离散数学函数

关于离散数学函数第1页，共138页，星期日，2025年，2月5日第一节函数的基本概念一、函数的定义二、特种函数第2页，共138页，星期日，2025年，2月5日一、函数的定义1、函数2、函数的定义域3、函数的值域4、陪域5、函数相等6、函数的图和矩阵表示7、缩小和扩大(略)第3页，共138页，星期日，2025年，2月5日1、函数函数是满足任意性和唯一性的二元关系。f:X→Y对任意的x

X都存在唯一的y

Y<x，y>

fy=f(x)，任意性唯一性函数映射原像像点第4页，共138页，星期日，2025年，2月5日函数举例设X={x1,x2,x3,x4},Y={y1,y2,y3}判断下列关系是否是函数？f1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x2,y3>,<x3,y1>,<x4,y3>}f2={<x1,y1>,<x2,y1>,<x3,y1>,<x4,y2>}f3={<x1,y1>,<x3,y2>,<x4,y3>}第5页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答f1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x2,y3>,<x3,y1>,<x4,y3>}不是函数。∵x2对应两个不同的像点y2和y3∴不满足唯一性。第6页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答f2={<x1,y1>,<x2,y1>,<x3,y1>,<x4,y2>}是函数满足任意性和唯一性。第7页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答f3={<x1,y1>,<x3,y2>,<x4,y3>}不是函数。∵原像x2没有像点∴不满足任意性。第8页，共138页，星期日，2025年，2月5日2、函数的定义域函数f:X→Y定义域Df第9页，共138页，星期日，2025年，2月5日3、函数的值域函数f:X→Yf(X)是f的值域由像点组成的集合Rf＝f(X)

Y第10页，共138页，星期日，2025年，2月5日4、陪域函数f:X→Y陪域第11页，共138页，星期日，2025年，2月5日定义域、值域及陪域举例f:X→YX={x1,x2,x3,x4},Y={y1,y2,y3,y4,y5,y6}第12页，共138页，星期日，2025年，2月5日函数举例判断下列关系中哪个能构成函数？(1)f1={<x1,x2>|x1,x2

N,x1+x2<10}(2)f2={<x1,x2>|x1,x2R,x22=x1}(3)f3={<x1,x2>|x1

N,x2为非负整数,x2为小于等于x1的素数的个数}第13页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答(1)f1={<x1,x2>|x1,x2

N,x1+x2<10}不能构成函数。(1)不满足任意性:Df={1,2,3,4,5,6,7,8}≠N(2)不满足唯一性：f1(1)=1,f1(1)=2,…f1(1)=8第14页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答(2)f2={<x1,x2>|x1,x2R,x22=x1}不能构成函数。(1)不满足任意性:Df=R+≠R(2)不满足唯一性：一个x1对应两个不同的x2例如：22=4,(-2)2=4第15页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答(3)f3={<x1,x2>|x1

N,x2为非负整数,x2为小于等于x1的素数的个数}能构成函数。满足任意性和唯一性：对于任意的一个自然数x1，小于x1的素数个数是唯一的。例如:f3(1)=0:小于1的素数不存在；

f3(2)=1:小于2的素数有1个：1

f3(3)=2:小于3的素数有2个：1,2

f3(4)=3:小于3的素数有3个：1,2,3第16页，共138页，星期日，2025年，2月5日5、函数相等函数f和函数g相等函数f:A→B，g:C→DA=CB=D对所有x∈A和x∈C都有f(x)=g(x)f=g第17页，共138页，星期日，2025年，2月5日函数相等举例设f:A→B,g:C→D,h:E→FA=C=E={1,2,3},B=D={a,b,c},F={a,b,c,d}f(1)=a,f(2)=a,f(3)=ch(1)=a,h(2)=a,h(3)=cg(1)=a,g(2)=a,g(3)=cf=gf≠hB≠Fg≠hD≠F第18页，共138页，星期日，2025年，2月5日6、函数的图和矩阵表示图Gf：f(x)=y<x,y>∈f从x有一条到y的有向弧矩阵Mf：每一行有且仅有一个元素为“1”。化简的Mf：二列矩阵第一列：Df第二列：Rf第19页，共138页，星期日，2025年，2月5日函数的图和矩阵表示举例X={a,b,c,d,e}Y={α,β,γ,δ,ε}f={<a,α>,<b,γ>,<c,γ>,<d,ε>,<e,β>}求：Df、Rf、Gf、Mf、简化的MfDf=X={a,b,c,d,e}Rf={α,β,γ,ε}

