高考数学精准复习专项大招4比值或作差代换含答案或解析

大招4比值或作差代换大招总结本节我们来重新审视极值点偏移问题，并给出新的解题方法，极值点偏移问题的一般形式是：已知函数的极值点为m，两相异实数b，c满足，求证或或其他关于的不等式．从代数层面来看，极值点偏移问题是条件不等式的证明：在等量条件的约束下求证关于的二元不等式．那么能否将双变量的条件不等式化为单变量的函数不等式呢？现在我们来研究极值点偏移另一处理方法：比值消元（比值代换）．比值代换一般步骤：（1）根据建立等量关系；（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数．（3）令或者，构造关于t的函数来证明．典型例题例1已知函数．（1）求函数的单调区间和极值；（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，；（3）如果，且，证明．解（1），，解得，当x变化时，的变化情况如下表：x1+0-↗极大值↘所以在内是增函数，在内是减函数．函数在处取得极大值且．（2）证明：由题意可知，得，令，即，于是，当时，，从而，又，所以，从而函数在上是增函数．又，所以时，有，即．（3）证明：方法1：①若，由（1）及，则．与矛盾．②若，由（1）及，得．与矛盾．根据①②得，不妨设，．由（2）可知，，则，所以，从而得．因为，所以，又由（1）可知函数在区间内是增函数，所以，即．方法2：由，得，化简得，不妨设，由方法1知，．令，则，，代入化简式，得，反解出，则，故要证，即证，又因为，等价于证明：，构造函数，，则，故在上单调递增，，从而也在上单调递增，．例2．已知函数有两个不同的零点，，求证：．解证明：函数有两个零点，，所以，因此，即，要证明，只要证明，即证：．不妨设，记，则，，因此只要证明，即．记，则．记，则．当时，，所以，即时，，所以，即成立，所以．例3．已知函数，a为常数．（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（2）当时，试比较与的大小；（3）若函数有两个零点、试证明．解（1）由，得：，∵函数在处的切线与轴平行，∴，即；（2）当时，，∴，当时，，单调递增时，当时，，单调递减．令，则．又∵，①当时，，即；②当时，，即；③当时，，即．（3）证明：方法1：∵函数有两个零，点，、，∴，，∴，，∴，欲证明，即证．∵，∴即证，∴原命题等价于证明，即证：．令，则，设，，∴在上单调递增，又∵，∴，∴，即．方法2：直接按换元构造新函数：，设，，则，，反解出：，，故，设，，∴在上单调递增，又∵，∴，∴，即．例4．已知函数．（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递增区间；（2）若方程有两个不相等的实数解，，证明：．解（1），∴．得：，∴令，得：，即的单调减区间为和．（2）证明：由，∴，∵，只要证，即证．不妨设，即证，令，只需证，，则在上单调递增，，即证．例5．已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）若函数有两个不同的零点，，证明：．解（1）函数，，所以，又由切线与直线垂直，可得，即，解得．此时，令，即，解得；令，即，解得，所以的增区间为，减区间为．所以，即，，即有．（2）证明：不妨设，因为，所以化简得，．可得，，要证明，，即证明，也就是．因为，即证，即，令，则，即证．令，由，故函数在上是增函数，所以，即得证．所以．自我检测1．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点，（1）求的取值范围；（2）求证：．解析：（1）令，由题意可知，在上有两个不同根，，且．∵，时，在递增，不合题意，当时，令，解得：，∴在上递增，在上递减，而时，，时，，故，解得：．（2）证明：由题意及（1）可知，即证，∵，∴，∴即证，即证．设，，则，∴在上递增，∴，∴，，令，则原不等式成立．2．已知函数．（1）若函数图象在点线方程为，求实数a，b的值；（2）若函数，求实数取值范围；（3）若函数有两个不同的极值点分别为，，求证：．解析：（1）由，得，∴切线方程为，∴，即．又，可得切点为，代入切线方程得；（2）恒成立等价于恒成立，即，设，则，当时，；当时，．∴当时，，即；（3）证明：若函数有两个不同的极值点，，即，，即且．也就是．要证，只要证．即证．不妨设，需证成立，即证．令，即证，令，则．∴在上是增函数，∴，原式得证．3．已知函数．（1）当时，若存在单调递减区间，求a的取值范围．（2）若函数有两个不同的零点，，求证：．（1）当时，，则，∵函数存在单调递减区间，∴有解．即，又∵时，∴在有解．①当时，在有解；②当时，为开口向上的抛物线，总有的解；③当时，为开口向下的抛物线，若总有的解；则需，且方程至少有一正根．此时，．综上所述，的取值范围为．（2）证明：若函数有两个不同的零点，，则设函数与轴的交点为A，B，设点A，B的坐标分别是，，则点的中点横坐标为，∵，∴，∴，，设，则，，，令，则，因为时，，所以在上单调递减．故，而，故．即．4．已知函数有两个零点．（1）求实数的取值范围；（2）设，是函数的两个零点，证明：．（1）依题意得，当时，，函数在上递减，不可能有2个零点，当时，，，即．故函数在上单调递减，在上单调递增．则由，得，即，当时，，时，，所以实数的取值范围为．综上所述：当时，函数有两个零点．（2）证明：依题意得：，不妨设，则，则，故要证，即证，也就是证明，令，则，设，则，设，，∴在上单调递增，∴，∴在递增，∴，故原不等式得证．5．已知函数（其中．（1）求函数的极值；（2）若函数有两个零点，，求a的取值范围，并证明．（其中是的导函数）（1）由得，当时，，若，；若，．故当时，在处取得的极大值，函数无极小值．（2）当时，由（1）知在处取得极大值，且当趋向于0时，趋向于负无穷大，又，有两个零点，则，解得．设，．由（1）知两零点分别在区间