(9)-专题09 牛吃草问题

2023小升初数学典型应用题精讲精练真题汇编

第9讲牛吃草问题

知识梳理

牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．解答这类题目的关键是想办法从变

化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草

量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量--每天（每周）新长

出的草的数量．

基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造

成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量．

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定两个不变的量．

基本公式：

生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

牛吃草问题常用到四个基本公式：

牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．典型牛吃草问题的条件是假设

草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以

吃多少天．由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化．解决牛吃

草问题常用到四个基本公式，分别是：

（1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-

吃的较少天数）；

（2）原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数；

（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）；

（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度．

这四个公式是解决消长问题的基础．

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧

场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变

的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式．

真题汇编

一．选择题（共3小题）

1．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟

向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级．结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达．则当该

扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有()

A．80级B．100级C．120级D．140级

2．有一满水池，池底有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等，用10部抽水机20小时可以把水抽干，

用15部抽水机10小时可以把水抽干，那么用25部同样的抽水机()小时可以把水抽干．

A．5B．6C．7D．8

3．有20个玩具被丢在地板上，小红妈妈每30秒把3个玩具从地板上放到玩具盒里，但30秒一过，小红

就从玩具盒拿出两个玩具，那么小红和她妈妈需要()秒才能把20个玩具都放到玩具盒中．

A．510B．540C．570D．600

二．填空题（共13小题）

4．乐乐妈妈手机通常一直开着。如果她手机开着而不通话，电池可维持24小时：如果她连续使用手机通

话，电池只能持续3小时，从她最后一次充满电算起，她手机已经持续开机9小时，在这段期间内，她通

话用了60分钟。如果她不再使用手机通话，而让手机持续开着，该手机还能再持续待机个小时。

5．某种细胞每30分钟就能由1个分裂成3个，经过2小时这种细胞由1个分裂成个。

6．某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后平均每分钟有10人来排队等候检票。一

个检票口每分钟平均能让25人检票进站。如果只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；

如果开两个检票口，那么开始检票分钟后就暂时无人排队了。

7．有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃光；养牛23头，9天把草吃光；如果养牛21头，那么天

能把牧场上的草吃光（假定每天牧草都匀速生长）。

8．青青草原上有一片青草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10只羊吃20天，或者可供15只羊吃10

天，那么这片牧草可供7只羊吃天．

9．草场上有一片均匀生长的草，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，则可供21头牛吃周。

10．某岛国的一家银行每天9:00-17:00营业，正常情况下，每天9:00准备现金50万元，假设每小时的

提款量都一样，每小时的存款量也都一样，到17:00下班时有现金60万元．如果每小时的提款量是正常情

况的4倍，而存款量不变的话，14:00银行就没有现金了．如果每小时提款量是正常情况的10倍，而存款

量减少到正常情况一半的话，要使17:00下班时银行还有现金50万元，那么9:00开始营业时需要准备现

金万

11．有一牧场，牧草每天匀速生长，可供9头牛吃12天；可供8头牛吃16天．现在开始只有4头牛吃，

从第7天开始又增加了若干头牛，再用6天吃光所用的草，问增加了头牛．

12．有一个蓄水池装有9根水管．其中一根为水管．其余8根为相同的出水管，进水管以均匀的速度不停

向这个蓄水池注水，后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光，这时池内已注有一池水，如果8根出

水管全部打开．需3小时把池内的水全部排光，如果打开5根出水管，需6小时把池内的水全都排光，要

想在4.5小时内把水全部排光，需同时打开根出水管．

13．75头牛12天啃掉一块60亩地草地上的草，而81头牛15天啃掉一块72亩草地上的草，那么18天啃

掉96亩草地上的草需要头牛。

14．有一片草场，草每天的生长速度相同．若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只

羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）．那么17头牛和20只羊天可将草吃完．

15．某牧场上有一片青草，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周．如果草每周生长速度相同，那么这

