出每次递增的数。

20．【分析】搭一个三角形需要3根小棒，搭两个三角形需要5根小棒，搭三个三角形需要7

根小棒，则知搭n个三角形需要（2n+1）根小棒。

【解答】解：用小棒按如图搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用

（2n+1）根小棒。原题说法错误。故答案为：×。

【点评】本题考查规律型问题中的图形变化问题，这类题型在中考中经常出现．对于找规律

的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。

四．应用题（共7小题，满分60分）

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21．【分析】根据图示发现：摆1个三角形需要小棒：（1+2）根；摆2个三角形需要小棒：

（1+2+2）根；摆3个三角形需要小棒：（1+2+2+2）根；依此类推……摆n个三角形需要小

棒：（2×n+1）根。据此解答。

【解答】解：摆n个三角形需要小棒：2×n+1＝（2n+1）根

当n＝10时，

2×10+1

＝20+1

＝21（根）

答：摆10个三角形用21根小棒；摆n个三角形用（2n+1）根小棒。

【点评】本题主要考查数与形结合的规律，解题关键是根据图示发现这组图形的规律，并运

用规律解决问题。

22．【分析】小数部分任意相邻四位数字之和都是26，说明循环周期是4，第6位和第2位

一样，第8位和第4位一样，用相邻四位数字之和减去（3+6+8）就是循环周期的第一个数字，

据此求出一个循环周期的四位数字，再用2021除以循环周期，求出有几个循环周期零几个即

可解答。

【解答】解：26﹣（3+6+8）

＝26﹣17

＝9

所以循环周期的四个数字是：9638；

2021÷4＝505……1

答：第2021位上的数字是9。

【点评】求出这个小数的循环节，找出循环周期是解题的关键。

23．【分析】1个杯子的高度是15cm，把5个完全一样的杯子叠起来的高度是25cm，那么上

面每个杯子露出（25﹣15）÷4＝2.5（厘米），然后求出上面9个杯子露出的高度，再加上

15厘米即可。

【解答】解：（25﹣15）÷4

＝10÷4

＝2.5（厘米）

2.5×（10﹣1）+15

＝22.5+15

＝37.5（厘米）

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答：10个这样的杯子叠起来的高度是37.5厘米。

【点评】本题考查数和形中的找规律问题，找到共同特征解决问题即可。

24．【分析】（1）1张长方形桌子可坐6人，2张长方形桌子可坐（6+2）人，3张长方形桌

子可坐（6+2+2）人，n张长方形桌子可坐[6+2×（n﹣1）]人，由此解答本题；

（2）先计算1张大桌子可坐多少人，然后计算20张大桌子，共可坐多少人。

【解答】解：（1）2张这样的桌子拼在一起可坐人数：6+2＝8（人）

3张这样的桌子拼在一起可坐人数：6+2+2＝10（人）

n张这样的桌子拼在一起可坐人数：6+2×（n﹣1）

＝6+2n﹣2

＝（2n+4）人

答：2张这样的桌子拼在一起可坐8人，3