2024年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷

2024年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷

一.选择题。

1.（3分）下列各数中，最小的是（）

A.-IB.0C.1

2.（3分）下列立体图形的主视图为三角形的是（）

3.（3分）△A8C在正方形网格中的位置如图所示，贝han/CAB的值为（）

：：C

c4

43

4.(3分)下列计算正确的是(

A.V3W7=V10B.V8-V2=2

C.(-2a)3=-8。3D.a6-ra3=a2

5.（3分）如图，将一块含有60°的直角三角板放置在两条平行线上，若Nl=40°（）

Qo

A.60°B.40°C.30°D.20°

6.（3分）如图，四边形。48c为菱形.若OA=2,4OC=45°（)

A.(2+V2,V2)B.(2-V2,V2)C.(-2+V2,V2)D.(-2-V2,V2)

7.（3分）在正数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为。※8=3（a+b）・5g，方

程（X”）=-1的解是（）

A.x=—B.x=l

5

-'或%=乌或%=-

C.x—4=1D.1

55

8.(3分)如图，在等腰三角形ABC中,A8=AC=8,以A8为直径的。0交8C于0,连

)

A.16n-32B.8TT-16C.4n-8D.4n-4

（3,c）都在反比例丫度士L（k为实数）的图

9.(3分)若点A(-4,a),B(1,b),C

x

象上，江C大小关系正确的是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

10.（3分）如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，ZC=90°,BC=3米,

用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片（）

60C.竿D

3717-f

二,填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。

11.（3分）因式分解：x2-4=

12.（3分）在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同.从袋

中随机取出一个球是黄球的概率为0.4,若袋中有12个白球个.

13.（3分）如图，A8是半圆。的直径，弦CO〃AB,弦CD与直径A8之间的距离为3,

则AB=________

14.（3分）小健原有存款50元，小康原有存款80元：从这个月开始，小健每个月存18元

零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康.可列不等式为.

15.（3分）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,点、D,E分别在边连接DE,将ABDE

沿DE折叠।.若点Bi刚好落在边AC上，且NC3iE=30°,CE=m,则BC的长

为.（用含小的代数式表示）

16.（3分）已知抛物线y=a7-2or+〃（«>0）经过A（2"+3,yi）,B（n-I»y2）两点,

若A,8分别位于抛物线对称轴的两侧iVyz,则〃的取值范围是.

三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,

17.（6分）计算:

⑴I—1-2旭

（2）（x+2）2-x（x+4）.

18.（6分）先阅读下列解题过程，再回答问题.

解：两边同乘4得：3-（x+2）=-6（x-2）①

去括号得:3-x-2=-6.V+I2®

移项得：・x+6x=12-3+2③

解得：X=H@

5

（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是.

（2）请给出正确的解答过程.

19.（8分）某学校随机抽取部分学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成加下的统

计表和如图①@所示的两幅不完整的统计图，E两组对应的小长方形的高度之比为2：

1.请结合相关数据解答以下问题：月消费额分组统计表

组别月零花钱消费额/

元

A10<x<100

B100^x<200

C2（）0WxV30（）

D3004V400

Ex2400

月零花钱消荽额频数分布直方图月零花钱消斐额扇形统计国

①②

（1）本次调查样本的容量是：

（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数；

（3）若该学校有2500名学生，请估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量.

20.（8分）如图，已知4E=CRAE//CF

（1）求证：△AEQ空

（2）连结48,CD,那么A8

21.（10分）食堂午餐高够期间，同学们往往需要排队等候购餐.经调查发现，每天开餐时，

接下来，不断有新的同学进入食堂排队（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午

餐15份，前。分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐.每一天食堂排队等候购餐的人数），

（人）（分钟）的关系如图所示，

(1)求。的值.

(2)求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数.

(3)若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购,

22.(10分)已知二次函数y=a(x-1)(x-3)图象过点(4,〃力，(/?,/?).

⑴若m=I,求a的值.

(2)若求p的取值范围.

(3)求证：“〃?+〃〃>0.

23.(12分)综合与实践

【问题情境】如图，在四边形48CO中，点P是线段8C上一点，AP=PD.

【性质初探】如图1,当.ZB=ZC=90°时，猜想43,8c三条线段存在的数量关系

并证明.

【类比再探】如图2,延长射，C。交于点EZB=30°时，求空@的值.

