2024-2025学年湖南省衡阳市耒阳市正源学校高一下学期2月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省衡阳市耒阳市正源学校高一下学期2月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M=x1≤x≤2，N=xx<1，则A.x0<x<2 B.⌀ C.xx≤2 2.命题“∀x∈R，x2+3x−1≥0”的否定是(

)A.∃x∈R，x2+3x−1<0 B.∃x∈R，x2+3x−1≥0

C.∃x∈R，x23.若关于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0解集为R，则实数m满足(

)A.m≤−2或m≥2 B.−2<m<2

C.m<−2或m>2 D.−2≤m≤24.函数f(x)=1−x2,      x⩽1,x2A.1516 B.−2716 C.85.若a>0，b>0，则ba2+4A.2 B.2 C.226.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足CF=2FB，那么EF=(

)

A.12AB−13AD B.17.有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是(

)A.35 B.310 C.458.平行四边形ABCD中，F为AD边上的中点，连接BF交AC于点Q，若AQ=λAB+μAD，则A.1 B.56 C.13 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中，正确的是(

)A.在▵ABC中，若A>B，则sinA>sinB

B.在锐角▵ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在▵ABC中，若acosA=bcosB，则▵ABC必是等腰直角三角形

10.已知数据x1，x2，…，x60的平均数为a，方差为b，中位数为c，极差为d.由这组数据得到新数据y1，y2，…，y60A.新数据的平均数是2a+1 B.新数据的方差是4b

C.新数据的中位数是2c D.新数据的极差是2d11.若0<x1<xA.logx1logx1x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设a，b为单位向量，且|a+b|=1，则|13.已知向量a=(1,−2)，b=(3,1)，则a在b方向上的投影为

．14.若关于x的不等式−x2+(a+2)x−2a>0恰有1个正整数解，则a的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知向量，满足，a=1，|b⇀|=2，且与不共线．(1)若向量a+kb与ka(2)若向量与的夹角为60∘，求2a+b与a⇀16.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AD=PD．

(1)求证：AC⊥平面PBD；(2)求平面APB的一个法向量．17.(本小题12分)已知▵ABC中∠C是直角，CA=CB，点D是CB的中点，E为AB上一点．

(1)设CA=a，CD=b，当AE=12AB，请用(2)当AE=2EB时，求证：AD⊥CE18.(本小题12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．(1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率；(2)若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，这样规定公平吗？请说明理由．19.(本小题12分)农田节水灌溉的目的是节约水资源､土地资源，节省时间和劳动力，提高灌溉质量和灌溉效率，提高农作物产量和质量，实现增产增效.如图，等腰梯形ABCD是一片农田，为了实现节水灌溉，BC为农田与河流分界的部分河坝，BC长为800米，∠B=75°.现在边界BC上选择一点Q，修建两条小水渠QE，QF，其中E，F分别在边界AB，DC上，且小水渠QE，QF与边界BC的夹角都是60°．(1)探究小水渠QE，QF的长度之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．(2)为实现高效灌溉，现准备在区域AEQFD内再修建一条小水渠EF，试问当点Q在何处时，三条小水渠(QE,QF,EF)的长度之和最小，最小值为多少？

参考答案1.C

2.A

3.D

4.C

5.C

6.C

7.B

8.D

9.ABD

10.ABD

11.AD

12.313.1014.[0,1)∪(3,4]

15.解：(1)因为向量a+kb与所以存在实数λ<0，使得a+kb=λka所以1=kλk=2λ，解得：λ=−22k=−所以实数k的值为−(2)因为向量与的夹角为60∘，a=1，|所以a⋅2a2aa−所以cosθ=因为0∘≤θ≤180

16.解：(1)因为底面ABCD为正方形，故AC⊥BD；PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故PD⊥AC，PD∩BD=D,PD,BD⊂平面PBD，故AC⊥平面PBD；(2)以D为坐标原点，以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设AD=PD=1，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1)，故AP=设平面APB的一个法向量为n=则AP⋅n=0AB⋅n=0故平面APB的一个法向量为n=

17.解：(1)∵CA=a，CD→=∴CB∴AB=CB−CA=2(2)以C点为坐标原点，以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，

设A0,a，

∴B点坐标为a,0，另设点E坐标为x,y，

∵点D是CB∴点D坐标为a2又∵AE=2EB，

∴(x,y−a)=2(a−x,−y)，

∴x=∴AD=(a∴AD∴AD⊥CE．

18.解：由题意，设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y．用(x,y)表示抽取结果，可得(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，则所有可能的结果有16种，(1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}，事件A由4个基本事件组成，故所求概率P(A)=4(2)设“甲获胜”为事件B，“乙获胜”为事件C，则B=(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)，C={(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(2,4),(3,4)}可得P(B)=P(C)=6即甲获胜的概率是38，乙获胜的概率也是3

19.解：(1)在