（人教A版）高二数学下学期期中复习考点题型讲练 专题08正态分布（2个知识点2个拓展1个突破3种题型1个易错点）（解析版）

专题08正态分布（2个知识点2个拓展1个突破3种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.正态曲线与正态分布知识点2.正态曲线的性质拓展1.正态分布概率的求法拓展2.正态分布在实际生活中的应用突破：正态分布的综合应用【方法二】实例探索法题型1.正态曲线题型2.利用正态曲线的对称性求概率题型3.正态分布的应用【方法三】差异对比法易错点：错用正态曲线的对称性【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.正态曲线与正态分布正态曲线与正态分布1．我们称f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．例1.单选题（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）某班有45名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布，若的学生人为18，则（

）A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35【答案】C【分析】结合原则与正态分布曲线的对称性即可求解．【详解】由题可设，则，又的学生人数为，故.故选：C知识点2.正态曲线的性质正态曲线的特点1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1.3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.知识点三正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．例2．多选题（2024上·辽宁·高二校联考期末）随机变量，且，随机变量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由正态分布函数的对称性以及二项分布的概率公式逐一验算每一选项即可求解.【详解】因为，且，所以，故A正确.因为，所以.因为，所以，所以，故B错误.因为，所以，故C正确.因为，所以，故D错误.故选：AC.拓展1.正态分布概率的求法1．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则．【答案】0.2【分析】随机变量服从正态分布,得到对称轴为，再由,可得,根据正态分布曲线的特点，即可得到结果.【详解】随机变量服从正态分布，可得到对称轴为，又由，则，所以.故答案为：拓展2.正态分布在实际生活中的应用2．（2023·全国·模拟预测）某市有20000名学生参加了一项知识竞赛活动（知识竞赛分为初赛和复赛），并随机抽取了100名学生的初赛成绩作为样本，绘制了频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和分位数．(2)若所有学生的初赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初赛成绩不低于89分的学生才能参加复赛，试估计能参加复赛的人数．(3)复赛设置了三道试题，第一、二题答对得30分，第三题答对得40分，答错得0分．已知某学生已通过初赛，他在复赛中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响，记该考生的复赛成绩为，求的分布列及数学期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】(1)平均数67，分位数为(2)455(3)分布列见解析，数学期望为55【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的求法即可求解；（2）由（1），易知近似服从正态分布，结合题意和正态分布3段区间的概率即可求解；（3）利用独立事件的概率乘法公式求出随机变量Y值对应的概率，列出分布列，结合数学期望计算公式求解即可.【详解】（1）样本平均数．因为前2组的频率之和为，前3组的频率之和为，设分位数为，则，解得．（2）因为学生的初赛成绩近似服从正态分布，其中，，所以，所以，所以估计能参加复赛的人数为．（3）所有可能的取值为0，30，40，60，70，100，，，，，，，所以的分布列为030406070100，所以的数学期望为55．【方法二】实例探索法题型1.正态曲线1．单选题（2021·高二单元测试）设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态曲线如图所示，下列说法正确的是（）A．P(Y≤μ1)≥P(Y≤μ2)B．P(X≥σ1)≥P(X≥σ2)C．若t<0，则P(X≤t)≤P(Y≤t)D．若t<0，则P(X≥t)≤P(Y≥t)【答案】D【分析】由已知图象可得μ1与μ2，σ1与σ2的大小关系，然后利用正态分布的性质逐一分析各选项即可得解.【详解】由正态分布密度曲线图象的对称性知，μ1<0<μ2，由图象形状可得σ1>σ2>0，如图，观察图象得：P(Y≤μ1)≤P(Y≤μ2)，A不正确；P(X≥σ1)≤P(X≥σ2)，B不正确；由正态分布在区间上的概率的几何意义知：若t<0，则P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C不正确，D正确.故选：D题型2.利用正态曲线的对称性求概率2．多选题（2021·高二课时练习）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率，则下列说法正确的是（）（附：若，则，，）A．B．C．D．假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只医用口罩中过滤率大于的数量，则【答案】ABC【分析】直接由正态分布的对称性、三段区间的概率以及对立事件的概率、独立重复实验的概率依次判断即可.【详解】由题意可知，，.对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以根据正态曲线的特点可知，故B正确；对于C，因为，且，所以，故C正确；对于D，一只医用口罩过滤率小于等于的概率约为，所以，故D错误.故选：ABC.题型3.正态分布的应用3．（2021·高二课时练习）若某种零件的尺寸（单位：）服从正态分布，其正态密度函数在上单调递增，在上单调递减，且.试估计尺寸在72~88的零件占总数的百分之几.【答案】68.27%.【分析】由题意可先确定和的值，再由正态分布的3原则结合题意即可求解【详解】由于函数在上单调递增，在上单调递减，所以正态曲线关于直线对称，且在处取得最大值，因此，，所以.由，，得，，又因此尺寸在72~88的零件大约占总数的68.27%.【方法三】差异对比法易错点：错用正态曲线的对称性1．某中学高考数学成绩近似地服从正态分布，求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比．【答案】2.28％．【详解】试题分析：设表示学生高考数学成绩，根据题意知要求的值．因为，，所以，，故数学成绩在分以上的考生占总人数的．试题解析：设表示学生高考数学成绩，根据题意知要求的值．因为，，所以，，故数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.28％．【方法点睛】本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布挂起钩来；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022·高二课时练习）某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】由计算出，由此求得该班学生数学成绩在120分以上的概率，问题得解．【详解】因为数学成绩，所以由可得：，所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为：，所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为：（人）故选A【点睛】本题主要考查了正态分布的特征及其应用，属于基础题．2．（2021上·吉林长春·高三长春外国语学校校考期中）已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高（单位：cm）服从正态分布，则适合身高在155~175cm范围内的校服大约要定制（