片青草可供21头牛吃周．

16．有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根是相同的出水管．已知储水池内有一定体

积的水，并且进水管正以均匀的速度向这个蓄水池注水，如果8根出水管全部打开，需要3小时把池内的

水全部排光；如果打开5根出水管，需要6小时把池内的水全部排光．如果在9小时内把水池中的水全部

排光，需要同时打开根出水管．

三．解答题（共15小题）

17．因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛

吃6天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？

18．某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以

把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120个工人砌10天后，又增加5个工人一起

砌还需要再砌几天可以把砖用完？

19．某电信局有600台电话机上台装机，每天申请装电话机数量一定．若有3个小组60天装完．4小组

30天装完．

（1）每天新申请装多少部电话？

（2）如果5天内装完，要几个小组？

20．一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已漏进水600桶．一台抽水机每分钟抽

水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完．每分钟漏进的水有多少桶？

21．由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经过计算，现有牧场上的草可以供20头牛吃5

天，或可以供16头牛吃6天．那么11头牛可以吃几天？

22．有三块草地，面积分别是5、15、20亩，草地上的草一样厚，而且长得一样快，第一块草地可供10

头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块草地可供多少头牛吃80天？

23．陕北某村有一块草场，假设每天草都均匀生长．这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150

只羊吃100天．问：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为防止草场沙化，这片草场最

多可以放牧多少只羊？

24．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池

塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则6小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则

2小时正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？

25．某机场有一个很长的自动扶梯，由下往上匀速运转，两位赶飞机的乘客要从自动扶梯上楼，已知甲每

分钟走20阶，乙每分钟走13阶，结果甲用了3分钟到达，乙用了4分钟到达楼上，问自动扶梯共有多少

阶？

26．当手机电量全空且关机时，充电4小时可以充满．当手机有10%的电量时开始充电，且充电全程都在

玩游戏，6小时可以充满．请问：当手机有35%的电量时，是否能够保证持续玩游戏4小时？

27．经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年．假设地球新生成的资

源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？

28．有一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管，开始进水管以均匀的速

度不停地向这个蓄水池注水，池内注入一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光，如果

把8根出水管全部打开，需要3个小时可将池内的水排光；若仅打开3根出水管，则需要18小时才能将

池内的水排光．问：如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？

29．某地遭遇干旱，政府为解决居民饮水问题，在一眼山泉旁边修了一个蓄水池，每小时有40立方米的

水注入水池．当开动5台抽水机时，2.5小时把池水抽完，当开动8台抽水机时，1.5小时把池水抽完，

这个蓄水池能容多少立方米水？

30．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．如果同时开放4个检票口，那么

30分钟后检票口前队伍恰好消失；如果同时开放5个检票口，那么20分钟后队伍恰好消失．如果同时开

放7个检票口，那么队伍多少分钟后恰好消失？

31．现在有牛、羊、马吃一块地的草，草均匀生长，牛、马吃需要45天吃完，马、羊吃需要60天吃完，

牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间？

参考答案及解析

一．选择题（共3小题）

1．【分析】上楼的速度可以分为两部分：一部分是两个孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．男

孩40秒钟走了40´2=80（级)，女孩50秒钟走了3´(50¸2)=75（级)，女孩比男孩少走了80-75=5

（级)，多用了50-40=10（秒)，说明电梯10秒钟走5级，即1秒钟走0.5级．由男孩40秒钟到达楼

上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有(0.5+2)´40=100（级)，据此解答．

【解答】解：电梯每秒钟走的级数：

[40´2-3´(50¸2)]¸(50-40)

=5¸10

=0.5（级)

电梯的总级数：

(0.5+2)´40

=2.5´40

=100（级)

答：当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有100级．

故选：B。

【点评】此题当作牛吃草问题来解决，上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一

部分是自动扶梯的速度．

2．【分析】设每部抽水机每小时能抽泉水1份，每小时涌出的泉水量为：(20´10-15´10)¸(20-10)=5

（份)；泉中原有的水量为：20´10-20´5=100（份)；25部抽水机拿出5部抽每小时涌出的5份的泉水，

剩下的20台抽泉中原有的水量，所需时间为：100¸20=5（小时），即为所求问题．

【解答】解：(20´10-15´10)¸(20-10)

