(6)-专题06 因数和倍数的认识

专题06因数和倍数的认识

考点聚焦

重点速记

一、因数与倍数的意义。

1、在整数除法中，如果商是整數而没有余数,我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商

是被除数的因数。

二、2,3，5的倍数的特征。

1、2的倍数的特征:个位上是0、2、4、6、8。

2、3的倍数的特征:各个数位上数字的和是3的倍数。

3、5的倍数的特征：个位上是0或5。

三、奇数和偶数。

1、在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数,不是2的倍数的数叫做奇数。

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2、最小的奇数是1，最小的偶数是0,没有最大的奇数和偶数。

四、质数、合数与分解质因数。

1、质数:一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(素数)。

2、合数:一个数，如果除了1和它本身外还有其他的因数,这样的数叫做合数。

3、质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数都叫做这个合数的质因数。

4、分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

5、互质数:只有公因数1的两个数叫做互质数。

五、公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数。

1、公因数和最大公因数:几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个公因

数叫做这几个数的最大公因数。

2、公倍数和最小公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数

叫做这几个数的最小公倍数。

真题专练

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．已知a是大于0的自然数，那么下面四个算式的结果一定是奇数的是()

A．a+1B．3aC．2a+1D．a2+1

2．（2分）（2023•金昌）下面各组两个数的和一定是偶数的是（）

A．质数+合数B．奇数+偶数C．质数+质数D．奇数+奇数

3．一个真分数的分子与分母都是质数，分子与分母的和是奇数，这个分数的分子是（）

A．2B．3C．5D．7

4．（2分）（2023•宣城）如果A=2´2´3´5，B=2´3´3´5，那么A与B的最大公因数是()

A．6B．15C．30D．60

5．（2分）（2023•舞阳县）小红有30张邮票，小明的邮票是小红的3倍，小张的邮票张数

是小红的5倍。根据这些已知条件可知画线段图时需要把()作为一倍的量先画。

A．小红B．小明C．小张

6．将50名同学用1~50进行编号，王老师给所有编号是4的倍数的同学一支笔，朱老师给所

有编号是48的因数的同学一把尺子，那么既有笔又有尺的同学有()名。

A．5B．6C．7D．10

7．古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和等于这个数

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就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，

6=1+2+3，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是()

A．16B．20C．28D．36

8．（2分）（2023•漳平市）如图，下面说法错误的是()

A．24和30的最小公因数是2B．24和30公有的质因数是2和3

C．24和30的最大公因数是2´3=6D．24和30的最小公倍数是2´3´4´5=120

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．（2分）（2023•东山区）7□8□这个四数能同时被2、3、5整除，那么它的个位只能填，

百位上最大能填．

10．（2分）（2023•平阴县）哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何

大于2的偶数都可以写成两个质数之和。比如：16=+。

11．（2分）（2023•诸暨市）一个数亿位上的数是最小的质数，万位上的数是最小的合数，

千位上的数既不是质数也不是合数，百位上的数与万位上的数互质且和大于10，其余各位上

都是0，这个数是或。

12．（2分）（2024•两江新区）在不超过101的自然数中，能被2或3整除的整数有

个。

13．（2分）（2023•万州区）若a+1＝b（a、b为非0自然数），则a和b的最大公因数是；

若5a＝b（a、b为非0自然数），则a和b的最小公倍数是。

14．（2分）（2023•晋江市）从0、1、2、3这四张数字卡片中任选两张，摆成不同的两位

数。摆出的一个质数是，摆出的一个2、3、5的公倍数是。

15．（2分）（2023•惠州）两个连续偶数的和是42，这两个偶数分别是和，它们

的最大公因数是，最小公倍数是。

16．如果a¸b=3(a、b均为非零自然数），则a和b的最大公因数是，a和b成比例。

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

17．（2分）（2023•临西县）一个奇数与一个偶数的最大公因数一定是奇数．

18．（2分）（2023•曾都区）在1、2、3、4、5¼中除了质数以外都是合数．．

19．（2分）（2023•巨野县）两个自然数(0除外）的积一定是这两个数的公倍数。

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20．一个三位数，个位上的数字是0，并且是3的倍数，这个数一定是2、3、5的公倍数．．