）A．683套 B．954套 C．972套 D．997套【答案】B【分析】根据正态分布可得身高在155~175cm范围内的概率为95.4%，即可求出答案.【详解】因为学生的身高（单位：cm）服从正态分布，所以身高在155~175cm范围内即在内取值，概率为95.4%，所以身高在155~175cm范围内的校服大约要定制套.故选：B.3．已知随机变量，且，则A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7【答案】A【解析】由随机变量，得正态分布曲线关于对称，即可得到，即可求解，得到答案．【详解】由题意，随机变量，且，可得正态分布曲线关于对称，可得，故选A．【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．（2021下·江苏连云港·高二校考期中）已知正态密度曲线的函数关系式是f（x），设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图象，且，则这个正态总体的平均数与方差分别是（

）A．10与4 B．10与2 C．10与8 D．2与10【答案】A【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．【详解】解：，平均数，标准差．所以平均数，方差故选：．5．（2022·高二课时练习）已知随机变量，且，，则为（

）A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718【答案】B【分析】由随机变量可知，利用正态分布的对称性求解即可【详解】由随机变量知，，所以，，所以，故选：B6．某班有60名学生，一次考试的成绩服从正态分布，若，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（

）A．12 B．20 C．30 D．40【答案】A【分析】利用正态分布曲线关于对称，从而求得的值，进而求得的概率值，即可得到答案.【详解】因为服从正态分布，所以，所以，所以该班数学成绩在100分以上的人数为（人）.故选：A.【点睛】本题考查正态分布曲线的应用，求解时注意利用曲线的对称性，同时注意一个端点值不影响概率值，考查逻辑推理能力和运算求解能力.7．（2021下·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设随机变量，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因为，所以其图像关于对称，所以有，解出的值【详解】因为，根据正态分布密度函数的图形特征，其图像关于对称，又因为，所以当和时，其函数值相等，根据对称性，和关于，所以有，解得故选：B8．随机变量，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正态分布的对称性计算即可求解【详解】因为随机变量所以正态曲线关于直线对称所以因为所以所以，故选：A.二、多选题9．（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的中位数为6B．若随机变量，且，则C．若随机变量，且，则D．对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上【答案】BC【分析】根据数据的中位数的概念和计算方法，可判定A错误；根据二项分布的期望和方差的计算公式，可判定B正确；根据正态分布的对称性，可判定C正确；根据回归直线方程的特征，可判定D错误.【详解】对于A中，把某射击运动员在一次训练中10次射击成绩由小到大排列：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的中位数为7，所以A错误；对于B中，若随机变量，且，可得，解得，则，所以B正确；对于C中，若随机变量，且，可得，则，所以C正确；对于D中，对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，可能没有一个数据点在回归直线上，所以D错误.故选：BC.10．（2021上·福建福州·高三校考开学考试）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则下列结论正确的是（

）.（附：若随机变量服从正态分布，则，，．从中随机取一件，．A．B．C．长度误差落在内的概率为0.1359D．长度误差落在内的概率为0.1599【答案】BC【分析】根据正态分布的性质，结合图像、题中所给公式逐一判断即可.【详解】由图中密度函数解析式，可得；又由图像可知，则长度误差落在内的概率为：．故选：BC11．（2023上·山东潍坊·高三统考期末）关于下列命题中，说法正确的是（