=50¸10

=5（份)

20´10-20´5

=200-100

=100（份)

100¸(25-5)

=100¸20

=5（小时）

答：用25台这样的抽水机5小时可以把水抽干．

故选：A。

【点评】本题是典型的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时涌出水的水量）和草地

原有的份数（本题相当于泉中原有的水量）．

3．【分析】由于30秒一过，小红就从玩具盒拿出两个玩具，相当于妈妈每个30秒只放到筐里3-2=1个

玩具，由于第一次小红不再从玩具盒拿出两个玩具，所以前20-3=17个玩具，需要17¸1=17个30秒，

然后再加上最后一个30秒即可．

【解答】解：(20-3)¸(3-2)´30+30

=17¸1´30+30

=510+30

=540（秒)

答：小红和她妈妈需要540秒才能把20个玩具都放到玩具盒中．

故选：B。

【点评】本题类似于牛吃草问题，关键是求出前20-3=17个玩具需要的时间．

二．填空题（共13小题）

4．【分析】”手机只要是开着，无论是否通话都要耗电“。所以设手机每小时耗电1份，电池存电量为24´1=24

份，纯通话1小时的耗电量为(24-1´3)¸3=7份，当然这段时间，即1小时手机耗电1份；故9小时里

面就包括了通话1小时手机耗电的那1份了。综上可知：她手机已经持续开机9小时，在这段期间内，她

已经用了60分钟来通话，电池还储存的电量为24-7-9=8份，这样便可求出手机还能维持的时间为

8¸1=8小时。

【解答】解：设手机每小时耗电为1份，则

24´1-3´1=21（份)

21¸3=7（份)

24-7-9=8（份)

8¸1=8（小时）

答：该手机还能再持续待机8个小时。

故答案为：8。

【点评】此题解答的关键就是要明白：1：通话时的耗电量由2部分组成；2:9小时的耗电量中包括了通

话1小时的耗电量。

5．【分析】每过30分钟便由1个细胞分裂成3个细胞，经过2个小时，也就是4个30分钟，那么细胞

可以分成的个数是34个。

【解答】解：2小时=120分钟

某种细胞每过30分钟便由1个细胞分裂成3个细胞，

30分钟后有细胞3个；

60分钟后有细胞32=9（个)；

90分钟后有细胞33=27（个)；

120分钟后有细胞34=81（个)

答：经过2小时这种细胞由1个分裂成81个。

故答案为：81。

【点评】解决本题找出细胞分裂的规律是关键，结合乘方的意义求解。

6．【分析】牛吃草问题公式：原有草量=（牛数-每天长草量）´天数，在本题中，总人数是

(25-10)´8，进而求出开两个检票口需要的检票时间即可。

【解答】解：(25-10)´8

=15´8

=120（人)

120¸(2´25-10)

=120¸40

=3（分钟）

答：开始检票3分钟后就暂时无人排队了。

故答案为：3。

【点评】此题主要考查了牛吃草问题，要熟练掌握。

7．【分析】第一步算出牧场每天长草多少份，如果一头牛一天吃草1份，那么27头牛6天共需草：27´6=162

（份)，23头牛9天共吃草23´9=207（份)，牧场原来的草是固定的，草每天都在长也是固定的，所以

每天长草：(207-162)¸(9-6)=15（份)；原来牧场的草：27´6-15´6=72（份)；21头牛，牧场每天

长草15份供15头牛，剩下的6头，就要吃牧场原有的草，用牧场原有的草除以剩下的牛数即可解答。

【解答】解：每天长草：

(23´9-27´6)¸(9-6)

=(207-162)¸3

=45¸3

=15（份)

原来草场的草：27´6-15´6=72（份)

21头牛，草场每天长草15分供15头牛，剩下的6头，就要吃草场原有的草，

可以吃的天数：

72¸(21-15)

=72¸6

=12（天)