BC

【问题解决】如图2,延长84,CD交于点、E,N3=a时，用含a的代数式表示迪里

24.(12分)如图，44是。。的直径，点C是直线48上方的。。上一点.点M是AABC

的内心.连结人M,CM,延长CM交OO于点力.

(1)若AB=10,4c=6,求BC的长.

(2)求NAMB的度数.

(3)当点C在直线AB上方的。0上运动时，求证：DH=^~AB.

2

2024年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.选择题。

1.（3分）下列各数中，最小的是（）

A.-1B.0C.1D.3

【解答】解：•・•-1V0V7V3,

・•・最小的数是-1,

故选：A.

2.（3分）下列立体图形的主视图为三角形的是（）

【解答】解：A.球的主视图是圆；

B.圆锥的主视图是等腰三角形；

C.圆柱的主视图的矩形：

D.三棱柱的主视图的矩形（矩形内部有•条纵向的虚线）.

故选：B.

3.（3分）△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则［anNCAB的值为（）

5543

【解答】解：由题图知，△A8C为直角三角形，

8c=3,AC=4.

•••tan/C/W=V2=$

AC4

故选：C.

4.（3分）下列计算正确的是（）

A.V3W7=V10B.V8-V2=2

C.（-2a）3=-8〃3D.a6-ra3=a2

【解答】解：A、F与小不是同类项，故此选项不狩合题意;

B.V3-V2=273-V2=72,故此选项不符合题意；

C、（-4a）3=.8浸，故此选项符合题意；

。、/+/=/,故此选项不符合题意；

故选：C.

5.（3分）如图，将一块含有60°的直角三角板放置在两条平行线上,若N1=40°)

A.60°B.40°C.30°D.20°

【解答】解：如图：延长厂G交C。于点E,

*/ZFGH是△EG”的一个外角,

・・・"GH=N2+N3=60°,

・・・N6=N3,

・・・/2+N8=60°,

VZ1=4O°,

・・・N2=60°-40°=20°,

故选：D.

6.（3分）如图，四边形OABC为菱形.若。4=2,ZAOC=45°（）

A.（2+V2,V2）B.（2-V2,V2）C.（-2+V2,V2）D.（-2-V2,V2）

【解答】解：作轴于点E,则NBEC=90°,

丁四边形OA3C为菱形，

：.CB=OC=OA=2,CB//OA,

：.Z.BCE=ZAOC=45Q,

：.ZCBE=ZBCE=45°,

：・BE=CE,

・・。=位2位6=7^=«32,

:.BE=CE=近,

：・OE=OC+CE=4+E，

：-B（-2-V6，&），

7.（3分）在正数范围内定义一种新运算“※）其运算规则为〃※匕=3（"力）-5而，方

程球（x+l）=-I的解是（）

A.x=-B.x=1

5

C.x=--x=ID.x=9或x=-I

55

【解答】解：:a※匕=3（〃+力）-5ab,

・••方程彳※（x+2）=-1变形为3口+（A+5）]-5x（x+1）=-3,

定义新运算

・・・5/-x-2=0,

:.（5x+8）（x-1）=0,

.*.6x+4=0,x-8=0,

x=-—（舍去）或工=1.

3

故选:B.

8.（3分）如图，在等腰三角形ABC中,AB=AC=S,以AB为直径的。。交8c于Z）,连

接0Q,则图中阴影部分面积为（)

A.16n-32B.8n-16C.4TT-8D.4n-4

【解答】解：•・•在等腰三角形A4C中，A8=AC=8,

42

.,.^C=^8+8=NA8C=45°,

•「AB为（DO的直径,

C.ADA.BC,

•••△A3。是等腰直角三角形，入。=_1BC=4加，

2

:°A==4，

：.OD.LAI3,即NAOO=90°，

・••图中阴影部分面积为:

9QH21

X6-yOA*OD

360

=4n-AX4x4

=6n-8.

故选：C.

9.（3分）若点A（-4,a）,B（1,b）,C（3,c）都在反比例y£±L@为实数）的图

X

象上，6C•大小关系正确的是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

【解答】解：・・・9+1>7,

・•・反比例yjd±L（k为实数）的图象在一、三，

x

•・•点4（-8,a）,b）,c）都在反比例y=k+1（k，

工点4（-4,〃）在第三象限，b）,c）在第一象限,

V-4<0<4<3,

•"VO,b>c>5,

>\a<c<b.

故选:B.

