(12)-专题12 解方程及其实际应用

专题12解方程及其实际应用

考点聚焦

重点速记

一、等式的意义和性质。

1、含义:表示两个相等关系的式子叫做等式。

2、性质:

(1)等式两边同时加上(或减去)同一个数，左右两边仍然相等。

(2)等式两边同时乘(或除以)相同的数(0除外),左右两边仍然相等。

二、方程的意义及方程与等式的关系。

1、含义:含有未知数的等式叫做方程。

2、关系:方程都是等式,但等式不一定是方程。

三、解方程。

1、方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值。

2、解方程:求方程的解的过程。

3、简易方程的解法:根据四则运算中各部分之间的关系来求方程的解;根据等式的基本性质求

方程的解。

四、列方程解决问题。

1、列方程解应用题就是用字母表示应用题中的未知数,根据等量关系列出方程,再解所列方程,

得到答案；

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2、找等量关系的方法:

(1)以一般数量关系为等量关系式;

(2)以公式为等量关系式;

(3)以典型“关系句”为等量关系式;

(4)按“事情的发展”为等量关系式。

3、列方程解应用题的一般步骤:

(1)弄清题意,找出未知数并用字母表示;

(2)找出应用题中数量间的相等关系，列方程;

(3)解方程,求出未知数的值;

(4)检验或验算,写出答案。

真题专练

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．（2分）（2023•东兰县）下面各式中，是方程的是()

A．5´3=15B．x+5C．3´2+x=22D．4x-6>5

2．（2分）（2020•宣州区）买鞋的学问：如果鞋子是a码，也就是b厘米，它们有这样的关

系：a=2b-10．小明要穿40码的鞋子，也就是要穿()厘米的鞋子．

A．35B．30C．25D．15

3．（2分）（2022•镇江）小红有48元钱，小华有x元钱，小红给了小华5元钱后，两人的

钱同样多。下列方程正确的是()

A．x+5=48B．48-x=5C．x+5=48-5

1

4．（2分）（2023•丘北县）下面不能用方程“x+x=100”来表示的是()

3

ABCD

5．（2分）（2021•迎泽区）x和y是两种相关联的量，其中的两组相对应的值如下表。

x410¼¼

y5a¼¼

如果a=2，那么x，y____；如果a=12.5，那么x，y____。()

A．都不成比例B．成正比例；成反比例

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C．成反比例；成正比例D．无法判断

6．（2分）（2022•莲都区）下列式子中，属于方程的是()

A．1.8+2.5=4.3B．3x=15C．5x+1D．10-x>8.8

7．（2分）（2023•都江堰市）已知2x+1=9，那么5x-3x=()

A．4B．8C．12D．16

8.小学学习了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下面不能表示它们之间关系的是()

ABCD

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．（2分）（2020•阜平县）在①3x+4x=48②69+5n③5+3x>60④12-3=9⑤x+x-3=0

中，是方程的有，是等式的有．

10．鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是：a=2b-10，(a表示

码数，b表示厘米数）奶奶经常穿36码的鞋，奶奶的脚大约长厘米．

11．（2分）（2020•修水县）当x=0.5时，4x+3的值是．当x=时，4x+3=7．

2

12．（2分）（2023•赞皇县）若x=是方程9x+2a=16的解，则a=。

3

13．如果ab+5=12，那么a与b成比例关系；如果2a+5=11，那么4a+10=。

14．（2分）（2023•保康县）数学知识之间都有着密切的联系。如图中，若B表示四边形，

则A可以表示；若A表示方程，则B可以表示。

15．（2分）（2023•民权县）a´(7+b)，当a=5时，b=才能使a´(7+b)=52.5．

16．（2分）（2023•大连）如果x¸30=0.3，那么2x+1=。

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

17．（2分）（2023•萍乡）如果1.2x-1.3=3.5，那么x2+3x=28。

18．（2分）（2022•平舆县）4x+7=7解得x=0，所以该方程没有解。

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19．（2分）（2023•汶上县）方程一定是等式，但等式不一定是方程．．

