黄金卷（北京专用）【赢在中考·黄金预测卷】2025年中考数学模拟卷（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用）黄金卷（考试时间：120分钟试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单选题（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）1．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．如图图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意．故选：D．2．如图，直线a∥b，将直角三角板的60°角的顶点放在直线b上，若∠1＝57°，则∠2的度数是（）A．57° B．33° C．27° D．23°【答案】C【分析】由平行线的性质可得∠3＝∠1＝57°，∠A＝30°，则利用三角形的外角性质可求得∠4＝27°，再利用对顶角相等即可求∠2的度数．【详解】解：如图，由题意得∠A＝30°，∵，∠1＝57°，∴∠3＝∠1＝57°，∴∠4＝∠3-∠A＝27°，∴∠2＝∠4＝27°．故选：C．【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解题关键．3．已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小，有理数绝对值的性质，乘法和加法计算，解题的关键是掌握相关法则并应用．【详解】解：由数轴可知：，∴，故选：D．4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由方程有实数根即△＝b2﹣4ac≥0，从而得出关于m的不等式，解不等式即可得答案．【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，∴△＝b2﹣4ac≥0，即[-(2m-1)]2-4m2≥0，解得：m≤，【点睛】本题主要考查根的判别式，对于一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式△=b2﹣4ac，当△>0时，方程有两个不相等得实数根；当△=0时，方程有两个相等得实数根；当△<0时，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．5．四个完全相同的球上分别标有数字，，0，5，从这4个球中任意取出一个球记为a，放回后，再取出一个记为b，则能被5整除的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：列表如下：0532005532510一共有16种情况，其中点能被5整除的有6种情况，点能被5整除的概率．故选：A．6．2024年12月12日是南水北调东中线一期工程全面通水十周年．截至12日，该工程已累计调水超过767亿立方米．数据767亿立方米用科学记数法表示为（

）A．立方米 B．立方米C．立方米 D．立方米【答案】C【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：767亿立方米立方米立方米，故选：C．7．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（

）

A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等【答案】C【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可．【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键．8．如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论，正确的是（