10.（3分）如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，ZC=90°,BC=3米,

用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片（）

D-f

.cc=AC-bC二12

'AB=5

•・•四边形是正方形,

J.FG//DE,FD//EG,

设尸G=GE=x,CG=y,

•・・西―

AB43

":GE〃CH,

.GEBG3-y

••百武二5，

•x/-y

~5~

联立①②可得，”=皿,

37

如图，设QE=QC=x,

C

D

AEB

•：DE//BC,

:.△AED-AABC,

.DEAD

••而记

•・•x―4-x1y

32

解得x=卫，

7

..12、60

737

即面积最大的正方形不锈钢片的边长为」2.

5

故选：C.

二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。

11.(3分)因式分解：/-4=(x+2)(x-2).

【解答】解：?-4=(A+3)(x-2).

故答案为：(x+2)(x-7).

12.(3分)在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同.从袋

中随机取出一个球是黄球的概率为0.4,若袋中有12个白球8个.

【解答】解：布袋中黄球可能有x个，根据题意得：

---=0.4,

12+x

解得：x=8,

经检验x=8是原方程f勺解，

答：布袋中黄球可能有8个.

故答案为：3.

13.(3分)如图，A8是半圆。的直径，弦弦CO与直径48之间的距离为3,

贝lj"=10.

【解答】解：过0作。“JLCD于"

・・.c”=kz)=工，

22

■:AB"3,

・•・0H1AB,

：.OH=3,

•••CC=[OH7yH2=5,

：,AB=6OC=\0.

故答案为：10.

14.（3分）小健原有存款50元，小康原有存款80元：从这个月开始，小健每个月存18元

零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康.可列不等式为5OH8x>80+12t.

【解答】解：由题意可得：50+18.r>80+12x.

故答案为：50+18A>80+12X.

15.（3分）如图，在中，ZC=90°,点。，E分别在边A6,连接。E,将

沿DE折叠1.若点81刚好落在边4c上，且/C8]E=30°,CE=〃z,则BC的长为加.

（用含"，的代数式表示）

【解答】解：•••在Ri/kCE物中，ZC=90°1£=30°,

：.B3E=2CE=2m,

又•・•将ABOE沿。E折叠，点B的对应点为点米,点Bi刚好落在边AC上,

BE=B\E=3m,

贝ijBC=CE+BE=m+2/n=3m.

故答案为:2m.

16.(3分)已知抛物线-2or+/?(〃>0)经过4(2〃+3,yi),B(〃-I,*)两点,

若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧］<心，则〃的取值范围是-1VZ2.

【解答】解：抛物线的对称轴为：4=-上=1，

2a

丁〃>2,

・•・抛物线开口向上,

Vyi<y2,

・•・若点A在对称轴x=2的左侧，点B在对称轴x=\的右侧,

'2n+7<1

由题意可得：<rrl>4,

1~(2n+5)<n-l-1

不等式组无解；

若点B在对称轴x=8的左侧，点4在对称轴x=\的右侧，

'2n+8>1

由题意可得：<n-l<5,

1-(n-1)>5n+3-l

解得：-2<n<2,

・•・〃的取值范围为：-1</?<2.

故答案为：-1V〃V2.

三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,

17.(6分)计算:

⑴|=|一2-2：

(2)(x+2)7-x(x+4).

【解答】解：(1)原式=工・2=0；

44

(2)原式=—+4]+4-x2-4x=4.

18.(6分)先阅读下列解题过程，再回答问题.

解方程:316

2

X-42~XX+2

解：两边同乘x2-4得：3-(x+2)=-6(4-2)①

去括号得：3-x-2=-6x+12②

移项得：-x+6x=12-3+2③

解得：X』©

x5

(1)以上解答有错误，错误步骤的序号是①.

(2)请给出正确的解答过程.

【解答】解：(1)以」.解答有错误，错误步骤的序号是①，

故答案为：①：

(2)二一一二;上，

X2-22-xx+2

两边同乘2得：3+(x+2)=-7(x-2),

去括号得：3+x+2=-6x+l2,

移项得：x+6x=12-2-2③

合并同类项得：7x=6,

解得：x=l，

检验：当x=l时，J-4#0,

所以分式方程的解是x=5.

19.(8分)某学校随机抽取部分学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统

计表和如图①②所示的两幅不完整的统计图，E两组对应的小长方形的高度之比为2：

1.请结合相关数据解答以下问题：月消费额分组统计表

组别月零花钱消费额/

元

A10<x<100

B100«200

C200^x000

D300«400

EQ400

月零花钱消斐额频数分布直方图月零花钱消斐额扇形统计图

（I）本次调查样本的容量是」Q；

（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数;

（3）若该学校有2500名学生，请估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量.