20．（2分）（2022•丰南区）天平的左侧盘中放一个2.5千克的菠萝，如果在右侧盘中放50

个鸡蛋（每个鸡蛋50克），天平就能够保持平衡。

四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）

21．（6分）（2023•灵山县）解方程。

x﹣1＝0.52x﹣0.17x＝0.21：x＝：

22．（6分）（2023•渑池县）解方程。

x-15%x=686x+2(x+4)=244x+2(20-x)=60

五．解答题（共8小题，满分48分，每小题6分）

23．（6分）（2023•宝丰县）我校“阳光体育运动”已经正式启动，学校准备为同学们购买

跳绳120根，若每条跳绳x元．

（1）学校拿去1000元，应找回多少元？（用含有字母的式子表示出来）

（2）若x=7，计算一下应找回多少元？

24．（6分）（2023•玉门市）最是书香能致远，唯有书香最醉人。爱读书、读好书、善读书，

倡导全民阅读，建设书香社会，已经成为全社会的共识。丹丹响应号召看一本课外书，第一

天看了全书的，第二天看了全书的10%，她发现第二天比第一天少看了6页，那么这本课

外书一共有多少页？（列方程解答）

25．（6分）（2023•盐山县）太阳系的八大行星中，离太阳最近的是水星。地球绕太阳一周

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是365天，比水星绕太阳一周所用时间的4倍还多13天。水星绕太阳一周是多少天？

26．（6分）（2023•东兰县）老师买来一批练习本准备发给获奖的学生，如果每人6本，就

差12本；如果每人4本，那么还剩6本。问：获奖的学生有多少人？（用方程解）

27．（6分）（2023•铁东区）钢琴上有黑白相同的琴键共88个，其中白色琴键用来弹奏基

本音级，黑色琴键则用来弹奏变化音级。明明数了之后发现白色琴键比黑色琴键数量的2倍

少20个，黑色琴键有多少个？

28．（6分）（2023•阜宁县）“110米栏”是奥运会径赛项目之一，男子110米栏比赛中规

定：在110米的跑道上一共有10个跨栏，每两栏之间的距离相等，请根据图中信息，计算每

相邻两栏之间的距离是多少米？（列方程解答）

?

29．光华小学开展“垃圾分类进校园”活动，五、六年级一个月共收集废电池360节，五年

级收集的废电池是六年级的5，五、六年级各收集多少节废电池？（用方程解答）

4

30．（6分）（2023•大连）在高新区举办的“我最喜爱的课外书”活动中，奇思第一天看了

1

一本故事书的20%，第二天看了这本书的，这时还剩88页没有看。这本书一共有多少页？

4

（写出等量关系并列方程解答。)

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专题12解方程及其实际应用

参考答案

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．【分析】含有未知数的等式叫做方程；由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条

