北师大版九年级上册数学期末试卷

...wd......wd......wd...北师大版九年级上册数学期末试卷一．选择题〔共10小题〕1．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，假设P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为〔〕A．1B．2C．3D．42．以下语句正确的选项是〔〕A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形3．假设关于x的方程x2+〔m+1〕x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是〔〕A．﹣B．C．﹣或D．14．假设关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是〔〕A．B．C．D．5．由5a=6b〔a≠0〕，可得比例式〔〕A．B．C．D．6．以下各组中的两个图形，不一定相似的是〔〕A．有一个角是120°的两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．两个等腰直角三角形7．如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比〔〕A．1：2B．1：4C．1：8D．1：168．如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=〔x＞0〕图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．假设四边形OAPB的面积为3，则k的值为〔〕A．3B．﹣3C．D．﹣9．假设点A〔﹣5，y1〕，B〔﹣3，y2〕，C〔2，y3〕在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是〔〕A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y310．A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕、C〔x3，y3〕是反比例函数y=上的三点，假设x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则以下关系式不正确的选项是〔〕A．x1•x2＜0B．x1•x3＜0C．x2•x3＜0D．x1+x2＜0二．填空题〔共10小题〕11．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于．12．m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=．13．设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2=，m=．14．假设△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．15．：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是．16．反比例函数y=〔k≠0〕的图象经过〔3，﹣1〕，则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围是．17．如图，反比例函数y=〔k≠0〕的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，假设OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为．18．如图，点A在函数y=〔x＞0〕的图象上，且OA=4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为．19．假设12xm﹣1y2与3xyn+1是同类项，点P〔m，n〕在双曲线上，则a的值为．20．如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．三．解答题〔共10小题〕21．解方程：〔1〕3x〔x﹣1〕=2x﹣2〔2〕x2+3x+2=0．22．解方程：〔1〕3x2﹣7x=0〔2〕〔x﹣2〕〔2x﹣3〕=2〔x﹣2〕23．如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．〔1〕求证：△ABE≌△CDF；〔2〕当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．24．，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．25．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．〔1〕求证：△ACD∽△BFD；〔2〕当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．26．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．〔1〕△ABE与△ADF相似吗请说明理由．〔2〕假设AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．27．关于x的方程〔x﹣3〕〔x﹣2〕﹣p2=0．〔1〕求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数p的值．28．关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．29．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．〔1〕P、Q两点从出发开场到几秒四边形PBCQ的面积为33cm2；〔2〕P、Q两点从出发开场到几秒时点P和点Q的距离是10cm．30．如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数y2=〔x＞0〕的图象交于A〔m，1〕，B〔1，n〕两点．〔1〕求k，m，n的值；〔2〕利用图象写出当x≥1时，y1和y2的大小关系．北师大版九年级数学期末试卷参考答案与试题解析一．选择题〔共10小题〕1．〔2016•龙岩〕如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，假设P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为〔〕A．1B．2C．3D．4【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．应选：C．【点评】此题主要考察的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．2．〔2016•贵州〕以下语句正确的选项是〔〕A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形【分析】由菱形的判定方法得出选项A错误；由全等三角形的判定方法得出选项B错误；由矩形的性质得出选项C正确；由平行四边形的性质得出选项D错误；即可得出结论．【解答】解：∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴选项A错误；∵有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，∴选项B错误；∵矩形的对角线相等，∴选项C正确；∵平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，∴选项D错误；应选：C．【点评】此题考察了矩形的性质、全等三角形的判定方法、菱形的判定方法、平行四边形的性质；熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定方法、菱形的判定是解决问题的关键．3．〔2016•包头〕假设关于x的方程x2+〔m+1〕x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是〔〕A．﹣B．C．﹣或D．