答：12天能把牧场上的草吃光。

故答案为：12。

【点评】此题考查了牛吃草问题，首先求出草长的速度，以及原来草场的草有多少是解决此题的关键。

8．【分析】总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的草是不变的，新长

出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不

变的．即：

（1）根据牧草可供10只羊吃20天，或者可供15只羊吃10天，计算出每天新长出的草量够一只羊吃的

天数：(10´20-15´10)¸(20-10)=5（天)，也可以说是5只羊吃1天．

（2）假定其中5只羊专吃新长出的草，由剩下的羊吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量．原

有的草够1头羊吃的天数：

10´20-5´20=100（天)

（3）让5只羊专吃新长出的草，其余的羊吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天．

【解答】解：设1只羊1天吃的草为单位“1“，由条件可知，

每天生长的草够1头羊吃的天数：

(10´20-15´10)¸(20-10)

=50¸10

=5（只)

原有的草够1头羊吃的天数：

10´20-5´20

=200-100

=100（天)

7只羊分成分成两部分，5只吃新草，2只吃原来的草，可吃天数：

100¸(7-5)

=100¸2

=50（天)

答：这些草可供7只羊吃50天．

故答案为：50．

【点评】解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草

的数量，进而解答题中所求的问题．

9．【分析】假设每头牛每周吃青草1份，根据“可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周”先求出青草

的增加的速度；然后求出草地原有的草的份数；然后进一步解答即可。

【解答】解：假设每头牛每周吃青草1份，

青草增加的速度：(23´9-27´6)¸(9-6)

=45¸3

=15（份)

原有的草的份数：27´6-6´15

=162-90

=72（份)

可供21头牛吃：72¸(21-15)

=72¸6

=12（周)

答：这个草场的草可供21头牛吃12周。

故答案为：12周。

【点评】本题考查了牛吃草的问题，关键的是求出青草的每周增加的速度（份数）和草地原有的草的份数。

10．【分析】从9:00到17:00共计8个小时，现金从50万元增加到60万元，增加了10万元，所以每小

时存款量比取款量多10¸8=1.25（万元）；从9:00到14:00共计5个小时，每个小时的提款量是正常情

况的4倍，而存款量不变，这5个小时中每小时提款量比存款量多50¸5=10（万元）．所以正常情况下

每小时的提款量为：(10+1.25)¸(4-1)=3.75（万元），存款量为3.75+1.25=5（万元）．如果每小时提

款量是正常情况的10倍，即每小时提款3.75´10=37.5（万元），存款量减少到正常情况一半，即每小时

存款5¸2=2.5（万元），则银行每小时减少存款37.5-2.5=35（万元），8个小时共减少35´8=280（万

元）开始时要准备现金50+280=330（万元）．

【解答】解：9:00-17:00是8个小时，9:00-14:00是5个小时

(60-50)¸8

=10¸8

=1.25（万元/时）

50¸5=10（万元/时）

提款速度为：

(10+1.25)¸(4-1)

=11.25¸3

=3.75（万元/时）

需要准备现金：

(3.75´10-5¸2)´8+50

=(37.5-2.5)´8+50

=35´8+50

=280+50

=330（万元）

答：开始营业时需要准备现金330万．

【点评】根据条件求出正常情况下的存款速度和提款速度是解决本题的关键．

11．【分析】设每头牛每天吃一份的草，根据“可供9头牛吃12天，可供8头牛吃16天”，草的生长速

度为：(16´8-12´9)¸(16-12)=5份，原有草的份数为：12´9-5´12=48份，4头牛前6天一共吃了：

4´6=24份，还剩下48+5´6-24=54份，后六天一共吃的草的份数为：54+5´6=84份，6天吃完所有

草需要牛的头数是：84¸6=14头，增加了14-4=10头牛．据此解答即可．

【解答】解：设每头牛每天吃一份的草，

草的生长速度为：

(16´8-12´9)¸(16-12)

=20¸4

=5（份)

原有草的份数为：

12´9-5´12

=108-60

=48（份)

4头牛前6一共吃了：4´6=24（份)

还剩下：48+5´6-24=54（份)