件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可，据此逐项分析后再选择．

【解答】解：A、5´3=15，虽然是等式，但它没含有未知数，所以不是方程；

B、x+5，虽然含有未知数，但它不是等式，所以不是方程；

C、3´2+x=22，既含有未知数，又是等式，符合方程需要满足的两个条件，所以是方程；

D、4x-6>5，虽然含有未知数，但它是不等式，不是等式，所以不是方程．故选：C．

【点评】此题主要根据方程需要满足的条件来辨识方程，明确只有含有未知数的等式才是方

程．

2．【分析】把a=40代入a=2b-10，再依据等式的性质，方程两边同时加10，最后同时除以

2求解．

【解答】解：把a=40代入a=2b-10，可得：

40=2b-10，

40+10=2b-10+10，

50¸2=2b¸2，

b=25．

故选：C．

【点评】本题的关键是把a=40代入方程a=2b-10，再运用等式的性质解方程．

3．【分析】根据等量关系：“小华的钱+5=小红的钱-5”列方程解答即可。

【解答】解：x+5=48-5

x+5=43

x+5-5=43-5

x=38

故选：C。

【点评】明确题中的等量关系：“小华的钱+5=小红的钱-5”是解题的关键。

4．【分析】根据各选项中的图的等量关系列式，即可判断。

1

【解答】解：A.图中的3条小线段表示x，则下面的一小段表示x，则上面线段与下面线段

3

1

的和等于100，可以用x+x=100来表示；

3

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1

B.图中的线段被平均分成了4段，4段的和是100，前三段是x，则最后一段是x，求两段

3

1

的和，列式为x+x=100；

3

11

C.根据等底等高的圆锥的体积等于圆柱体积的，可知圆锥的体积是xcm3，圆柱加上圆锥的

33

1

体积和是100cm3，据此列式为x+x=100；

3

D.根据题中的等量关系：同时部分的面积加上空白部分的面积是100平方米，涂色部分的面

11

积是x平方米，空白部分的面积是x平方米，列式为：x+x=100。故选：D。

22

【点评】明确各选项中的等量关系是解题的关键。

5．【分析】判断想x，y成正比例还是反比例：当y随x的增大而增大时，x，y成正比例。

当y随x的增大而减小时，x，y成反比例。

【解答】解：（1）因为当a=2时，y随x的增大而变小；且x增大2.5倍，y同时缩小2.5倍；

所以x，y成反比例。（2）因为当a=12.5时，y随x的增大而增大；且x增大2.5倍，y同时

增大2.5倍；所以x，y成正比例。故选：C。

【点评】判断x，y什么比例关系，主要看其中一个变化的同时另一个未知数怎样变化。

6．【分析】含有未知数的等式叫做方程，据此判断。

【解答】解：A.1.8+2.5=4.3，是等式，但不含有未知数，所以不是方程。

B.3x=15，含有未知数，且是等式，所以是方程。

C.5x+1，含有未知数，但不是等式，所以不是方程。

D.10-x>8.8，含有未知数，但不是等式，所以不是方程。故选：B。

【点评】熟练掌握方程的意义是解题的关键。

7．【分析】根据题意，先求出x的值，再将x的值代入第二个式子计算即可。

【解答】解：2x+1=9

2x=8

x=4

5x-3x=2x

将x=4代入得2´4=8。故选：B。

【点评】本题考查了解方程。

8．【分析】根据正、反比例的意义、三角形的分类、等式与方程的关系、因数和倍数的关系

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解答即可。

【解答】解：A.正比例和反比例都是比例，不存在包含与被包含的关系，所以

不能表示它们之间的关系；

B.三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，它们之间是并列的关系，所以

能表示它们之间的关系；

C.等式包括方程，但等式不一定是方程，方程一定是等式，它们之间是包含与被包含的关系，

所以能表示它们之间的关系；

D.一个数的最大因数和最小倍数相等，所以能表示它们之间的关系。

故选：A。

【点评】熟练掌握正、反比例的意义、三角形的分类、等式与方程的关系、因数和倍数的关

系是解题的关键。

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．【分析】等式是指用“=”连接的式子，方程是指含有未知数的等式；据此进行分类．

