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阶段拔尖专训5圆中常见的作辅助线的方法1．如图，四边形ADFE和四边形BCDG都为正方形，且点F，D，C在半圆O的直径上，点E，A，B在半圆O的圆弧上，若小正方形的边长为4，求该半圆的半径．∵OE＝OA，∴OD＝OF.设OD＝x，则AD＝DF＝2OD＝2x.∵四边形BCDG为正方形，且边长为4，∴DC＝4，∠BCO＝90°，∴OC＝OD＋DC＝x＋4.在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2＝x2＋(2x)2＝5x2，2．如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DEF＝50°.求∠A的大小．【解】如图，连接ID，IF，∵∠DEF＝50°，∴∠DIF＝2∠DEF＝100°.∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB，CA分别相切于点D，F，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠ADI＝∠AFI＝90°，∴∠A＋∠DIF＝180°.∴∠A＝180°－∠DIF＝180°－100°＝80°.即∠A的大小为80°.3．[2024亳州一模]如图，OA是⊙O的半径，过点A作⊙O的切线AB，OC∥AB，∠OBC＝∠OBA.(1)求证：BC是⊙O的切线；【证明】如图，过点O作OE⊥BC于点E，∵AB为⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AB.(2)若OC＝3AB，求cosC的值．4．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；【证明】如图，过点D作⊙O的直径DE，连接AE，EC，AC.∵DE是⊙O的直径，∴∠ECD＝∠EAD＝90°.∴EC⊥CD.(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．5．如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝105°，则∠α的度数为(

)A．150°B．130°C．105°

D．75°【点拨】如图，在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，

∵四边形ACBD内接于⊙O，∠ACB＝105°，∴∠ADB＝180°－∠ACB＝180°－105°＝75°，∴∠AOB＝2∠ADB＝2×75°＝150°.【答案】A6．[2024合肥庐阳区二模]如图，已知△ABC，以AB为直径作⊙O交BC于点F，过点F作⊙O的切线FE交AC于点E，交AB延长线于点D，DE⊥AC.(1)求证：F是BC的中点；7．如图①，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D，并与⊙O交于点E.(1)求证：CD是⊙O的切线；【证明】如图①，连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)若DE＝8，DC＝12，求⊙O的

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