Y第20页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答X={a,b,c,d,e}Y={α,β,γ,δ,ε}f={<a,α>,<b,γ>,<c,γ>,<d,ε>,<e,β>}第21页，共138页，星期日，2025年，2月5日举例X={a,b,c}Y={0,1}问：存在多少个从X到Y的二元关系？存在多少个从X到Y的函数？第22页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答X

Y={<a,0>,<a,1>,<b,0>,<b,1>,<c,0>,<c,1>}|X

Y|=6关系是笛卡尔乘积的子集|ρ(X

Y)|=26结论：存在26个从X到Y的二元关系第23页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答函数是满足任意性和唯一性的二元关系结论：存在|Y||X|=23个从X到Y的函数。第24页，共138页，星期日，2025年，2月5日结论则: |BA|=|B||A|BA:从A到B的所有可能的函数的集合BA={f|f:A→B}第25页，共138页，星期日，2025年，2月5日7、缩小和扩大(略)f:X→YA

X(1)g:A→Yg=f∩(A

Y)称g是函数f的缩小，并记作f/A(2)若g是f的缩小，则f是g的扩大。由定义可知：Dg

Dfg

f缩小即原有的对应关系不变，但定义域缩小。第26页，共138页，星期日，2025年，2月5日缩小和扩大举例设A={-1，0，1}f:A2→B(1)写出f的全部序偶；(2)求Rf;(3)写出f/{0,1}2中的全部序偶。第27页，共138页，星期日，2025年，2月5日f的全部序偶和Rf(1)A2=A

A={-1,0,1}

{-1,0,1}={<-1,-1>,<-1,0>,<-1,1>,<0,-1>,<0,0>,<0,1>,<1,-1>,<1,0>,<1,1>}f(<-1,-1>)=0,f(<-1,0>)=-1,f(<-1,1>)=-2,f(<0,-1>)=1,f(<0,0>)=0,f(<0,1>)=-1f(<1,-1>)=2,f(<1,0>)=1,f(<1,1>)=0f={<<-1,-1>,0>,<<-1,0>,-1>,<<-1,1>,-2>,<<0,-1>,1>,<<0,0>,0>,<<0,1>,-1>,<<1,-1>,2>,<<1,0>,1>,<<1,1>,0>}(2)Rf={-2,-1,0,1,2}第28页，共138页，星期日，2025年，2月5日{0,1}2

Rf中的全部序偶f/{0,1}2=f∩({0,1}2

Rf

){0,1}2={0,1}

{0,1}={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>}Rf={-2,-1,0,1,2}{0,1}2

Rf={<<0,0>,-2>,<<0,0>,-1>,<<0,0>,0>,<<0,0>,1>,<<0,0>,2>,<<0,1>,-2>,<<0,1>,-1>,<<0,1>,0>,<<0,1>,1>,<<0,1>,2>,<<1,0>,-2>,<<1,0>,-1>,<<1,0>,0>,<<1,0>,1>,<<1,0>,2>,<<1,1>,-2>,<<1,1>,-1>,<<1,1>,0>,<<1,1>,1>,<<1,1>,2>}第29页，共138页，星期日，2025年，2月5日f/{0,1}2中的全部序偶f/{0,1}2=f∩({0,1}2

Rf

)={<<-1,-1>,0>,<<-1,0>,-1>,<<-1,1>,-2>,<<0,-1>,1>,

<<0,0>,0>,<<0,1>,-1>,<<1,-1>,2>,<<1,0>,1>,<<1,1>,0>}

∩{<<0,0>,-2>,<<0,0>,-1>,<<0,0>,0>,<<0,0>,1>,<<0,0>,2>,<<0,1>,-2>,<<0,1>,-1>,<<0,1>,0>,<<0,1>,1>,<<0,1>,2>,<<1,0>,-2>,<<1,0>,-1>,