四．应用题（共10小题，满分60分，每小题6分）

21．“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表

示成两个质数的和。”请你试举几例证明这一猜想，并把例子写在下面。

22．（6分）（2022•拱墅区）已知n是一个大于0的自然数，且12是n的倍数，18也是n的

倍数。n所表示的数有哪些？（要求：用合适的语言写出自己的思考过程。)

23．母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？

24．（6分）（2019•温州）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其它各瓶分别

合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13。已知4个空瓶的重量之和以及油的重

量之和均为质数，问最重的两瓶内有多少千克油？

25．一个四位数的各位数字之和是3，并且是7的倍数，请求出这个四位数。

26．（6分）（2023•萝北县）李阿姨今天给月季和君子兰同时浇了水，月季每4天浇一次水，

君子兰每6天浇一次水．至少多少天后给这两种花同时浇水？

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27．一个质数的6倍与另一个质数的6倍的和是180，这两个质数分别是多少？

28．（6分）（2023•迁安市）小学阶段我们学习了很多有关“数”的概念，请你选取几个有

关联的概念，举例谈谈你的理解。

自然数分数整数小数质数偶数百分数

因数合数倍数正数奇数负数。

29．（6分）（2021•石家庄）菲菲家的电话号码是ABCDEFGH，A是最小的质数，B是最小

的合数，C既不是质数也不是合数，D比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F

只有因数1和5，G是8的最大因数，H是6的最小倍数．

30．（6分）（2019•淮阴区）题目：请写出36的所有因数。

通过自试自探后，老师展示了四个同学的作业材料，请你对四个同学的材料评价一下。

自试自探材料请你评价

①36的因数有：18、9、3、2、6、12、9、36

②36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36

③36的因数有：1、36、2、18、3、12、4、9、6

④36的因数有：36、2、4、6、1、9、12、3、2、18

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专题06因数和倍数的认识

参考答案

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．【分析】n是大于0的自然数，自然数的2倍一定是偶数，所有的偶数加上1后一定是奇

数，据此解答。

【解答】解：A.当a=1时，a+1=2，2是偶数，故不符合题意；

B.当a=2时，3a=6，6是偶数，故不符合题意；

C.2a+1一定是奇数，故符合题意；

D.当a=1时，a2+1=2，2是偶数，故不符合题意。故选：C。

【点评】此题考查用字母表示数，解决此题的关键是理解奇数和偶数的关系.

2．【分析】因数只有1和本身两个因数的数是质数，因数除了1和本身之外还有其他因数的

数是合数，能被2整除的数偶数，不能被2整除的数是奇数，据此举例验证各选项。

【解答】解：A．3是质数，4是合数，3+4＝7，7是奇数，判断错误；

B．1是奇数，2是偶数，1+2＝3，3是奇数，判断错误；

C．2和3都是质数，2+3＝5，5是奇数，判断错误；

D．1和3是奇数，1+3＝4，4是偶数，判断正确。故选：D。

【点评】2是唯一的偶质数，在验证质数合数的加减法计算时，可以多关注数字2。

3．【分析】偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：2、4、6、8等，奇数：不

是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能

被其他的数整除的数，“0”“1”既不是质数也不是合数，质数：一个数只有1和它本身两

个因数，这个数叫作质数。

【解答】解：一个真分数的分子与分母都是质数，分子与分母的和是奇数，这个分数的分子

是2。故选：A。

【点评】本题考查的主要内容是质数、奇数的应用问题。

4．【分析】把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数。

【解答】解：因为A=2´2´3´5，B=2´3´3´5，所以A与B的最大公因数是2´3´5=30。

故选：C。

【点评】熟练掌握用分解质因数的方法求两个数的最大公因数的方法是解题的关键。

5．【分析】根据题意可知，小红的邮票张数´3=小明的邮票张数，小红的邮票张数´5=小张

的邮票张数，所以画图时，用一条线段表示小红的邮票张数，用这条线段的3倍表示小明的

邮票张数，用这条线段的5倍表示小张的邮票张数；据此解答。

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【解答】解：根据分析可知，画线段图时需要把小红作为一倍的量先画。故选：A。