）A．已知，若，，则B．数据，，，，，，，，，的分位数为C．已知，若，则D．某校三个年级，高一有人，高二有人.现用分层抽样的方法从全校抽取人，已知从高一抽取了人，则应从高三抽取人.【答案】BCD【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得，知A错误；将数据按照从小到大顺序排序后，根据百分位数的估计方法直接求解知B正确；由正态分布曲线的对称性可求得C正确；根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知D正确.【详解】对于A，，，，解得：，A错误；对于B，将数据从小到大排序为，，，，，，，，，，，分位数为第个数，即，B正确；对于C，，，C正确；对于D，抽样比为，高二应抽取人，则高三应抽取人，D正确.故选：BCD.12．（2022下·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期中）下列说法正确的有（

）A．若随机变量，，则B．若随机变量，则方差C．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为D．已如随机变量的分布列为，则【答案】ABD【分析】根据概率，正态分布和二项分布的性质，逐个选项进行判断，即可得到答案.【详解】对于A，根据正态分布的性质，明显可得，，所以，，A正确；对于B，直接利用二项分布的方差计算公式，即可求解，B正确；对于C，设至少有一名女生为事件，则，则，故C错误；对于D，，得，可得，解得，所以，故D正确；故选：ABD三、填空题13．（2023·全国·模拟预测）研究人员在调查某园区内种植的某种植物的株高时，发现株高（单位：）服从正态分布，若，则在该园区内随机抽取一株这种植物，株高超过的概率约为．【答案】0.2/【分析】根据题意，由求解.【详解】解：因为，所以解得．又由得，所以，故株高超过的概率约为0.2．故答案为：0.214．（2022·高二单元测试）上次月考刚好有900名学生参加考试，学生的数学成绩，且，则上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为．【答案】144【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，求出上次月考中数学成绩在115分以上的概率，即可求解．【详解】解：学生的数学成绩，，且，，，则该上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为人．故答案为：144．15．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）某校高中三年级600名学生参加了区模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为.【答案】75【分析】根据正态分布的对称性可求得，即可求得答案.【详解】由题意可知，且,则，故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为，故答案为：7516．（2021上·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且，若该校1800学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于99分的学生人数为.【答案】360【分析】由题意，成绩近似服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，求得，进而可求解，得到答案.【详解】解：由题意，成绩近似服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，又由，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以该市某校有1800人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为人，故答案为：360.四、解答题17．设X～N(10,1)，若P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．【答案】.【详解】试题分析：由正态曲线的的对称性可得，再结合和的值，即可得出答案.试题解析:X～N(10,1)所以正态曲线的对称轴x=10.P(X.18．（2022·高二课时练习）某工厂为检验车间一生产线工作是否正常，现从生产线中随机抽取一批零件样本，测量它们的尺寸（单位：mm）并绘成频率分布直方图，如图所示．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布，其中近似为零件样本平均数，近似为零件样本方差．(1)求这批零件样本的和的值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)假设生产状态正常，求；(3)若从生产线中任取一零件，测量其尺寸为30mm，根据原则判断该生产线工作是否正常．附：；若，则，，．【答案】(1)75；110；(2)0.8186；(3)该生产线工作不正常.【分析】（1）根据平均数和方差的公式进行求解即可；（2）利用正态分布的性质，结合所给的公式进行求解即可；（3）根据正态分布的性质进行判断即可.【详解】（1），（2）由（1）知，，从而，∴（3）∵，，，，小概率事件发生了，∴该生产线工作不正常．19．（2023·全国·模拟预测）某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意.(1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数）(2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望.（附：若，则，）【答案】(1)6人，6人(2)分布列见解析，【分析】（1）根据频率直方分布图和正态分布计算；（2）根据题意，只对产品功能非常满意的有4人，只对产品外观非常满意的有4人，利用超几何分布得出的分布列．【详解】（1）因为对产品功能满意程度的评分服从正态分布，其中，设对产品功能满意程度的评分为，所以，所以本次调查对产品功能非常满意的顾客约有（人）.根据频率分布直方图得，对产品外观非常满意的频率为，则本次调查对产品外观非常满意的顾客约有（人）.（2）根据题意，这人中对两项都非常满意的有人，则只对产品功能非常满意的有人，只对产品外观非常满意的有人，的可能取值为，，，则的分布列为数学期望.20．（2023下·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考期中）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数（同一组的数据用该组区间中点值代表）．(2)由直方图可认为农户家庭年收入近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中.①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为，求．（结果精确到0.001）附：①；②若，则，；③．【答案】(1)8(2)①317户；②【分析】（1）利用平均数公式求解；（2）易知①农户家庭年收入近似服从正态分布，根据，求得即可.②由年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布求解.【详解】（1）解：这2000户农户家庭年收入的样本平均数.（2）①农户家庭年收入近似服从正态分布.因为，所以.因为，所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数为317.②年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布.所以.21．（2023下·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理，优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数；(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为