<<1,0>,0>,<<1,0>,1>,<<1,0>,2>,<<1,1>,-2>,<<1,1>,-1>,<<1,1>,0>,<<1,1>,1>,<<1,1>,2>}={<<0,0>,0>,<<0,1>,-1>,<<1,0>,1>,<<1,1>,0>}第30页，共138页，星期日，2025年，2月5日缩小的举例X={a1,a2,a3,x4,x5}Y={y1,y2,y3,y4,y5}A={a1,a2,a3}f={<a1,y1>,<a2,y2>,<a3,y5>,<x4,y4>,<x5,y3>}求：f/A第31页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答f/A={<a1,y1>,<a2,y2>,<a3,y5>}第32页，共138页，星期日，2025年，2月5日二、特种关系1、满射函数2、内射函数3、单射函数4、双射函数5、恒等函数第33页，共138页，星期日，2025年，2月5日1、满射函数函数f:X→Y若f(X)=Rf=Y值域＝陪域f是滿射函数映满的映射f是滿射函数对任意的y

Y，在X中必有原像x与之对应f(x)=y像点的集合第34页，共138页，星期日，2025年，2月5日满射举例A={a,b,c,d}B={1,2,3}f:A→Bf(a)=f(b)=1,f(c)=3,f(d)=2∵Rf={1,2,3}=B∴f是满射函数。第35页，共138页，星期日，2025年，2月5日2、内射函数函数f:X→Y若Rf

Yf是内射函数映入的映射第36页，共138页，星期日，2025年，2月5日3、单射函数函数f:X→Y对任意x1，x2∈Xx1≠x2f(x1)≠f(x2)如果原像不同,则像点不同或f(x1)=f(x2)X1=x2如果像点相同,则原像相同则f是单射函数一对一的映射第37页，共138页，星期日，2025年，2月5日内射、单射举例A={a,b}B={2,4,6}f:A→Bf(a)=2,f(b)=4∵Rf={2,4}

B∴f是内射函数且f也是单射函数。第38页，共138页，星期日，2025年，2月5日4、双射函数函数f:X→Yf是满射的f是单射的f是双射函数一对一映满的映射第39页，共138页，星期日，2025年，2月5日5、恒等函数函数Ix:X→X对于所有的x∈X:Ix={<x,x>|x∈X}恒等函数双射函数第40页，共138页，星期日，2025年，2月5日特种函数举例(1)f1(x)=x2(2)f2(x)=2x(3)f3(x)=x3(4)f4(x)=x3-x2-5x+6问以上4个函数各是什么函数？第41页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答(1)f1(x)=x2∴f1不是满射函数；∵f1(x)=f1(–x)=x2∴f1不是单射函数；∵Rf1为正实数集合，不是实数集合第42页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答(2)f2(x)=2x不是满射函数。是单射函数第43页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答(3)f3(x)=x3是单射函数是满射函数是双射函数第44页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答(4)f4(x)=x3-x2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3)是满射函数不是单射函数第45页，共138页，星期日，2025年，2月5日第二节函数的合成和合成函数的性质一、合成函数的定义二、反函数第46页，共138页，星期日，2025年，2月5日一、合成函数的定义函数f:X→Y函数g:Y→Zg◦f={<x,z>|x∈X∧z∈Z∧(

y)(y∈Y∧y=f(x)∧z=g(y))}f和g的合成函数复合函数函数f和g合成的书写格式:关系R和S合成的书写格式:R◦Sg◦f从左到右从右到左<x,y>∈f<y,z>∈g第47页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理函数f:X→Y函数g:Y→Zg◦f:X→Z是函数(g◦f)(x)=g(f(x))x

X第48页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明显然g◦f是从X到Z的关系(1)任意性：f是函数:对任意的x

X存在yY，使得<x,y>fg是函数:对任意的y

Y存在zZ，使得<y,z>g<x,y>f<y,z>g<x,z>g◦f由复合关系的定义：对于每一个x

X，都存在Z中的某个像点z与之对应Dg◦f＝X第49页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明（续）(2)唯一性：<x,z1>