后六天一共吃的草的份数为：54+5´6=84（份)

增加牛的头数是：84¸6-4=10（头)．

答：增加了10头牛．

故答案为：10．

【点评】本题是一道复杂的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度和原有草的份数．

12．【分析】假设开一根水管每小时可排出水“1份”，则8根3小时排出3´8=24（份)；5根6小时可

排出水5´6=30（份)；多排水5-3=2（小时），多排水的量：30-24=6（份)，则每小时进水：6¸3=2

（份)，可以算出4.5小时的进水量，进而解决问题．

【解答】解：假设开一根水管每小时可排出水“1份”，则8根3小时排出3´8=24（份)；6根6小时可

排出水6´6=36（份)

(5´6)-(3´8)

=30-24

=6（份)

6¸(6-3)

=6¸3

=2（份)

2份就是进水管每小时进水的量．

8´3+(4.5-3)´2

=24+3

=27（份)

27¸4.5=6（根)

故答案为：6．

【点评】本题可以归纳为“牛吃草问题”，根据题意可知8根水管3小时排完水的量加每小时注入的水量

等于排水的总量，进而解决问题．

13．【分析】设每头牛每天吃草量为1份，每亩原有草量为x份，每天每亩新长草量为y份，根据“75头

牛12天啃掉一块60亩地草地上的草”可列方程为：12´(75-60y)=60x，①；再根据“81头牛15天啃

掉一块72亩草地上的草；”可列方程为：15´(81-72y)=72x，②，然后解①②两个方程得x=7.5，

5

y=，然后进一步解答即可．

8

【解答】解：每头牛每天吃草量为1份，每亩原有草量为x份，每天每亩新长草量为y份，

12´(75-60y)=60x，①

15´(81-72y)=72x，②

把方程①②联立，解得：

5

x=7.5，y=，

8

5

96´+96´7.5¸18

8

=60+40

=100（头)

答：18天啃掉96亩草地上的草需要100头牛．

故答案为：100．

【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有

的草的份数；知识点：（牛的头数´吃草较多的天数-牛头数´吃草较少的天数）¸（吃的较多的天数-

吃的较少的天数）=草地每天新长草的量；牛的头数´吃草天数-每天新长量´吃草天数=草地原有的草

量．

14．【分析】先转化，都转化成牛或羊，有一片草地，草每天的生长速度相同，若56只羊30天可将草吃

完，70只羊16天也可将草吃完那么，88只羊多少天可将草吃完？根据牛吃草问题的基本公式：生长量=

（较长时间´长时间牛头数-较短时间´短时间牛头数）¸（长时间-短时间）；总草量=较长时间´长时

间牛头数-较长时间´生长量，再解答即可．

【解答】解：

(56´30-70´16)¸(30-16)

=(1680-1120)¸14

=560¸14

=40

(56-40)´30¸(88-40)

=16´30¸48

=480¸48

=10（天)

