2017年数学高考题分类解析考点8 函数与方程、函数模型及其应用

高考试题分类解析PAGE考点8函数与方程、函数模型及其应用选择题1.(2017·全国丙卷·理科·T11)同(2017·全国丙卷·文科·T12)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-QUOTE12 B.QUOTE13 C.QUOTE12 D.1【命题意图】本题考查函数的零点,考查学生的运算求解和分析转化能力.【解析】选C.令f(x)=0,则x2-2x=-a(ex-1+e-x+1),设g(x)=ex-1+e-x+1,则g'(x)=ex-1-e-x+1=ex-1-=QUOTEe2(x-1)-1ex-1,当g'(x)=0时,x=1,当x<1时,g'(x)<0,函数g(x)在(-∞,1)上单调递减,当x>1时,g'(x)>0,函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,当x=1时,函数g(x)取得最小值2,设h(x)=x2-2x,当x=1时,函数h(x)取得最小值-1,若-a<0,h(1)=-ag(1)时,此时函数h(x)和-ag(x)有一个交点,即-a×2=-1⇒a=QUOTE12.【反思总结】函数的零点也是对应方程的根,也是对应函数图象的交点,通过转化求解是常用的方法.2.(2017·山东高考理科·T10)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[2QUOTE3,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,QUOTE2]∪[2QUOTE3,+∞) D.(0,QUOTE2]∪[3,+∞)【命题意图】本题考查函数与方程、以及函数的图象,意在考查学生分析问题、解决问题的能力,及数形结合的数学思想的运用.【解析】选B.函数y=(mx-1)2的图象的对称轴为x=QUOTE1m,当QUOTE1m≥1,即0<m≤1时,作出函数y=(mx-1)2与y=QUOTEx+m的图象,如图,则二者只有一个交点;当QUOTE1m<1,即m>1时,作出函数y=(mx-1)2与y=QUOTEx+m的图象,如图所示,要使二者只有一个交点,则需y=QUOTEx+m在x=1时的值小于等于y=(mx-1)2值,即m+1≤(m-1)2,解得m≥3,综上正实数m的取值范围是(0,1]∪[3,+∞).【方法点拨】已知函数图象的交点、零点或方程根的情况,求参数问题的常用的三种方法(1)直接法:直接根据条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.二、填空题3.(2017·全国丙卷·理科·T15)设函数f(x)=QUOTEx+1,x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+fQUOTEx-12>1的x的取值范围是.【命题意图】本题考查分段函数及其不等式,考查学生分类讨论的思想.【解析】由题意:令g(x)=f(x)+fQUOTEx-12=QUOTE2x+32,x≤0,2x+x+12,0<x≤12,(2+1)2x-12,x>12,函数g(x)在区间(-∞,且:gQUOTE-14=1,20+0+>1,QUOTE2+1×QUOTE20-12>1,因此x的取值范围是:QUOTE-14,+∞.答案:QUOTE-14,+∞4.(2017·江苏高考·T14)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=QUOTEx2,x∈D,x,x∉D,其中集合D=QUOTEx|x=n-1n,n∈N+,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是【命题意图】考查函数与方程问题,利用数形结合思想判断方程的零点个数,突出考查考生分析问题和解决问题的能力.【解析】由于f(x)∈[0,1),则需考虑1≤x<10的情况,在此范围内,x∈Q且xZ时,设x=QUOTEqp,p,q∈N*,p≥2,且p,q互质,若lgx∈Q,则由lgx∈(0,1),可设lgx=nm,m,n∈N*,m≥2,且m,n互质,因此QUOTEnm=QUOTEqp,则10n=QUOTEqpm,此时左边为整数,右边不是整数矛盾,因为lgx∈Q,因此lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,只需考虑lgx与每个周期x∉D的部分的交点,画出函数图象,图中交点除(1,0)外,其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x∉D的部分,且x=1处(lgx)'=QUOTE1xln10=QUOTE1ln10<1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8个.答案:8【反思总结】对于方程解的个数(