g◦f<x,z2>

g◦f假设且z1

≠z2<x,z1>

g◦f存在y1Y<x,y1>

f<y1,z1>

g<x,z2>

g◦f存在y2Y<x,y2>

f<y2,z2>

gy1

＝y2＝yz1

＝z2＝z第50页，共138页，星期日，2025年，2月5日合成函数举例设X={1,2,3},Y={p,q},Z={a,b},f={<1,p>,<2,p>,<3,q>},g={<p,b>,<q,b>}求g◦f。g◦f={<1,b>,<2,b>,<3,b>}第51页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理函数的合成运算是可结合的，即：h◦(g◦f)=(h◦g)◦ff:X→Yg:Y→Zh:Z→W第52页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明设：<x,y>f，<y,z>g，<z,w>h<x,y>f<y,z>g<x,z>g◦f<z,w>h<x,w>h◦(g◦f)<y,z>g<z,w>h<y,w>h◦g<x,y>f<x,w>(h◦g)◦f<x,w>是任意的h◦(g◦f)=(h◦g)◦f第53页，共138页，星期日，2025年，2月5日合成函数满足结合律的图解表示fghg◦fh◦gh◦(g◦f)(h◦g)◦f第54页，共138页，星期日，2025年，2月5日合成函数举例设R为实数集合,对x∈R有：f(x)=x+2,g(x)=2x,h(x)=3x;求g◦f，h◦(g◦f)，f◦f，g◦g，f◦g，(h◦g)◦f第55页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答合成函数不满足交换律g◦f(x)=g(f(x))=g(x+2)=2(x+2)h◦(g◦f)(x)=h(g◦f(x))=h(2(x+2))=6(x+2)f◦f(x)=f(f(x))=f(x+2)=(x+2)+2=x+4g◦g(x)=g(g(x))=g(2x)=4xf◦g(x)=f(g(x))=f(2x)=2x+2=2(x+1)(h◦g)◦f(x)=(h◦g)(f(x))=(h◦g)(x+2)=6(x+2)h◦g(x)=h(g(x))=h(2x)=6x合成函数满足结合律第56页，共138页，星期日，2025年，2月5日函数合成运算结合律的推广f1:X1→X2,f2:X2→X3,…,fn:Xn→Xn+1fn◦fn-1◦…◦f2◦f1:X1→Xn+1若：f1=f2=…=fn

X1=X2=…=Xn+1，则：fn=f◦f◦f◦…◦f:X→X第57页，共138页，星期日，2025年，2月5日等幂函数函数f:X→Xf2=ff◦f等幂函数第58页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理 设函数f:X→Y,g:Y→Z,g◦f是一个复合函数，则：(1)若g和f是满射的,则g◦f是满射的.(2)若g和f是单射的,则g◦f是单射的.(3)若g和f是双射的,则g◦f是双射的.第59页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明（1）对于任意的z∈Z存在x∈X,使得：<x,z>∈g◦f对于任意的z∈Zg是满射的存在一个y∈Y，使得g(y)=zf是满射的对于y∈Y，必有x∈X，使得f(x)=yz=g(y)=g(f(x))=g◦f(x)<x,z>∈g◦fg◦f是满射函数第60页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明（2）x1≠x2

g◦f(x1)≠g◦f(x2)x1≠x2

f是单射的f(x1)≠f(x2)y1≠y2g是单射的g(y1)≠g(y2)g(f(x1))≠g(f(x2))g◦f(x1)≠g◦f(x2)g◦f是单射的第61页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理 设函数f:X→Y,g:Y→Z,g◦f是一个复合函数，则：(1)若g◦f是满射的,则g是满射的.(2)若g◦f是单射的,则f是单射的.(3)若g◦f是双射的,则g是满射的，f是单射的.第62页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明（2）x1≠x2

f(x1)≠f(x2)x1≠x2

g◦f是单射的g◦f(x1)≠g◦f(x2)g(f(x1))≠g(f(x2))g(y1)≠g(y2)函数的唯一性y1≠y2f(x1)≠f(x2)f是单射的第63页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理设函数f:X→Y,IX是X上的恒等函数，IY是Y上的恒等函数，则

f=f◦IX=IY◦f第64页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明设:x

Xy

YIX(x)=xIY(y)=yf◦IX

(x)=f(IX

(x))=f(x)f◦IX=fIY◦f(x)=IY

(f(x))=f(x)IY◦f=f第65页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理函数f:X→Y

f-1:f的逆关系，则：f-1是从Y到X的函数

f是双射函数第66页，共138页，星期日，2025年，2月5日举例:f不是满射函数设函数f:X→YX={a,b,c}Y={1,2,3,4}f={<a,1>,<b,2>,<c,3>}f的逆关系f-1={<1,a>,<2,b>,<3,c>}，不满足函数的任意性不是函数第67页，共138页，星期日，2025年，2月5日举例:f不是单射函数设函数f:X→YX={a,b,c}Y={1,2}f={<a,1>,<b,1>,<c,2>}f的逆关系f-1={<1,a>,<1,b>,<2,c>}，不满足唯一性不是函数第68页，共138页，星期日，2025年，2月5日2、反函数 设f:X→Y是双射函数，则:f的逆关系称f的反函数注意：只有双射函数才有反函数。f-1第69页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明(1)f:X→Y