）A．对于任意，该八边形都是正八边形B．存在唯一的，使得该八边形为正八边形C．对于任意，该八边形都有外接圆D．存在唯一的，使得该八边形有内切圆【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质等知识点，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．如图：延长和，连接，根据菱形的性质可得，；根据旋转的性质可得点一定在对角线上，且，，再证明可得，同理可得，再说明当时，，即存在唯一的，使得该八边形为正八边形，据此即可解答．【详解】解：如图：延长和，连接，∵菱形，，∴，，∵菱形绕点O逆时针旋转得到菱形，∴点一定在对角线上，且，，∴，∵，∴，∴，同理可证：，∵，∴，∴，同理可得：，∴该八边形各边长都相等；当时，，即∵，∴，∴，同理可得：，∴当，八边形各内角相等，故②正确．故选：B．二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分.）9．如果在实数范围内有意义，则的取值范围是.【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可得出结果．【详解】由题意得：3-4x≥0，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的意义和性质，注意掌握①概念：式子（a≥0）叫二次根式，②性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．10．分解因式：．【答案】（a-b）（x+1）（x-1）【分析】根据提公因式法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．【详解】解：原式=（a-b）（x2-1）=（a-b）（x+1）（x-1）．故答案为：（a-b）（x+1）（x-1）.【点睛】本题考查了因式分解，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．11．关于x的方程＝3的解为．【答案】x＝2【分析】此题考查解分式方程的方法和步骤：第一步，分式两边同乘以最简公分母（2x﹣5），将分式方程化为整式方程x﹣5＝3（2x﹣5）；第二步，解整式方程，得x＝2；第三步：将x＝2代入（2x﹣5）验根，从而得到x＝2为分式方程的解．【详解】方程两边同乘以(2x﹣5)，得x﹣5＝3(2x﹣5)解得x＝2经检验，x＝2为原方程的解．故答案为x＝2．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验.12．已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查反比例函数的图象上点的特征，掌握反比例函数图象上点的坐标之积等于是解题的关键．因为、都在反比例函数的图象上，可知，，把已知代入可求得的值．【详解】解：点，都在反比例函数的图象上，，，，且，．故答案为：．13．随着创建“生态文明城市”活动的开展，某市灯光秀的展演吸引了无数市民及外地游客，某校数学学习小组调查了用于光影秀的10000只灯泡．为了解这10000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命灯泡只数51012176根据以上数据，估计这10000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为只．【答案】4600【分析】本题考查了利用样本估计总体，熟练掌握利用样本估计总体的方法是解题关键．利用10000乘以使用寿命不小于2200小时的灯泡所占百分比即可得．【详解】解：（只），即估计这10000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为4600只，故答案为：4600．14．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠COA的度数是．【答案】70°【分析】在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求解即可．【详解】解：由题意可得：．故答案是70°．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．15．如图，四边形和均为正方形，连接交于点，点恰好为中点，若，则的长为．【答案】2【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据正方形的性质可证，得到，则，由点恰好为中点，，则，设，则，由，解得，由此即可求解．【详解】解：∵四边形和均为正方形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵点恰好为中点，∴，∴，∴，设，则，∴，解得，，∴，故答案为：2．16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号ABCDE修复时间（分钟）1663059若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产，现只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是（填序号），最少为元．【答案】①1380【分析】本题考查了有理数的混合运算，要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可，找出方案是解题的关键．【详解】解：要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，然先修复时间短的，即按5、6、9、16、30分钟顺序修复，即线路①；此时经济损失为元，故答案为：①；1380．三、解答题（本大题共12题，第17-19题、第22-23题、第25题每题5分，第20-21题、第24题、第26题每题6分，第27-28题每题7分，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．计算：．【答案】【分析】利用算术平方根的意义，绝对值的意义，特殊角的三角函数值和零指数幂的意义化简运算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，绝对值的意义，特殊角的三角函数值和零指数幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．18．解不等式组：．【答案】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19．已知，求代数式的值．【答案】1【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及完全平方公式，熟练正确知识点是解题的关键．先将变形为，再将代数式化简为，再代入求值即可．【详解】解：，∵∴，∴，∴代数式的值为1．20．如图，在中，，中线，交于点，，分别是，的中点，连接，，，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)当，时，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由是的中位线，则且，由是的中位线，则且，推出且，由一组对边相等且平行的四边形是平行四边形即可证；（2）由（1）可得点O是的中点，点分别是的中点，结合，可得，根据，易得，则，由勾股定理求出，最后利用勾股定理可求得的长．【详解】（1）证明：∵点D是的中点，点E是的中点，∴是的中位线，则且，，分别是，的中点，∴是的中位线，且，且，四边形是平行四边形．（2）解：∵四边形是平行四边形，∴点O是的中点，，点分别是的中点，，，，，，，点D是的中点，，．【点睛】本题考查了平行四边形判定与性质、勾股定理的应用、三角形中位线性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用这些知识点．21．某市对七年级综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分（满分100分）由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？【答案】孔明同学测试成绩为90分，则平时成绩为95分．【分析】设孔明同学测试成绩为x分，则平时成绩为（185﹣x）分，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果【详解】解：设孔明同学测试成绩为x分，则平时成绩为（185﹣x）分，根据题意得：80%x+20%（185﹣x）＝91，解得：x＝90，∴185﹣90＝95，答：孔明同学测试成绩为90分，则平时成绩为95分．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．22．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．(1)求直线的表达式；(2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．（1）先求解，再利用待定系数法求解即可；（2）当时，，当过时，可得：，再结合图象分析即可．【详解】（1）解：∵过点，∴，解得：，∴，∵直线过点，，∴，解得：，∴直线的表达式为；（2）当时，，如图，当过时，∴，解得：，如图，∴当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值，n的取值范围为；23．我市某中学八年级举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，其中八年级（1）、八年级（2）班派出的名选手的比赛成绩如图所示：(1)根据图，完成表格：中位数（分）众数（分）平均数（分）班班(2)请问，哪个班参加比赛选手的成绩比较整齐？为什么？【答案】(1)表见详解(2)八（1）班参加比赛选手的成绩比较整齐，理由见详解【分析】（1）根据条形统计图给出的数据，把这组数据从小到大排列，找出最中间的数求出中位数，再根据众数、平均数的定义即可得出答案；（2）根据方差的公式计算可得出两个班的方差，根据平均数和方差，再进行比较即可得出答案．【详解】（1）解：∵八（1）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，∴这组数据的中位数是分，众数是分，平均数分；∵八（2）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，∴这组数据的众数是90分，填表如下：中位数（分）众数（分）平均数（分）班班（2）解：八（1）班参加比赛选手的成绩比较整齐；理由如下：八（1）的成绩的方差为；八（2）的成绩的方差；∵两个班的平均分相同，均为，八（1）班的方差小，，∴八（1）班选手的成绩总体上较整齐．【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握以上知识是解题的关键．24．如用，在中，平分，交于点F，交外接圆于点E．过点E作的切线交延长线于点D．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到，利用圆的切线的性质定理得到，再利用同垂直与第三条直线的两直线互相平行的性质解答即可；（2）利用等腰三角形的性质，平行线的性质和圆周角定理得到，，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．【详解】（1）解：证明：连接，如图，平分，，，．为的切线，．；（2）由（1）知：，，，，，．，．，，，，，．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加辅助线．25．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'．(1)求a，b，c的值；(2)画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；(3)某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）．①直接写出m的取值范围；②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值．【答案】(1)a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3(2)y＝x2﹣10x+21（x≥3）；图见解析(3)①m＞0或m＝﹣4；②5【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3，列方程组并且解该方程组求出a、b、c的值即可；（2）由（1）得原抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，将其配成顶点式y＝（x﹣1）2﹣4，则翻折后得到的抛物线的顶点为（5，﹣4），再根据轴对称的性质，可求出“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）；（3）①先求出K与L的公共点为B（3，0），再结合图象，确定m的取值范围是m＞0或m＝﹣4；②按m＞0和m＝﹣4两种情况分类讨论，当m＞0时，先求出直线BM的解析式，再将其与L的解析式组成方程组，求出点M的纵坐标即为m的值；当m＝﹣4时，则△MNB不是等腰直角三角形．【详解】（1）解：把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c）代入y＝ax2+bx﹣3，得，解得，∴a、b、c的值分别为1、﹣2、﹣3．（2）由（1）得，L的解析式为y＝x2﹣2x﹣3（x≤3），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），∴将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4沿直线x＝3翻折得到的抛物线的顶点坐标为（5，﹣4），∴翻折后的抛物线为y＝（x﹣5）2﹣4，即y＝x2﹣10x+21，∵K与L关于直线x＝3对称，∴“部分抛物线”K的解析式为y＝x2﹣10x+21（x≥3）．