故答案为：10．

【点评】解答这类问题，一定要理清题里存在的数量关系，灵活选用合适的方法进行计算即可．

15．【分析】假设每头牛每周吃青草1份，先求出青草的增加的速度：(23´9-27´6)¸(9-6)=15（份)；

然后求出草地原有的草的份数：27´6-6´15=72（份)；那么21头牛每周吃青草21份，青草每周增加

15份，可以看作每周有(21-15)头牛在吃草，草地原有的72份的草，可吃：72¸6=12（周)．

【解答】解：假设每头牛每周吃青草1份，

青草增加的速度：(23´9-27´6)¸(9-6)，

=45¸3，

=15（份)；

原有的草的份数：27´6-6´15，

=162-90，

=72（份)；

可供21头牛吃：72¸(21-15)，

=72¸6，

=12（周)；

答：这个草场的草可供21头牛吃12周．

故答案为：12周．

【点评】本题考查了牛吃草的问题，关键的是求出青草的每周增加的速度（份数）和草地原有的草的份数．

16．【分析】设每根出水管每小时出水1份，根据“如果8根出水管全部打开，需要3小时把池内的水全

部排光；如果打开5根出水管，需要6小时把池内的水全部排光．”利用两次的份数差可以分别求出进水

管的速度和蓄水池内原有的水的份数，列式分别为：(5´6-8´3)¸(6-3)=2份，5´6-2´6=18（份)；

然后再根据（蓄水池内原有的水的份数+9小时进水管的份数）¸9，即可求出需要同时打开出水管的根数．

【解答】解：设每根出水管每小时出水1份，

进水管的速度为：(5´6-8´3)¸(6-3)，

=6¸3，

=2（份)；

蓄水池内原有的水为：

5´6-2´6，

=30-12，

=18（份)；

9小时内把水池中的水全部排光，需要打开出水管的根数是：

(18+2´9)¸9，

=36¸9，

=4（根)；

答：如果在9小时内把水池中的水全部排光，需要同时打开4根出水管．

故答案为：4．

【点评】本题是典型的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时进水的水量）和草地原

有的份数（本题相当于池中原有的水量）．

三．解答题（共15小题）

17．【分析】用33乘5减去24乘6，算出5天比6天多出多少份草；再用多出草的份数除以(6-5)，算

出青草每天减少多少份；用33乘5加上每天减少的份数乘5，算出牛吃草前牧场共有草份数；用共有草的

份数除以10天，再减去每天青草减少份数，即可求出这个牧场可供多少头牛吃10天。

【解答】解：根据分析可得：

青草每天减少：

(33´5-24´6)¸(6-5)

=(165-144)¸1

=21（份)

牛吃草前牧场有草：

165+21´5

=165+105

=270（份)

③270¸10-21

=27-21

=6（头)

答：可供6头牛吃10天。

【点评】本题关键在于计算出每天减少的草量和原有草量，进而解答。

18．【分析】先要确定每天运进多少份砖；再计算原有多少份砖；再计算120个工人砌10天后，砖还有

多少份；最后计算再增加5个工人一起砌还需要再砌几天可以把砖用完？

【解答】解：（1）(160´10-250´6)¸(10-6)

=(1600-1500)¸4

=100¸4

=25（份)

（2）1500-25´6

=1500-150

=1350（份)

（3）1350-(120-25)´10

=1350-95´´10

=1350-950

=400（份)

（4）400¸(120+5-25)

=400¸(125-25)

=400¸100

=4（天)

答：还需要再砌4天可以把砖用完。

【点评】第一个思路是每人每天砌砖1份；第二个思路是每天减少多少份，就是人数减去每天运进的份数。

19．【分析】（1）设每个小组每天装1份，先求出每天新申请装的份数，列式为：(3´60-4´30)¸(60-30)=2

（份)；再求出原有的600台电话机对应的份数4´30-30´2=60（份)；所以1份的数就是每个小组每天

装台数：600¸60=10（台)，又因为每天新申请装的台数是每个小组每天装台数的2倍，因此可以求出每

天新申请装的台数，列式为：10´(2¸1)=20（台)；

（2）如果5天内装完，一共新增20´5=100台，1个组5天的工作量是10´5=50台，所以如果5天内装

完，需要的组数，列式为：600+20´5)¸(10´5)=14（组)；据此解答．

【解答】解：设每个小组每天装1份，

（1）每天新申请装的份数：(3´60-4´30)¸(60-30)，

=60¸30，

=2（份)；

原有的份数：4´30-30´2，

=120-60，

=60（份)；

每个小组每天装台数：600¸60=10（台)，

每天新申请装的台数：10´(2¸1)=20（台)；

答：每天新申请装20部电话．

（2）(600+20´5)¸(10´5)，

=700¸50，

=14（组)；

答：如果5天内装完，要14个小组．

【点评】本题是比较复杂的牛吃草问题，它的解答规律是先求出增加的份数，这是解答的难点即求每天新

申请装的份数．

20．【分析】2部抽水机1分钟可以抽出18+14=32桶水，那么50分钟就抽出去1600桶水，船体本来有

600桶水，那么50分钟内，漏进船体的水为1600-600=1000桶水，所以每分钟漏进：1000¸50=20

（桶）．

【解答】解：[(18+14)´50-600]¸50

=[32´50-600]¸50

=[1600-600]¸50

=1000¸50

=20（桶)