则f-1:

Y→X假设f不是满射函数，则:与函数的任意性相矛盾RfYRf=Df-1Df-1Y第70页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明(2)假设f不是单射函数，则：x1≠x2f(x1)＝f(x2)＝yf(x1)＝yf(x2)＝yf-1(y)＝x1f-1(y)＝x2原像像点像点与函数的唯一性相矛盾第71页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理设f:X→Y是一双射函数,则:f的反函数f-1:

Y→X也是一个双射函数。第72页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明(1)f-1是从

Y到X的函数；(2)f-1是满射函数；(3)f-1是单射函数；第73页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明：f-1是从

Y到X的函数f是双射函数f是满射函数对任意的y

Y必存在x

X<x,y>f<y,x>f-1

Df-1＝Yf-1是满足任意性的f是双射函数f是单射函数对任意的y

Y恰有一个的x

X<x,y>f仅有一个x

X<y,x>f-1f-1是满足唯一性的第74页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明：

f-1是满射函数∵Rf-1=∴f-1是满射函数Df=X第75页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明：f-1是单射函数假设f-1不是单射函数，即：y1≠y2但是有

f-1(y1)＝f-1(y2)

f是函数f-1(y1)＝x1f-1(y2)＝x2x1

＝x2

f(x1)＝f(x2)

y1＝y2与假设相矛盾∴f-1是单射函数第76页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理若f:X→Y是双射函数,则(f-1)-1=f。证明：对任意的<x,y>

(f-1)-1

<y,x>

f-1

<x,y>

f∴(f-1)-1=f第77页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理函数f:X→Y反函数f-1:Y→Xf-1◦f=IXf◦f-1=IY证明：设f(x)=yf-1(y)=xf-1◦f(x)=f-1(f(x))=f-1(y)=x∴f-1◦f=IXf◦f-1

(y)=f(f-1

(y))=f(x)=y∴

f◦f-1=IY第78页，共138页，星期日，2025年，2月5日举例f:X→YX={0,1,2}Y={a,b,c}f={<0,c>,<1,a>,<2,b>}求：f-1◦f，f◦f-1第79页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答f-1={<c,0>,<a,1>,<b,2>}(f-1◦f)(0)=f-1(f(0))=f-1(c)=0(f-1◦f)(1)=f-1(f(1))=f-1(a)=1(f-1◦f)(2)=f-1(f(2))=f-1(b)=2∴

f-1◦f={<0,0>,<1,1>,<2,2>}=IX

第80页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答(f◦f-1)(a)=f

(f-1(a))=f(1)=a(f◦f-1)(b)=f

(f-1(b))=f(2)=b(f◦f-1)(c)=f

(f-1(c))=f(0)=c∴

f◦f-1={<a,a>,<b,b>,<c,c>}=IYf-1={<c,0>,<a,1>,<b,2>}第81页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理f:X→Yg:Y→Z(g◦f)-1=双射函数◦g-1f-1第82页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明f:X→Yg:Y→Zg◦f:X→Z(g◦f)-1:Z→X对任意的<z,x>

(g◦f)-1

<x,z>

g◦f(y)(yY∧<x,y>f∧<y,z>g)(y)(yY∧<y,x>f-1∧<z,y>g-1)(y)(yY∧<z,y>g-1∧<y,x>f-1)