1【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2=﹣〔m+1〕，x1•x2=，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或﹣1，然后把±1分别代入两根之和的形式中就可以求出m的值．【解答】解：由根与系数的关系可得：x1+x2=﹣〔m+1〕，x1•x2=，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或﹣1，假设是1时，即1+x2=﹣〔m+1〕，而x2=，解得m=﹣；假设是﹣1时，则m=．应选：C．【点评】此题考察了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会把代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．4．〔2016•枣庄〕假设关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是〔〕A．B．C．D．【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进展判断即可．【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4〔kb+1〕＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；应选：B．【点评】此题考察的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．5．〔2016•滨江区模拟〕由5a=6b〔a≠0〕，可得比例式〔〕A．B．C．D．【分析】根据比例的根本性质，两外项的积等于两内项的乘积，对各选项逐项分析，即可得出正确答案．【解答】解；A、⇒ab=30，应选项错误；B、⇒ab=30，应选项错误；C、⇒6a=5b，应选项错误；D、⇒5〔a﹣b〕=b，即5a=6b，应选项正确．应选D．【点评】考察了比例的根本性质，在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．6．〔2016•延平区一模〕以下各组中的两个图形，不一定相似的是〔〕A．有一个角是120°的两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．两个等腰直角三角形【分析】根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法对A进展判断；根据等边三角形的性质和相似三角形的判定方法对B进展判断；利用反例对C进展判断；根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法对D进展判断．【解答】解：A、有一个角是120°的两个等腰的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似；B、两个等边三角形的各内角都为60°，所以两等边三角形相似；C、含30度的直角三角形和等腰直角三角形不相似，所以两直角三角形不一定相似；D、两个等腰直角的三组角分别对应相等，所以两个等腰直角三角形相似．应选C．【点评】此题考察了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．7．〔2016•浦东新区一模〕如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是〔〕A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16【分析】利用相似三角形的相似比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答．【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是1：4，又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，∴它们的对应中线之比为1：4．应选B．【点评】此题考察相似三角形的相似比问题，须熟练掌握：①相似三角形的对应高、角平分线、中线的比等于相似比；②相似三角形的周长比等于相似比；③相似三角形的面积比等于相似比的平方．8．〔2016•沈阳〕如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=〔x＞0〕图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．假设四边形OAPB的面积为3，则k的值为〔〕A．3B．﹣3C．D．﹣【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．再由函数图象所在的象限确定k的值即可．【解答】解：∵点P是反比例函数y=〔x＞0〕图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．假设四边形OAPB的面积为3，∴矩形OAPB的面积S=|k|=3，解得k=±3．又∵反比例函数的图象在第一象限，∴k=3．应选A．【点评】此题主要考察了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考察的一个知识点；这里表达了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．9．〔2016•天津〕假设点A〔﹣5，y1〕，B〔﹣3，y2〕，C〔2，y3〕在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是〔〕A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．【解答】解：∵点A〔﹣5，y1〕，B〔﹣3，y2〕，C〔2，y3〕在反比例函数y=的图象上，∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小，∴y3一定最大，y1＞y2，∴y2＜y1＜y3．应选：D．【点评】此题主要考察了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数增减性是解题关键．10．〔2016•大庆〕A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕、C〔x3，y3〕是反比例函数y=上的三点，假设x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则以下关系式不正确的选项是〔〕A．x1•x2＜0B．x1•x3＜0C．x2•x3＜0D．x1+x2＜0【分析】根据反比例函数y=和x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，可得点A，B在第三象限，点C在第一象限，得出x1＜x2＜0＜x3，再选择即可．【解答】解：∵反比例函数y=中，2＞0，∴在每一象限内，y随x的增大而减小，∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，∴x1＜x2＜0＜x3，∴x1•x2＜0，应选A．【点评】此题考察了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，此题是逆用，难度有点大．二．填空题〔共10小题〕11．〔2016•天津〕如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于．【分析】根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论．【解答】解：在正方形ABCD中，∵∠ABD=∠CBD=45°，∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，∴FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，∴MN=BD=AB，∴==，故答案为：．【点评】此题考察了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的面积的计算，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．12．