【点评】本题考查了借助画图来解决问题，关键是找到表示一倍的量。

6．【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除(b¹0)，a就叫做b的倍数，b就

叫做a的因数；列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数

的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此找出48的因数，再找出48的

因数里面哪些是4的倍数。

【解答】解：48=1´48=2´24=3´16=4´12=6´8

48¸4=12

24¸4=6

16¸4=4

4¸4=1

12¸4=3

8¸4=2

既是48的因数，又是4的倍数有48、24、16、4、12、8，一共6个数。

既有笔又有尺的同学有6名。故选：B。

【点评】本题主要考查了因数、倍数的求法和应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。

7．【分析】根据题意可知，把每个选项的因数都写出来，再相加，看看是否符合“完全数”

的规律。

【解答】解：16的因数有：1；16；2；8；4。1+2+4+8=15，不是“完全数”。

20的因数有：1；20；2；10；4；5。1+2+4+5+10=22，不是“完全数”。

28的因数有：1；28；2；14；4；7。1+2+4+7+14=28，是“完全数”。

36的因数有：1；36；2；18；3；12；4；9；6。1+2+3+4+6+9+12+18=55，不是“完全

数”。

故选：C。

【点评】熟练掌握“完全数”的概念特征，是解决本题的关键。

8．【分析】根据短除法可知，短除符号左边的质数表示这两个数的公有的质因数，下面表示

独有的质因数，把这两个数的公有的质因数相乘的积就是它们的最大公因数，公有的质因数

与独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数。

【解答】解：A.24和30的最小公因数是1，原题说法错误；

B.24和30公有的质因数是2和3的说法正确；

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C.24和30的最大公因数是2´3=6的说法正确；

D.24和30的最小公倍数是2´3´4´5=120的说法正确。故选：A。

【点评】熟练掌握短除法各部分表示的数的意义是解题的关键。

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．【分析】首先根据是2、5的倍数的数的特征：是2的倍数的数的个位都是偶数，是5的

倍数的数个位不是0就是5，判断出它的个位只能填0、5；然后根据是3的倍数的数各个位

上的数相加所得的和是3的倍数，判断出百位上最大能填几即可．

【解答】解：根据是2、5的倍数的数的特征，

可得它的个位只能填0；

因为7+8+0=15，15是3的倍数，

所以百位上最大能填9；故答案为：0、9．

【点评】此题主要考查了是2、3、5的倍数的数的特征．

10．【分析】根据质数的定义，除了1和本身外，没有其它因数的数叫质数；

16以内的质数有：2、3、5、7、11、13，即可解答此题。

【解答】解：16=3+13=5+11

故答案为：3；13（答案不唯一）。

【点评】此题考查了质数的意义以及拓展应用，要熟练掌握。

11．【分析】最小的质数是2，亿位上是2；最小的合数是4，万位上是4；既不是质数也不

是合数的数是1，千位上是1；百位上的数与万位上的数互质且和大于10，百位上是7或9，

其余数位是0，这个数是200041700或200041900。

【解答】解：一个数亿位上的数是最小的质数，万位上的数是最小的合数，千位上的数既不

是质数也不是合数，百位上的数与万位上的数互质且和大于10，其余各位上都是0，这个数

是200041700或200041900。故答案为：200041700，200041900。

【点评】此题考查了合数与质数的初步认识，要求学生掌握。

12．【分析】首先分析题中能被2整除的整数有多少个，能被3整除的整数有多少个，再去

掉能被6整除的整数即可求解。

【解答】解：依题意可知：

1~101中能被2整除的有：101¸2»50（个)

1~101中能被3整除的有：101¸3»33（个)

1~101中能被6整除的有：101¸6»16（个)

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0也能被2或3整除；

共有：50+33-16+1=68（个)