<z,x>

f-1◦g-1第83页，共138页，星期日，2025年，2月5日举例X={1,2,3}FX:从X到X上的所有双射函数组成的集合求：FX的所有函数及其反函数。第84页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}=IXf2={<1,1>,<2,3>,<3,2>}f3={<1,2>,<2,1>,<3,3>}f4={<1,3>,<2,2>,<3,1>}f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}∴FX={f1,f2,f3,f4,f5,f6}f1-1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}=f1f2-1={<1,1>,<2,3>,<3,2>}=f2f3-1={<1,2>,<2,1>,<3,3>}=f3f4-1={<1,3>,<2,2>,<3,1>}=f4f5-1={<2,1>,<3,2>,<1,3>}=f6f6-1={<3,1>,<1,2>,<2,3>}=f5第85页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答(续)◦f1f2f3f4f5f6f1f1f2f3f4f5f6f2f2f1f6f5f4f3f3f3f5f1f6f2f4f4f4f6f5f1f3f2f5f5f3f4f2f6f1f6f6f4f2f3f1f5若|X|＝n,则X上双射函数的个数为n!f3

◦f2={<1,2>,<2,3>,<3,1>}=f5第86页，共138页，星期日，2025年，2月5日举例|X|=m|Y|=n问：存在满射函数、单射函数、双射函数的必要条件是什么？m≥nm≤nm=n第87页，共138页，星期日，2025年，2月5日第三节二元运算一、基本概念二、二元运算的性质三、二元运算中的特异元素第88页，共138页，星期日，2025年，2月5日一、基本概念1、二元运算2、n元运算3、二元运算的封闭性第89页，共138页，星期日，2025年，2月5日1、二元运算X:集合f:X2→X的映射f为X中的二元运算解释：一个运算符联系着两个运算分量f(<x,y>)=z 运算符运算分量运算分量运算结果xfy=zx,y,z∈Xz∈X封闭性第90页，共138页，星期日，2025年，2月5日2、n元运算X:集合f:Xn→X的映射f为X中的n元运算运算的阶<x1,x2,…,xn>f=xx1,x2,…,xn,x

X第91页，共138页，星期日，2025年，2月5日3、二元运算的封闭性注意：任意一个二元运算必须满足封闭性A:集合f:A2→B的映射B

A二元运算是封闭的第92页，共138页，星期日，2025年，2月5日二元运算举例设A={x|x=2n,nN}问：乘法运算是否封闭？对加法运算呢？乘法运算：对于任意的2r、2s

A2r

2s=2r+s

A∴乘法运算在A上封闭；加法运算：21+22=6

A∴加法运算在A上不封闭；第93页，共138页，星期日，2025年，2月5日举例判断乘法运算是否在下列各N的子集上封闭？(1)A1={0,1}(2)A2={1,2}(3)A3={x|x为素数}(4)A4={x|x为偶数}(5)A5={x|x为奇数}√×√√×2

2=4

A22

3=6A3第94页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理*:X中的二元运算S1

XS2

X*在S1和S2上是封闭的*在S1∩S2上也封闭第95页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明对任意的两个元素x,y

S1∩S2

x,y

S1∧x,y

S2*在S1和S2上封闭

x*y

S1∧x*y

S2

x*y

S1∩S2

*在S1∩S2上也封闭第96页，共138页，星期日，2025年，2月5日二、二元运算的性质1、封闭性（通性）2、交换性3、可结合性4、可分配性5、吸收律第97页，共138页，星期日，2025年，2月5日1、封闭性（通性）*:X中的二元运算对于任意的x,y∈Xx*y∈X在集合X上满足封闭性第98页，共138页，星期日，2025年，2月5日2、交换性*:X中的二元运算对于任意的x,y∈Xx*y=y*x*运算是可交换的第99页，共138页，星期日，2025年，2月5日3、可结合性*:X中的二元运算对于任意的x,y,z∈Xx*y*z=x*(y*z)=(x*y)*z*运算是可结合的第100页，共138页，星期日，2025年，2月5日二元运算性质举例 设Q是有理数集合，Q上的二元运算定义为：

a*b=a+b-ab a,b∈Q问*是否可交换？可结合？第101页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答(1)交换性：b*a=b+a-ba=a+b-ab=a*b∴*运算满足交换律第102页，共138页，星期日，2025年，2月5日(2)结合性：a*(b*c)=a*(b+c-bc)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a+b+c-ab-ac-bc+abc(a*b)*c=(a+b-ab)*c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=a+b+c-ab-ac-bc+abc=a*(b*c)∴*运算满足结合律解答第103页，共138页，星期日，2025年，2月5日二元运算性质举例 A是非空集合，*是A上的二元运算，并定义为：a*b=b,证明*是可结合的。a*(b*c)*是可结合的(a*b)*c=c=a*c=b*c=c第104页，共138页，星期日，2025年，2月5日4、可分配性*,△