〔2016•菏泽〕m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=6．【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，此题得以解决．【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m2﹣2m=3，∴2m2﹣4m=6，故答案为：6．【点评】此题考察一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．〔2016•南京〕设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2=4，m=3．【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2=﹣=4，x1x2==m，将其代入等式x1+x2﹣x1x2=1中得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，从而此题得解．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，∴x1+x2=﹣=4，x1x2==m．∵x1+x2﹣x1x2=4﹣m=1，∴m=3．故答案为：4；3．【点评】此题考察了根与系数的关系，解题的关键是找出x1+x2=4，x1x2=m．此题属于根基题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．14．〔2016•衡阳〕假设△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为5：4．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比求解．【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，∴△ABC与△DEF的相似比为5：4；∴△ABC与△DEF的周长之比为5：4．故答案为：5：4．【点评】此题考察对相似三角形性质的理解．〔1〕相似三角形周长的比等于相似比；〔2〕相似三角形面积的比等于相似比的平方；〔3〕相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．15．〔2016•黑龙江〕：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是或．【分析】分两种情况：①当点E在线段AD上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△EFD∽△CFB，求出DE：BC=2：3，即可求得EF：FC的值；②当当点E在射线DA上时，同①得：△EFD∽△CFB，求出DE：BC=4：3，即可求得EF：FC的值．【解答】解：∵AE=AD，∴分两种情况：①当点E在线段AD上时，如图1所示∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△EFD∽△CFB，∴EF：FC=DE：BC，∵AE=AD，∴DE=2AE=AD=BC，∴DE：BC=2：3，∴EF：FC=2：3；②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示：同①得：△EFD∽△CFB，∴EF：FC=DE：BC，∵AE=AD，∴DE=4AE=AD=BC，∴DE：BC=4：3，∴EF：FC=4：3；综上所述：EF：FC的值是或；故答案为：或．【点评】此题考察了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题难度不大，证明三角形相似是解决问题的关键；注意分情况讨论．16．〔2016•潍坊〕反比例函数y=〔k≠0〕的图象经过〔3，﹣1〕，则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．【分析】根据反比例函数过点〔3，﹣1〕结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，根据k值可得出反比例函数在每个象限内的函数图象都单增，分别代入y=1、y=3求出x值，即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=〔k≠0〕的图象经过〔3，﹣1〕，∴k=3×〔﹣1〕=﹣3，∴反比例函数的解析式为y=．∵反比例函数y=中k=﹣3，∴该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内均单增．当y=1时，x==﹣3；当y=3时，x==﹣1．∴1＜y＜3时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．故答案为：﹣3＜x＜﹣1．【点评】此题考察了反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出k值．此题属于根基题，难度不大，解决该题型题目时，由点的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征求出k值，再根据反比例函数的性质找出去增减性是关键．17．〔2016•昆明〕如图，反比例函数y=〔k≠0〕的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，假设OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为﹣．【分析】先设点B坐标为〔a，b〕，根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值．【解答】解：设点B坐标为〔a，b〕，则DO=﹣a，BD=b∵AC⊥x轴，BD⊥x轴∴BD∥AC∵OC=CD∴CE=BD=b，CD=DO=a∵四边形BDCE的面积为2∴〔BD+CE〕×CD=2，即〔b+b〕×〔﹣a〕=2∴ab=﹣将B〔a，b〕代入反比例函数y=〔k≠0〕，得k=ab=﹣故答案为：﹣【点评】此题主要考察了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进展求解．此题也可以根据△OCE与△ODB相似比为1：2求得△BOD的面积，进而得到k的值．18．〔2016•扬州〕如图，点A在函数y=〔x＞0〕的图象上，且OA=4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为2+4．【分析】由点A在反比例函数的图象上，设出点A的坐标，结合勾股定理可以表现出OA2=AB2+OB2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出AB•OB的值，根据配方法求出〔AB+OB〕2，由此即可得出AB+OB的值，结合三角形的周长公式即可得出结论．【解答】解：∵点A在函数y=〔x＞0〕的图象上，∴设点A的坐标为〔n，〕〔n＞0〕．在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=4，∴OA2=AB2+OB2，又∵AB•OB=•n=4，∴〔AB+OB〕2=AB2+OB2+2AB•OB=42+2×4=24，∴AB+OB=2，或AB+OB=﹣2〔舍去〕．∴C△ABO=AB+OB+OA=2+4．故答案为：2+4．【点评】此题考察了反比例函数图象上点的坐标特征、完全平方公式以及三角形的周长，解题的关键是求出AB+OB的值．此题属于根基题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用完全平方公式直接求出两直角边之和是关键．19．〔2016•荆州〕假设12xm﹣1y2与3xyn+1是同类项，点P〔m，n〕在双曲线上，则a的值为3．【分析】先根据同类项的定义求出m、n的值，故可得出P点坐标，代入反比例函数的解析式即可得出结论．【解答】解：∵12xm﹣1y2与3xyn+1是同类项，∴m﹣1=1，n+1=2，解得m=2，n=1，∴P〔2，1〕．∵点P〔m，n〕在双曲线上，∴a﹣1=2，解得a=3．故答案为：3．【点评】此题考察的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．20．