数学人教版A必修1同步训练3．11方程的根与函数的零点附答案

第三章函数的应用3．1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点1．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是…()A．(0,0.5)B．(0.5,1)C．(1,1.5)D．(1.5,2)2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是()A．[0,1]B．[1,2]C．[2,3]D．[3,4]3．已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下列命题错误的是()A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点B．函数f(x)在(3,5)内无零点C．函数f(x)在(2,5)内有零点D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点4．已知y＝x2＋ax＋3有一个零点为2，则a的值是__________．课堂巩固1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝02．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是()A．1B．2C．0D．无法确定3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，－eq\f(1,2)B．0，eq\f(1,2)C．0,2D．2，－eq\f(1,2)4．方程(eq\f(1,2))x＝xeq\f(1,3)有解x0，则x0在下列哪个区间()A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)5．(2009福建泉州毕业班质检，理11)函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间()A．(eq\f(1,8)，eq\f(1,4))B．(eq\f(1,4)，eq\f(1,2))C．(eq\f(1,2)，1)D．(1,2)6．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则对于f(x)＝0的解叙述正确的序号为__________．①有三个实根②当x>1时恰有一实根③当0<x<1时恰有一实根④当－1<x<0时恰有一实根⑤当x<－1时恰有一实根7．观察下面的四个函数图象，指出在区间(－∞，0)内，方程fi(x)＝0(i＝1,2,3,4)哪个有解？请说明理由．8．已知函数f(x)＝3x－x2.问：方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？1．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则增加下列哪个条件可确定f(x)有唯一零点．()A．f(3)<0B．f(－1)>0C．函数在定义域内为增函数D．函数在定义域内为减函数2．设函数y＝x3与y＝(eq\f(1,2))x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)3．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c，x≤0，,2，x>0，))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是()A．1B．2C．3D．44．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2006x＋log2006x，则在R上方程f(x)＝0的零点个数为()A．1B．2C．3D．20065．(2008辽宁高考，理12)设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝f(eq\f(x＋3,x＋4))的所有x之和为()A．－3B．3C．－8D．86．函数f(x)＝lnx－x＋2的零点个数为__________．7．(2008湖北高考，理13)已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为__________．8．判断方程eq\f(1,x)＋1＝0在[－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]内是否有实数解，并说明理由．9．证明方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．10．判定方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.11．已知函数y＝2x2＋bx＋c在(－∞，－eq\f(3,2))上是减函数，在(－eq\f(3,2)，＋∞)上是增函数，且两个零点x1、x2满足|x1－x2|＝2，求这个二次函数的解析式．答案与解析第三章函数的应用3．1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点课前预习1．B2．B因为f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以存在一个零点x∈[1,2]．3．C4．－eq\f(7,2)由题意可知x＝2是方程x2＋ax＋3＝0的一个根，代入可得a＝－eq\f(7,2).课堂巩固1．C对于选项A，可能存在偶数个根；对于选项B，必存在但不一定唯一；选项D显然不成立．2．B∵ac<0，∴a≠0，于是判别式Δ＝b2－4ac>0，即二次函数图象与x轴相交，有2个零点．3．A∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，eq\f(a,b)＝－eq\f(1,2).令bx2－ax＝0，得x＝0，x＝eq\f(a,b)＝－eq\f(1,2).4．B令f(x)＝(eq\f(1,2))x－xeq\f(1,3).∵f(－1)＝2＋1>0，f(0)＝1－0>0，f(1)＝eq\f(1,2)－1<0，∴该函数在(0,1)内有解．5．C该函数是单调增函数，∵f(eq\f(1,2))＝－1＋1－1＝－1<0，f(1)＝0＋2－1＝1>0，∴其零点必落在(eq\f(1,2)，1)内．6.①⑤将原函数图象向上平移0.01个单位就可得到f(x)的图象．由f(x)的图象知f(x)＝0的解有三个．一个小于－1，另外两个都在(0,1)内．所以正确序号为①⑤.7．解：方程f1(x)＝0，f2(x)＝0有解．理由是观察fi(x)的图象在(－∞，0)内只有f1(x)、f2(x)与x轴有交点，所以f1(x)＝0，f2(x)＝0在(－∞，0)内有解．点评：对于任意函数y＝f(x)，如果它的图象是连续不间断的，那么它通过零点(不是二重零点)时的函数值必然变号．函数的零点分为变号零点和不变号零点两类．函数图象在变号零点处与x轴相交，在不变号零点处与x轴相切．8．解：因为f(－1)＝3－1－(－1)2＝－eq\f(2,3)<0，f(0)＝30－(0)2＝1>0，函数f(x)＝3x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．课后检测1．D根据f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，可画出函数f(x)的图象草图，由图可知f(x)在区间(1,2)上必有一零点，而题中要求f(x)只有唯一零点，因此函数在定义域内可以单调递减．2．B令g(x)＝x3－22－x，可求得g(0)<0，g(1)<0，g(2)>0，易知x0∈(1,2)．3．C由已知条件求出f(x)的解析式，再解方程确定根的情况．由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4b＋c＝c，,4－2b＋c＝－2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝2.))∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋2，x≤0，,2，x>0.))当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，即x2＋3x＋2＝0，∴x＝－1或x＝－2；当x>0时，方程为x＝2，∴方程f(x)＝x有3个解．4．C∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.∵x>0时f(x)是增函数，且x趋于0时f(x)<0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上有1个零点．又∵其图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上也有1个零点．5．C因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)＝f(eq\f(x＋3,x＋4))，只有两种情况：①x＝eq\f(x＋3,x＋4)；②x＋eq\f(x＋3,x＋4)＝0.由①知x2＋3x－3＝0，故两根之和为x1＋x2＝－3.由②知x2＋5x＋3＝0，故其两根之和为x3＋x4＝－5.因此满足条件的所有x之和为－8.6．2该函数零点的个数就是函数y＝lnx与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝lnx与y＝x－2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝lnx－x＋2有2个零点．7．∅∵f(x)＝x2＋2x＋a，∴f(bx)＝(bx)2＋2bx＋a＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2.则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＝9，,2b＝－6，,a＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,a＝2.))∴f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2＝4x2－8x＋5＝0.∵Δ＝64－80<0，∴方程f(ax＋b)＝0无实根．8．解：设函数f(x)＝eq\f(1,x)＋1是定义在非零实数集上的函数，且在(－∞，0)内是减函数，在(0，＋∞)内也是减函数．而f(－eq\f(1,2))＝－1<0，所以方程eq\f(1,x)＋1＝0在区间(－eq\f(1,2)，0)内没有实数解；又f(eq\f(1,2))＝3>0，所以方程eq\f(1,x)＋1＝0在区间(0，eq\f(1,2))内也没有实数解．9．证明：设f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0，f(0)＝－2<0，所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．10．解：设函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1，有f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1，f(2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图象是开口向上的抛物线(如图所示)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．所以方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一