2017年数学高考题分类解析考点46 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差

高考试题分类解析PAGE考点48离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差选择题1.(2017·全国甲卷文·T11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A. B.QUOTE15 C.QUOTE310 D.QUOTE25【命题意图】基本事件和概率,意在考查学生的逻辑思维能力和运算能力.【解析】选D.如表所示,表中的点横坐标表示第一次取到的数,纵坐标表示第二次取到的数123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)总计有25种情况,满足条件的有10种,所以所求概率为=.2.(2017·浙江高考·T8)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<QUOTE12,则()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)【命题意图】本题主要考查随机变量及其分布,意在考查学生对两点分布中的随机变量的均值和方差的计算能力.【解析】选A.根据已知得ξi(i=1,2)服从两点分布,由两点分布的均值和方差知E(ξi)=pi,D(ξi)=pi(1-pi),因为0<p1<p2<QUOTE12,所以E(ξ1)=p1<p2=E(ξ2),D(ξ1)-D(ξ2)=p1-QUOTEp12-(p2-QUOTEp22)=(p1-p2)QUOTE1-(p1+p2),已知p1<p2,p1+p2<1,所以D(ξ1)-D(ξ2)<0,即D(ξ1)<D(ξ2).二、简答题1.(2017·天津高考理科·T16)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为QUOTE12,QUOTE13,QUOTE14.(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【命题意图】本题考查概率、离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.【解析】(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=QUOTE1-12×QUOTE1-13×QUOTE1-14=QUOTE14,P(X=1)=QUOTE12×QUOTE1-13×QUOTE1-14+QUOTE1-12×QUOTE13×QUOTE1-14+QUOTE1-12×QUOTE1-13×QUOTE14=QUOTE1124,P(X=2)=QUOTE1-12×QUOTE13×QUOTE14+QUOTE12×QUOTE1-13×QUOTE14+QUOTE12×QUOTE13×QUOTE1-14=QUOTE14,P(X=3)=QUOTE12×QUOTE13×QUOTE14=QUOTE124.所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)=0×QUOTE14+1×QUOTE1124+2×QUOTE14+3×QUOTE124=QUOTE1312.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=QUOTE14×QUOTE1124+QUOTE1124×QUOTE14=QUOTE1148.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为QUOTE1148.【反思总结】在(1)中,准确算出随机变量每个可能值的概率是列出分布列,求出数学期望的关键.计算随机变量每个可能值的概率时,比较琐碎、复杂,一定要耐心、细致,否则,其中有一个概率算错了,后面就全错了.2.(2017·江苏高考·T23)已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p.(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)<QUOTEn(m+n)(n-1).【命题意图】主要考查古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望的求法,突出考查考生利用数学相关知识解决实际问题的能力.【解析】(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为:p=QUOTECm+n-1n-1Cm+nn=QUOTEnm+n.(2)随机变量X的概率分布为:X……P……随机变量X的期望为:E(X)=QUOTE∑k=nm+n1k·QUOTECk-1n-1Cm+nn=QUOTE1Cm+nn∑k=nm+n1k·QUOTE(k-1)!所以E(X)<QUOTE1Cm+nn∑k=n=QUOTE1(n-1)Cm+nn∑=QUOTE1(n-1)Cm+nn(1+QUOTECn-1n-2+QUOTECnn-2+…+QUOTECm+n-2n-2)=QUOTE1(n-1)Cm+nn(QUOTECn-1n-1+QUOTECn-1n-2+QUOTECnn-2+…+QUOTECm+n-2n-2)=QUOTE1(n-1)Cm+nn(QUOTECnn-1+QUOTECnn-2+…+QUOTECm+n-2n-2)=…=QUOTE1(n-1)Cm+nn(QUOTECm+n-2n-1+QUOTECm+n-2n-2)=QUOTECm+n-1n-1(n-1)Cm+nn=QUOTEn(m+n)(n-1)所以E(X)<QUOTEn(m+n)(n-1).【反思总结】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X~B(n,p)),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.3.(2017·北京高考理科·T17)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“·”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率.(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)【命题意图】本题主要考查统计中的概率与期望方差的知识,意在培养学生的识图能力与运算能力.【解析】(1)由图可知,在50名服药患者中,有15名患者指标y的值小于60,则从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为即.(2)由图,A,C两人指标x的值大于1.7,而B,D两人则小于1.7,可知在四人中随机选出两人,ξ的可能取值为0,1,2.且p(ξ=0)=QUOTE1C42=,p(ξ=1)=QUOTEC21C21C42=p(ξ=2)==,分布列如下ξ012pE(ξ)=0×+1×QUOTE23+2×=1,即所求数学期望为1.(3)由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大.5.(2017·全国丙卷·理科·T18)(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间QUOTE20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?【解析】(1)由题意得,X的可能取值为200,300,500.根据题意,结合频数分布表,用频率估计概率可知PQUOTEX=200=QUOTE2+1690=QUOTE15,PQUOTEX=300=QUOTE3690=QUOTE25,PQUOTEX=500=QUOTE25+7+490=QUOTE25,所以六月份这种酸奶一天的需求量X的分布列为:X200300500P(2)①当200≤n≤300时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=4X-2n=800-2n,P=QUOTE15.若X=300时,则Y=QUOTE6-4n=2n,PQUOTEY=2n=,若X=500时,则Y=QUOTE6-4n=2n,PQUOTEY=2n=.所以Y的分布列为:Y800-2n2n2nP所以E(Y)=×QUOTE800-2n+×2n+×2n=n+160,所以当n=300时,E(Y)max=520(元).②当300<n≤500时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=800-2n,P(Y=800-2n)=QUOTE15.若X=300时,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=1200-2n,P(Y=1200-2n)=QUOTE25.若X=500时,则Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=.所以Y的分布列为:Y800-2n1200-2n2nP所以E(Y)=QUOTE15×(800-2n)+QUOTE25×(1200-2n)+×2n=-QUOTE25n+640<-QUOTE25×300+640=520(元).综上,当n为300瓶时,Y的数学期望达到最大值.6.(2017·山东高考理科·T18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的频率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.【命题意图】本题考查古典概型概率的求解以及随机变量期望求解,意在考查考生运算求解能力与分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的事件为M,则P(M)==