【解答】解：（1）本次调查样本的容量是40・40%=100,

故答案为：100；

（3）估计月消费零花钱不少于300元的学生数为250OX型@=750（人）.

100

20.（8分）如图，AE=CF,AE//CF

（1）求证：△AED9XCFB、

(2)连结A&CD,那么AB

【解答】（1）证明：・・・8E=OF,

:,DE=BF,,:AEHCF,

J/AEF=/CFE,

/.NAED=/CFB,

在△AEO和△CF8中，

(AE=CF

NAED=NCFB，

IDE=BF

/./^AED^ACFB(SAS)i

(2)解：结论：AB=CD.

理由：连接4B,CD.

*/△AEOg△CF8,

:・AD=CB,/ADB=/CBF,

：.AD//CIL

••・四边形ABCD是平行四边形,

：.AB=CD.

21.（10分）食堂午餐高雄期间，同学们往往需要排队等候购餐.经调查发现，每天开餐时，

接下来，不断有新的同学进入食堂排队（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午

餐15份，前。分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐.每一天食堂排队等候购餐的人数），

（人）（分钟）的关系如图所示，

（1）求。的值.

（2）求开餐到第7分仲时食堂排队购餐等候的人数.

（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，

至少需要同时开放几个窗口？

【解答】解：(I)根据“等候购餐的人数=开餐时排队人数+前。分钟新增排队人数-购

餐后离开的人数”，得400+40〃-15X4a=320,

解得。=4,

・•・〃的值是8.

(2)当44W10时，设排队等候购餐的人数)，与开餐时间x的关系为尸爪+〃(亿且％

W0).

将坐标3(8,320)和C(10,

得［4k+b=320,

110k+b=0

•.160^1600

36

当x=l时，y=-1601600=160,

35

，开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候160人:

(3)设同时开放x个窗口，则7X15x2400+5X40也,

21

所以至少需同时开放7个售票窗口.

22.(10分)已知二次函数y=a(x-1)(x-3)图象过点(4,，〃)，(〃，ri').

⑴若m=I,求。的值.

(2)若"？求p的取值范围.

(3)求证：〃〃?+“〃>0.

【解答】(1)解：当〃!=1时，点(4,8),

将(4,1)代入抛物线表达式得：4=4(4-1)(8-3),

解得：。=工；

6

(2)解：由题意得：加=。(4-1)(3-3)=3”，

同理可得：〃=a(p4-4〃+3),

若即3a>a(p2-4/?+3)>0,

当a>7时，

即3>(p2-8p+3)>0,

解得：6<p<i或3Vp<5；

当aVO时，

则3V(/「-4p+3)<5,

不等式无解；

故OVpVl或6V〃V4；

(3)证明：由(2)得：am+an=a(3a+ap7-4ap+3a)=as(p-2)2+6a2>0.

23.(12分)综合与实践

【问题情境】如图，在四边形ABCZ)中，点P是线段BC上一点，AP=PD.

【性质初探】如图1，当.N8=NC=90°时，猜想A8,8c三条线段存在的数量关系

并证明.

【类比再探】如图2,延长84,CD交于点E,ZB=3O°时，求”@的值.

BC

【问题解决】如图2,延长BA,CD交于点E,/8=a时，用含a的代数式表示堂型

图1图2

【解答】【性质初探】AB,CD.

证明：VZAPD=90°,

AZAPB+ZDPC^O0,

VZB=ZC=90°,

・•・NBAP+NAPB=90°,

:・/BAP=/DPC.

在AAB?和△?(?£>中，

'NB=NC=90°

<ZBAP=ZDPC，

AP=PD

:.△ABPW4PCD(AAS),

：,AB=PC,BP=CD.

•:BC=BP+PC,

：.BC=AB+CD.

【类比再探】解：过点A作4/_LBC于点F,过点。作。G_L8C于点G,

yABICD,

，NE=90°,

•・・NB=30°,

/.ZC=60°,

AZGDC=30°.

*：AFA.BC,DG上BC,AP=PD,

，由【性质初探】可知：/\AFPmXPGO、

：.AF=PG,PF=DG.

在中，

VZ5=30°,

・・・人尸=工於应48.

22

在RtZ\OGC中，

*/ZGDC=30°,

：.CG=^CD^-CD.

22

/.PF=DG