〔2016•成都〕如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵AE垂直平分OB，∴AB=AO，∴OA=AB=OB=3，∴BD=2OB=6，∴AD===3；故答案为：3．【点评】此题考察了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．三．解答题〔共10小题〕21．〔2016•曲靖一模〕解方程：〔1〕3x〔x﹣1〕=2x﹣2〔2〕x2+3x+2=0．【分析】〔1〕先变形得到3x〔x﹣1〕﹣2〔x﹣1〕=0，然后利用因式分解法解方程；〔2〕利用因式分解法解方程．【解答】解：〔1〕3x〔x﹣1〕﹣2〔x﹣1〕=0，〔x﹣1〕〔3x﹣2〕=0，x﹣1=0或3x﹣2=0，所以x1=1，x2=；〔2〕〔x+1〕〔x+2〕=0，x+1=0或x+2=0，所以x1=﹣1，x2=﹣2．【点评】此题考察了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进展了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了〔数学转化思想〕．22．〔2016春•杭州期中〕解方程：〔1〕3x2﹣7x=0〔2〕〔x﹣2〕〔2x﹣3〕=2〔x﹣2〕【分析】〔1〕利用因式分解法解方程；〔2〕先移项得到〔x﹣2〕〔2x﹣3〕﹣2〔x﹣2〕=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：〔1〕x〔3x﹣7〕=0，x=0或3x﹣7=0，所以x1=0，x2=；〔2〕〔x﹣2〕〔2x﹣3〕﹣2〔x﹣2〕=0，〔x﹣2〕〔2x﹣3﹣2〕=0，x﹣2=0或2x﹣3﹣2=0，所以x1=2，x2=．【点评】此题考察了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进展了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了〔数学转化思想〕．23．〔2016•安顺〕如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．〔1〕求证：△ABE≌△CDF；〔2〕当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第〔1〕问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第〔2〕要求菱形的面积，在第〔1〕问的根基上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】〔1〕证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．〔2〕解：∵四边形AECF为菱形时，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，〔6分〕▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，〔7分〕∴菱形AECF的面积为2．〔8分〕【点评】考察了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．〔1〕用SAS证全等；〔2〕假设四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．24．〔2016•无锡〕，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．【分析】根据正方形的性质可得AD=CD，∠C=∠DAF=90°，然后利用“边角边〞证明△DCE和△DAF全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠DAB=∠C=90°，∴∠FAD=180°﹣∠DAB=90°．在△DCE和△DAF中，，∴△DCE≌△DAF〔SAS〕，∴DE=DF．【点评】此题考察了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形对应边相等证明线段相等是常用的方法之一，一定要熟练掌握并灵活运用．25．〔2016•齐齐哈尔〕如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．〔1〕求证：△ACD∽△BFD；〔2〕当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．【分析】〔1〕由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．〔2〕先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得==1，即可解决问题．【解答】〔1〕证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD．〔2〕∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°∴=1，∴AD=BD，∵△ACD∽△BFD，∴==1，∴BF=AC=3．【点评】此题考察相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．26．〔2016•环县校级模拟〕如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．〔1〕△ABE与△ADF相似吗请说明理由．〔2〕假设AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．【分析】〔1〕根据矩形的性质和DF⊥AE，可得∠ABE=∠AFD=90°，∠AEB=∠DAF，即可证明△ABE∽△DFA．〔2〕利用△ABE∽△ADF，得=，再利用勾股定理，求出AE的长，然后将数值代入即可求出DF的长．【解答】解：〔1〕△ABE与△ADF相似．理由如下：∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，∴∠ABE=∠AFD=90°，∠AEB=∠DAF，∴△ABE∽△DFA．〔2〕∵△ABE∽△ADF∴=，∵在Rt△ABE中，AB=6，BE=8，∴AE=10∴DF===7.2．答：DF的长为7.2．【点评】此题主要考察学生对相似三角形的判定与性质、勾股定理和矩形的性质的理解和掌握，难度不大，属于根基题．27．〔2016•十堰〕关于x的方程〔x﹣3〕〔x﹣2〕﹣p2=0．〔1〕求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数p的值．【分析】〔1〕化成一般形式，求根的判别式，当△＞0时，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程．【解答】证明：〔1〕〔x﹣3〕〔x﹣2〕﹣p2=0，x2﹣5x+6﹣p2=0，△=〔﹣5〕2﹣4×1×〔6﹣p2〕=25﹣24+4p2=1+4p2，∵无论p取何值时，总有4p2≥0，∴1+4p2＞0，∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，∵，∴〔x1+x2〕2﹣2x1x2=3x1x2，∴52=5〔6﹣p2〕，∴p=±1．【点评】此题考察了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：〔1〕一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．〔2〕一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两实数根分别为x1，x2，则有，．28．〔2016•绥化〕关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．【分析】〔1〕根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；〔2〕根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22=﹣2x1•x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经历值m=﹣1符合题意，此题得解．【解答】解：〔1〕∵一