:X中的二元运算对于任意的x,y,z∈Xx*(y△z)=(x*y)△(x*z)(y△z)*x=(y*x)△(z*x)*对△可分配第105页，共138页，星期日，2025年，2月5日5、吸收律*,△

:X中的可交换的二元运算对于任意的x,y∈Xx*(x△y)=x△(x*y)=xx*和△满足吸收律第106页，共138页，星期日，2025年，2月5日二元运算性质举例 在N上定义两个二元运算*和△，对任意的x,y∈N，有：

x*y=max(x,y)x△y=min(x,y)验证：*和△满足吸收律。第107页，共138页，星期日，2025年，2月5日解答x*(x△y)=x*(min(x,y))=max(x,min(x,y))=x>yx=yx<ymax(x,y)=max(x,x)=max(x,x)=xxxx△(x*y)=x△(max(x,y))=min(x,max(x,y))=x>yx=yx<ymin(x,x)=xmin(x,x)=xmin(x,y)=x*和△满足吸收律第108页，共138页，星期日，2025年，2月5日三、二元运算中的特异元素1、幺元e（左幺元el、右幺元er）2、零元θ（左零元θl、右零元θr）3、逆元（左逆元xl、右逆元xr）4、等幂元5、可约的（可消去的）6、由运算表求特异元素第109页，共138页，星期日，2025年，2月5日1、幺元e（左幺元el、右幺元er）*

:X中的二元运算(

x)(→)x∈X(

el

)(∧)el∈Xel*x=x左幺元(

x)(→)x∈X(

er

)(∧)er∈Xx*er=x右幺元第110页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理*

:X中的二元运算如果X对运算*同时存在el和erel=er=e(

x)(→)x∈X(

e)(∧)e∈Xx*e=xe*x=幺元单位元素e若存在则必唯一第111页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明(1)el=er=ex*e=e*x=xel*er

el是*的左幺元=erer是*的右幺元=el=ex*e=e*x=xx第112页，共138页，星期日，2025年，2月5日∴e是*唯一的幺元(2)幺元是唯一的证明(续)假设e′是*的另一个幺元e≠e′e*e′=ee*e′=e′e′是幺元e是幺元e=e′第113页，共138页，星期日，2025年，2月5日幺元举例 问实数集合R上的加法运算和乘法运算的幺元各是什么？实数集合R上的加法运算：幺元是0实数集合R上的乘法运算：幺元是1第114页，共138页，星期日，2025年，2月5日2、零元θ（左零元θl、右零元θr）*

:X中的二元运算(

x)(→)x∈X(

θl

)(∧)θl∈Xθl*x=θl左零元(

x)(→)x∈X(

θr

)(∧)θr∈Xx*θr=θr右零元第115页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理*

:X中的二元运算如果X对运算*同时存在θl和θrθl=θr=θ(

x)(→)x∈X(

θ)(∧)θ∈Xx*θ=θθ*x=零元θ若存在则必唯一第116页，共138页，星期日，2025年，2月5日零元举例 问实数集合R上的加法运算和乘法运算的零元各是什么？实数集合R上的加法运算：实数集合R上的乘法运算：无零元零元是0第117页，共138页，星期日，2025年，2月5日3、逆元（左逆元xl、右逆元xr）*

:X中的二元运算*运算存在幺元ex∈X(

xl)(∧)xl

∈Xexl

*x=x的左逆元左可逆的(

xr)(∧)xr

∈Xex*xr

=x的右逆元右可逆的x是左可逆的x是右可逆的x是可逆的第118页，共138页，星期日，2025年，2月5日定理*

:X中的二元运算*运算存在幺元e*运算可结合元素x∈X是可逆的xl=xr=x-1x的逆元x-1若存在则必唯一第119页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明(1)左逆元等于右逆元xl*x*xr*是可结合的=(xl*x)*xrxl*x=e=e*xr=xrxl*x*xr*是可结合的=xl*(x*xr)x*xr=e

=xl*e=xlxl=xr第120页，共138页，星期日，2025年，2月5日证明(2)xl=xr=x-1唯一幺元e的逆元是其本身，零元不可逆假设x1-1和x2-1是x的两个逆元x1-1

≠x2