【解答】解：①3x+4x=48，既含有未知数，又是等式，所以既是等式，又是方程；

②69+5n，只是含有未知数的式子，所以既不是等式，又不是方程；

③5+3x>60，是含有未知数的不等式，所以既不是等式，又不是方程；

④12-3=9，只是用“=”连接的式子，没含有未知数，所以只是等式，不是方程；

⑤x+x-3=0，既含有未知数，又是等式，所以既是等式，又是方程；

所以方程有：①⑤，等式有：①④⑤．

故答案为：①⑤，①④⑤．

【点评】此题考查等式和方程的辨识，熟记定义，才能快速辨识．

10．【分析】因为a表示码数，所以把a=36，代入a=2b-10，同时设奶奶的脚大约长x厘米，

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即b是x厘米，由此列出方程解决问题．

【解答】解：设奶奶的脚大约长厘米，

2x-10=36，

2x-10+10=36+10，

2x=46，

2x¸2=46¸2，

x=23，故答案为：23．

【点评】解答此题的关键是根据码”和“厘米”的关系，即a=2b-10，把给出的码数代入，

要求的厘米数设出，列方程解决问题．

11．【分析】第一个问题，只要把x=0.5代入式子4x+3，就很容易得解．第二问，解方程4x+3=7

可得，x=1．

【解答】解：（1）把x=0.5代入式子4x+3，得

4x+3

=4´0.5+3

=2+3

=5；

（2）4x+3=7

4x=7-3

4x=4

x=1．

故答案为：5，1．

【点评】本题考查了代入法求含字母式子的值以及解简单方程的知识．注意根据题目实际情

况灵活解答！

2

12．【分析】把x=代入方程，再根据等式的基本性质求出a的值即可。

3

2

【解答】解：9´+2a=16

3

6+2a-6=16-6

2a¸2=10¸2

a=5

故答案为：5。

【点评】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。

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13．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是

对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此依次

分析即可。

【解答】解：如果ab+5=12，则ab=12-5=7（一定），那么a与b成反比例关系；

如果2a+5=11

2a=6

a=3

那么4a+10=4´3+10=22。故答案为：反，22。

【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘

积一定，再做判断。

14．【分析】四边形包括长方形、平行四边形、梯形等；再根据等式、方程的意义，表示两

个数或两个式子相等的式子叫做等式，含有未知数的等式叫做方程，方程是特殊的等式，所

以等式包括方程，据此解答。

【解答】解：四边形包括长方形、平行四边形、梯形等，所以若B表示四边形，则A可以表

示长方形；

方程是特殊的等式，所以等式包括方程，所以若A表示方程，则B可以表示等式。

故答案为：长方形（答案不唯一），等式。

【点评】此题考查的是理解掌握四边形、长方形、梯形等图形的特征，等式与方程之间的关

系。

15．【分析】把a=5代入算式中，变成只含有b的方程，解方程求出b的值即可．

【解答】解：把a=5，代入到：a´(7+b)=52.5可得：

5´(7+b)=52.5，

7+b=10.5，

b=3.5；

故答案为：3.5．

【点评】本题是把已知的字母的数值代入算式，变成一个只含有一个字母的方程，再解方程

求解．

16．【分析】先根据等式的性质，方程两边同时乘以30，求出方程x¸30=0.3的解，再把x的

值代入2x+1即可解答。

【解答】解：x¸30=0.3

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x¸30´30=0.3´30

x=9

2x+1=2´9+1=19。

故答案为：19。

【点评】解答本题的关键是依据等式的性质解方程，求出x的值。

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

17．【分析】首先根据等式的性质，两边同时加上1.3，然后两边同时除以1.2，求出x的值，

再把x的值代入x2+3x计算即可。

【解答】解：1.2x-1.3=3.5

1.2x-1.3+1.3=3.5+1.3

1.2x=4.8

1.2x¸1.2=4.8¸1.2

x=4

x2+3x

=42+3´4

=16+12

=28

所以如果1.2x-1.3=3.5，那么x2+3x=28，

所以题中说法正确。故答案为：Ö。

【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、

同时乘或同时除以一个数(0除外），两边仍相等。

18．【分析】将x=0代入原方程，看左右两边是否相等即可。

【解答】解：将x=0代入原方程。

左边=4´0+7=7

右边=7

左边=右边

x=0是原方程的解。

原题说法错误。故答案为：´。

【点评】使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

19．【分析】紧扣方程的定义，由此可以解决问题．

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【解答】解：根据方程的定义可以知道，方程是含有未知数的等式，但是等式不一定都含有