答：0~101中，能被2或3整除的整数有68个。故答案为：68。

【点评】本题考查了容斥原理与数的整除特性的理解和运用，关键是找到能被2、3、6整除

的整数有多少个。

13．【分析】由a+1＝b可知，a与b是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数是互质数，互

质的两个数的最大公因数是1；

由5a＝b可知，a与b是倍数关系的两个自然数，倍数关系的两个自然数的最大公因数是较

小的数，最小公倍数是较大的数。

【解答】解：若a+1＝b（a、b为非0自然数），则a和b的最大公因数是1；若5a＝b（a、

b为非0自然数），则a和b的最小公倍数是b。

故答案为：1；b。

【点评】本题考查的是求几个数最大公因数或求几个数的最小公倍数，关键是两个数互质数

时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的积；当两个数是倍数关系时，最大公因数时较小

的数，最小公倍数是较大的数。

14．【分析】先列举出能组成的两位数，再根据质数和2、3、5的倍数特征解答即可。

【解答】解：用0，1，2，3，四张数字卡片任选两张能摆出的数有10、20、30、12、13、

21、31、23、32共9个数。其中质数有13、23、31，共3个数。2、3、5的公倍数是30。

故答案为：13（答案不唯一）；30。

【点评】本题考查的是排列组合以及质数，2、3和5的倍数特征的应用。

15．【分析】因为相邻的偶数相差2，已知两个连续偶数的和是42，所以较小的偶数是

(42-2)¸2=20，那么较大的另一个偶数是20+2=22，再根据求两个数的最大公因数的方法，

最小公倍数的方法进行解答即可。

【解答】解：(42-2)¸2

=40¸2

=20

20+2=22

20=2´2´5

22=2´11

所以20和22的最大公因数是2，最小公倍数是2´2´5´11=220。

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答：这两个偶数分别是20和22，它们的最大公因数是2，最小公倍数是220。