答：每分钟漏进的水有20桶．

【点评】此题属于“牛吃草”问题，求出50分钟内漏进船体的水量，是解答此题的关键．

21．【分析】假设每头牛每天吃青草1份，20头牛5天吃草：20´5=100（份)，16头牛6天吃草：16´6=96

（份)；青草每天减少：(100-96)¸(6-5)=4（份)；牛吃草前牧场有草：100+4´5=120（份)；那么11

头牛每天吃青草11份，青草每天减少4份，可以看作每天有(11+4)头牛吃草，草地原有的120份草，可

吃：120¸15=8（天)．

【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，

青草的减少速度为：

(20´5-16´6)¸(6-5)

=4¸1

=4（份)；

草地原有的草的份数：

20´5+4´5

=100+20

=120（份)；

那么11头牛每天吃青草11份，青草每天减少4份，可以看作每天有11+4=15（头)牛吃草，草地原有的

120份草，可吃：

120¸15=8（天)

答：可供11头牛吃8天．

【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天减少的速度（份数）和草地原有

的草的份数．

22．【分析】这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草地5亩面积

原有草量+5亩面积30天长的草=10´30=300份，所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是

300¸5=60份；因为第二块草地15亩面积原有草量+15亩面积45天长的草=28´45=1260份，所以每亩

面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260¸15=84份，所以45-30=15天，每亩面积长84-60=24份；

则每亩面积每天长24¸15=1.6份．所以，每亩原有草量60-30´1.6=12份，第三块地面积是20亩，所以

每天要长1.6´20=32份，原有草就有20´12=240份，新生长的每天就要用32头牛去吃，其余的牛每天

去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此240¸80=3头牛所以，一共需要32+3=35头牛来吃．

【解答】解：设每头牛每天的吃草量为1份，则每亩30天的总草量为：10´30¸5=60（份)；

每亩45天的总草量为：28´45¸15=84（份)；

那么每亩每天的新生长草量为(84-60)¸(45-30)=1.6（份)；

每亩原有草量为：60-1.6´30=12（份)；

那么20亩原有草量为：12´20=240（份)；

20亩80天新长草量为20´1.6´80=2560（份)；

20亩80天共有草量240+2560=2800（份)；

所以有2800¸80=35（头)．

答：第三块地可供35头牛吃80天．

【点评】本题为典型的牛吃草问题，要根据“牛吃的草量-生长的草量=消耗原有草量”这个关系式认真

分析解决．

23．【分析】（1）可以设一只羊每天的吃草量为1份，求出每天的长草量，进而求出原有草量；让50头

羊去吃新长的草，剩下250-50=200头羊去吃原有的草，很容易求出天数；

（2）放牧这么多羊不对，容易引起草地沙化；

（3）为了防止草地沙化，最好让羊正好吃掉新长的草，留下原有的草，因为每天长草量为50份，所以这

块草地最多可以放牧(50¸1)只羊．

【解答】解：设一只羊每天的吃草量为1份；

每天长草量为：

(100´200-150´100)¸(200-100)

=5000¸100

=50（份)；

原有草量为：

100´200-200´50

=20000-10000

=10000（份)；

让50头羊去吃新长的草，剩下250-50=200头羊去吃原有的草，10000¸200=50（天)；

答：如果放牧250只羊可以吃50天．

（2）放牧这么多羊不对，容易引起草地沙化；

（3）假设每只羊每天吃草“1”份；为了防止草地沙化，最好让羊正好吃掉新长的草，留下原有的草，因

为每天长草量为50份，所以：

50¸1=50（只)；

答：这片草地最多可以放牧50只羊．

【点评】此题属于牛吃草问题，难度较大，需要认真分析，思路清晰．

24．【分析】设每台每小时抽水1份，则每小时泉水流入池中的水量是(1´6-2´2)¸(6-2)=0.5份，池塘

中原有的水量是(1-0.5)´6=3份，由于每小时泉水流入池中的水量相当于0.5台的抽水量，所以求出3份

里面有几个(3-0.5)就需要几小时．

【解答】解：(1´6-2´2)¸(6-2)