未知数，所以这个说法是正确的．故答案为：正确．

【点评】此题考查了方程与等式的关系，应紧扣方程的定义，从而解决问题．

20．【分析】左右两边重量相等，则天平平衡，据此解答即可。

【解答】解：50´50=2500(g)

2500g=2.5kg

如果在右侧盘中放50个鸡蛋（每个鸡蛋50克），天平就能够保持平衡。

故原题说法正确。

故答案为：Ö。

【点评】此题主要考查了天平的特性，要熟练掌握。

四．计算题（共2小题，满分12分，每小题6分）

21．【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时加上1，再两边同时除以求解；

（2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.35求解；

（3）根据比例的基本性质，原式化成x＝×，再根据等式的性质，方程两边同时除以

求解。

【解答】解：（1）x﹣1＝

x﹣1+1＝+1

x＝1

x÷＝1÷

x＝

（2）0.52x﹣0.17x＝0.21

0.35x＝0.21

0.35x÷0.35＝0.21÷0.35

x＝0.6

（3）：x＝：

x＝×

x÷＝÷

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x＝

【点评】等式的性质以及比例基本性质是解方程的依据，解方程时注意对齐等号。

22．【分析】（1）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时除以0.85即可；

（2）首先化简，根据等式的性质，两边同时减去8，然后两边再同时除以8即可；

（3）首先化简，根据等式的性质，两边同时减去40，然后两边再同时除以2即可。

【解答】解：（1）x-15%x=68

0.85x=68

0.85x¸0.85=68¸0.85

x=80

（2）6x+2(x+4)=24

6x+2x+8=24

8x+8=24

8x+8-8=24-8

8x=16

8x¸8=16¸8

x=2

（3）4x+2(20-x)=60

4x+40-2x=60

2x+40=60

2x+40-40=60-40

2x=20

2x¸2=20¸2

x=10

【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、

同时乘或同时除以一个数(0除外），两边仍相等。

五．解答题（共8小题，满分48分，每小题6分）

23．【分析】（1）根据单价´数量=总价，求出购买跳绳120根所花费的钱数，再付出的钱

数-花费的钱数=找回的钱数，求出应找回的钱数；

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（2）把x=7代入（1）中求出的含x的式子，解答即可．

【解答】解：（1）1000-120x，

（2）把x=7代入1000-120x中，

得1000-120x，

=1000-120´7，

=1000-840，

=160（元)，

答：学校拿去1000元，应找回1000-120x元；若x=7，应找回160元．

【点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数当做已知的

数，用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．

24．【分析】把全书的页数看作单位“1”，第一天看了全书的，第二天看了全书的10%，

等量关系：第一天看的页数﹣第二天看的页数＝6，由此设这本课外书一共有x页，列出方程

解答即可。

【解答】解：这本课外书一共有x页。

x﹣10%x＝6

（﹣10%）x＝6

0.025x＝6

x＝240

答：这本课外书一共有240页。

【点评】解决这类问题主要找出题里面蕴含的数量关系，由此列出方程解决问题。

25．【分析】根据题意可知，水星绕太阳一周的天数´4+13天=365天，设水星绕太阳一周是x

天，据此列方程解答。

【解答】解：设水星绕太阳一周是x天。

4x+13=365

4x+13-13=365-13

4x=352

4x¸4=352¸4

x=88

答：水星绕太阳一周是88天。

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【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列方程解

答。

26．【分析】设获奖的学生有x人，根据等量关系：获奖的学生数´6-12本=获奖的学生数´4+6

本，列方程解答即可。

【解答】解：设获奖的学生有x人。

6x-12=4x+6

2x=18

x=9

答：获奖的学生有9人。

【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由

此列方程解决问题。

27．【分析】设黑色琴键有x个，则白色琴键有(2x-20)个，合起来共88个，根据这个等量

关系列方程解答。

【解答】解：设黑色琴键有x个。

x+(2x-20)=88

3x-20=88

3x-