故答案为：20；22；2；220。

【点评】此题考查的目的是理解掌握偶数的排列规律，以及求两个数的最大公因数、最小公

倍数的方法，结合题意分析解答即可。

16．【分析】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数；判断两个相关联的量之间成什

么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正

比例，如果是乘积一定，则成反比例。

【解答】解：因为a¸b=3(a、b均为非零自然数），所以a和b的最大公因数是b；

a¸b=3（一定），商一定，所以a和b成正比例关系。故答案为：b，正。

【点评】本题考查了求几个数的最大公因数以及辨识成正比例的量的知识，掌握求两个数最

大公因数的方法和判断两个相关联的量之间成什么比例的方法是解题的关键。

三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）

17．【分析】根据奇数与偶数的意义：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数

的数叫做奇数；所以奇数的因数一定是奇数，由此即可判断．

【解答】解：因为奇数的因数一定是奇数，

所以一个奇数与一个偶数的最大公因数也一定是奇数．故答案为：√．

【点评】此题考查的目的是使学生理解偶数与奇数的意义，掌握奇数和偶数的性质，根据其

性质进行分析解答．

18．【分析】在自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，

还有别的因数的数为合数．由此可知，最小的质数为2，最小的合数为4.1即不是质数也不是

合数．则在1、2、3、4、5¼中除了质数以外都是合数的说法是错误的．

【解答】解：根据质数与合数定义可知，1即不是质数也不是合数．

所以在1、2、3、4、5¼中除了质数以外都是合数的说法是错误的．故答案为：错误．

【点评】自然数中，除了1和0外的其它数中，不是质数就是合数．

19．【分析】如果a和b是两个数不为0的自然数，a´b=c，则a和b都是c的因数，c即是a

的倍数，也是b的倍数，c是a和b公共的倍数，所以c是a和b这两个数的公倍数。

【解答】解：两个数（不为0的自然数）的积一定是这两个数的公倍数。所以原题说法正确。

故答案为：Ö。

【点评】此题主要考查因数和倍数、公倍数的意义。

20．【分析】根据2、3、5的倍数特征可知：个位上是0的数能同时被是2和5倍数，此题

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这个数是3的倍数已知，据此分析解答．

【解答】解：个位上是0的数能同时被是2和5倍数，此题这个三位数是3的倍数已知，所

以一个三位数，个位上的数字是0，并且是3的倍数，这个数一定是2、3、5的公倍数的说

法是正确的；故答案为：正确．

【点评】本题主要考查2、3、5的倍数特征，注意个位上是0的数能同时被是2和5倍数．

四．应用题（共10小题，满分60分，每小题6分）

21．【分析】根据题意“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，举例子解答即可。

【解答】解：示例：12=5+7，12是大于2的偶数，5和7都是质数，符合“哥德巴赫猜

想”。

14=3+11，14是大于2的偶数，3和11都是质数，符合“哥德巴赫猜想”。（答案不唯一）

【点评】此题考查了质数的意义以及拓展应用，要熟练掌握。在自然数中，注意特殊的数2

既为偶数，同时也为质数。

22．【分析】12是n的倍数，18也是n的倍数，那么n就是12和18的公因数，分别求出12

和18的因数，其中相同的因数即可用n表示。

【解答】解：12的因数有：1、2、3、4、6、12；

18的因数有：1、2、3、6、9、18；

12和18的公因数有：1、2、3、6；

n所表示的数有：1、2、3、6。

【点评】此题考查因数与倍数之间的关系，熟练掌握公因数的求法是解题的关键。

23．【分析】因为母亲和女儿的年龄差是不变的，先求出母亲比女儿答了几岁，再求出女儿

几岁的时候母亲的年龄是女儿的4倍。

【解答】解：37-7=30（岁)

女儿：30¸(4-1)

=30¸3

=10（岁)

10-7=3（年)

答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。

【点评】本题是将差倍问题与年龄问题相结合，与一般的差倍问题类似，先求出差是多少，

再根据公式：小数=1倍数=差¸倍数的差，求出一份量，再计算多份量。

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24．【分析】由于每只瓶都称了三次，因此记录数之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，

即4瓶油（加瓶）共重(8+9+10+11+12+13)¸3=21（千克），而油重之和及瓶重之和均为质

数，所以它们必为一奇一偶，而质数中是偶数的质数只有2，当油重之和为19千克，瓶重之

11

和为2千克，每只瓶重2¸4=（千克），最重的两瓶内的油为13-´2=12（千克）；当油

22

19197

重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13-´2=

442

（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。

【解答】解：每个瓶称三次，故四个瓶子总重量为(8+9+10+11+12+13)¸3=21（千克），21

是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和必为一奇一偶。

而质数中是偶数的质数只有2，分两种情况求解：

1

（1）当空瓶重量和为2，油重量和为19；每个空瓶2¸4=（千克），故最重两瓶（即重13

2

1

的两瓶）有13-´2=12（千克）；

2

19

（2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重19¸4=千克，最重的两瓶内的油

4

197

为13-´2=（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。

42

答：最重的两瓶内有12千克油。

【点评】本题主要考查了有关偶数、质数以及奇数的知识，解题的关键是求出4瓶油（加瓶）

的质量。

25．【分析】四位数的各位数字之和是3，那么有3种情况①千位上的数字是3，其它位上的

数字都是0；②有两位上的数字是1或2，其它位上是0；③千位上是1，百位、十位、个位

这三位上有1位是0，其它两位上的数字是都是1；分别找出这些数，然后再找出7的倍数即

可。

【解答】解：①千位上的数字是3，其它位上的数字都是0，这个数是3000，3000不是7的

倍数。

②有两位上的数字是1或2，其它位上是0，有以下数字：1002，1020，1200，2001，2010，

2100；这些数字中只有2100是7的倍数，符合条件。

③千位上是1，百位、十位、个位这三位上有1位是0，其它两位上的数字是都是1；有以下

数字：

1011，1101，1110；这些数都不是7的倍数。

符合条件的数只有2100。答：这个四位数是2100。

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【点评】解决本题关键是根据各个位上的数字和是3，找出可能的数字组合，得出四位数，

再根据是7的倍数这一条件取数即可。

26．【分析】求至少多少天后给这两种花同时浇水，根据题意“月季每4天浇一次水，君子

兰每6天浇一次水”可得：即求4和6的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法：

即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．

【解答】解：4=2´2，6=2´3，

所以4和6的最小公倍数是2´2´3=12；

答：至少12天后给这两种花同时浇水．

【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质

因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．

27．【分析】一个质数的6倍与另一个质数的6倍的和是180，那么这两个质数的和就是

(180¸6)，再根据质数的定义解答即可。

【解答】解：180¸6=30

30=7+23

30=11+19

30=13+17

答：这两个质数分别是7和23或11和19或13和17。

【点评】解答本题的关键是掌握质数的定义。

28．【分析】自然数：用以计量事物的件数或表示事物个数的数；整数：包括正整数、0、负

整数，其中正整数和0是自然数；小数：由整数部分、小数点和小数部分组成的数；合