=2¸4

=0.5份

(1-0.5)´6

=0.5´6

=3份

3¸(3-0.5)

=3¸2.5

=1.2（小时）

答：若用三台A型抽水机同时抽，则需要1.2小时恰好把池塘中的水抽完．

【点评】本题是牛吃草问题和工程问题的结合，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时泉水流入池

中的水量）和草地原有的份数（本题相当于池塘内原有的水量）．

25．【分析】甲每分钟走20阶，甲用了3分钟到达，甲一共走了20´3=60个台阶，同理可以求出乙一共

走了13´4=52个台阶，用两人走的台阶的数量差除以走的时间差即可求出扶梯的速度，由于人和扶梯是

同向运动的，所以扶梯的速度加上人的速度，再乘人走的时间，即可求出自动扶梯共有多少阶．

【解答】解：(20´3-13´4)¸(4-3)

=(60-52)¸1

=8¸1

=8（阶)

(20+8)´3

=28´3

=84（阶)

答：自动扶梯共有84阶．

【点评】本题要理解上楼的速度可以分为两部分：一部分是甲乙两人的自己的速度，另一部分是自动扶梯

的速度，所以利用和差知识求出自动扶梯的速度是本题的关键；然后再利用顺水行船的解答方法求出自动

扶梯可见部分的个数即可；本题考查的知识点较多，是牛吃草问题、和差问题、顺水行船问题的综合应用．

1

26．【分析】把手机的存电量看作单位“1”，每小时可以充，当手机有10%的电量时开始充电，需要

4

3

充1-10%=90%，然后除以6求出玩游戏时每小时的充电量90%¸6=；那么每小时玩游戏损耗电量

20

131122

-=，当玩游戏4小时手机，共需要电量´4=，>35%，即能判断不够持续玩游戏4小时．

420101055

【解答】解：(1-10%)¸6

=90%¸6

3

=

20

131

-=

42010

12

´4=

105

2

>35%

5

所以不能够持续玩游戏4小时．

答：不够保证持续玩游戏4小时．

【点评】解答本题关键是求出每小时玩游戏时的损耗电量．

27．【分析】假设每人每年消耗资源为单位“1”，根据“100亿人生活100年，”知道100年一共有资源

1万亿份，再根据“80亿人生活300年，”知道300年有资源2.4万亿份，即相差的1.4万亿份资源就是

200年增长的，所以100年增长0.7万亿份，1年增长70亿份，当增长量等于消耗量时，可以永远生活，

所以最多70亿人．

【解答】解：100´100=10000（份)，

80´300=24000（份)，

24000-10000=14000（份)，

14000¸200=70（亿人），

答：地球最多能养活70亿人．

【点评】解答此题的关键是，根据题意，知道当地球新生成的资源增长量等于消耗量时，地球生活的人最

多，由此即可解决问题．

28．【分析】根据题意，设出1根出水管每小时的排水量为1份，先求出进水管每小时的进水量，再求出

蓄水池原有水量，由此问题即可解决．

【解答】解：设1根出水管每小时的排水量为1份

则8根出水管3小时的排水量为：

8´3=24（份)

3根出水管18小时的排水量为：

3´18=54（份)．

所以进水管每小时的进水量为：

(54-24)(18-3)=2（份)

蓄水池原有水量为：

24-2´3=18（份)

要想在8小时将池中的水全部排光，应打开的出水管为：

18¸8+2=4.25（根)

答：最少应打开5根排水管．

【点评】此题属于典型的牛吃草问题，只要求出进水管每小时的进水量及蓄水池原有水量，问题即可解决．

29．【分析】为方便计算，这里设一台抽水机一小时抽一份水，可以求出两次水量，根据水量之差和时间

之差，求出每台抽水机每小时抽水量；然后求出蓄