画出“部分抛物线”K的图象如图1所示：（3）由得，∴K与L的公共点为B（3，0），①如图2，当直线y＝m在点B上方，由直线y＝m与图形W只有两个交点M、N，∴m＞0；如图3，当直线y＝m′在点B下方，直线y＝m经过L、K的顶点M（1，﹣4）、N（5，﹣4），此时直线y＝m与图形W只有两个交点M、N，∴m＝﹣4，综上所述，m＞0或m＝﹣4．②如图2，m＞0，△MNB为等腰直角三角形，设BM交y轴于点D，M（x，x2﹣2x﹣3），∵BM＝BN，∠MBN＝90°，∴∠BMN＝∠BNM＝45°，∵MN∥x轴，∴∠OBD＝∠BMN＝45°，∵∠BOD＝90°，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OB＝OD＝3，∴D（0，3），设直线BM的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BM的解析式为y＝﹣x+3，∵点M在直线y＝﹣x+3上，∴M（x，﹣x+3），∴x2﹣2x﹣3＝﹣x+3，解得x1＝﹣2，x2＝3（不符合题意，舍去），∴M（﹣2，5），∴m＝5；如图3，m＝﹣4，∵BM2+BN2＝2BM2＝2×[（3﹣1）2+（0+4）2]＝40，MN2＝（5﹣1）2＝16，∴BM2+BN2≠MN2，∴此时△MNB不是等腰直角三角形，综上所述，m的值是5．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、等腰直角三角形、待定系数法等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．26．已知抛物线．(1)若，求抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若是这条抛物线上不同的两点，求证：．【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；(2)．【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数顶点式以及二次根式的性质是求解的关键．（1）将的值代入可求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标；（2）根据题意可得为抛物线的顶点，可求出的值，再求出函数解析式，是抛物线上的点，分别用含的式子表示出和，进而求出，通过配方式，可证明结论．【详解】（1）解：，∴抛物线的解析式为，∴∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．（2）∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，∴为抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴为直线，∴，∴，∴抛物线的解析式为，∵是抛物线上不同的两点，∴，∴，又∵，∴，∴．27．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.

(1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；(2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。【答案】(1)见详解(2)，理由见详解【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点；（2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出．【详解】（1）证明：连接，

由题意得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点是的中点；（2）解：，在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，

∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∵，∴，，∵是的中点，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键．28．P是内一点，过点P作的任意一条弦，我们把的值称为点P关于的