高考数学精准复习专项大招3极坐标秒解圆锥曲线2（焦半径大题篇）含答案或解析

大招3 极坐标秒解圆锥曲线2（焦半径大题篇）典型例题【例1】（2021·新高考II）已知椭圆的方程为，右焦点为，且离心率为．（I）求椭圆的方程；（II）设是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：三点共线的充要条件是．【解】（I）由题意可得，椭圆的离心率，又，所以，则，故椭圆的标准方程为；（II）方法1：证明：先证明必要性，若三点共线时，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，解得，联立方程组，可得，即，所以；所以必要性成立；下面证明充分性，当时，设直线的方程为，此时圆心到直线的距离，则，联立方程组，可得，则，因为，所以，，因为直线与曲线相切，所以，则，则直线的方程为恒过焦点，故三点共线，所以充分性得证．综上所述，三点共线的充要条件是．方法2：焦长焦比体系（参数方程）经过点，不妨设倾斜角为，过作垂线，可以得到，，由公式得，，，，．【例2】（2021春·驻马店期末）已知平面内点到点的距离和到直线的距离之比为，若动点的轨迹为曲线．（I）求曲线的方程；（II）过的直线与交于两点，点的坐标为．设为坐标原点，证明：．【解】方法1：（I）到点的距离和到直线的距离之比为，，，化简得：，故所求曲线的方程为：．（II）：分三种情况讨论：1°当轴时,由椭圆对称性易知:.2°当l与轴重合时,由直线与椭圆位置关系知:.3°设l为:,k≠0,且.由，化简得：，所以，设MA,MB所在直线斜率分别为:kMA,kMB,则，此时，综上所述：。方法2:(Ⅰ)根据第二定义,焦点为F(1,0),准线为=2,离心率为。，所以。(Ⅱ)如图,过点A作AD准线,过点B作BE准线,根据第二定义因为AD∥FM∥BE，所以，所以Rt△ADM∽△BEM，，所以。例3.(2021秋·沛县月考)已知椭圆内有一点P(1,1)，F为右焦点,椭圆上的点M.(1)求|MP||MF|的最大值;(2)求|MP|+|MF|的最大值;(3)求使得|MP|+|MF|的值最小时点M的坐标.解(1)设左焦点为F'，椭圆可得a=5,b=4,c==3，则焦点坐标为F(3,0)，，由，（当且仅当M,P,F三点共线取得等号）而，则求的最小值为。(2)由|MF|+|MF'|=10,所以|MF|=10-|MF'|，|MP|+|MF|=10+|MP||MF'|≤10+|PF|,(当且仅当M,P,F'三点共线取得等号.)而|PF'|=,所以|MP|+|MF|的最大值为10+;(3)由题意可得点Р在椭圆内部,设M到椭圆的右准线l:的距离为d，由椭圆的第二定义可知d=|MF|，则|MP|+|MF|=d+|PM|，由题意可得,过P作Pl,当M为该垂线与椭圆的右交点时,所求的值最小，此时yM=1,代入椭圆方程可得，故M.例4.已知椭圆(a>b>0),过右焦点F且不与x轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点，AB的垂直平分线交x轴于点N,求的值.解方法1：设直线l的方程为：，，线段AB的中点。联立，化为，所以，所以，。所以，所以AB的垂直平分线为：。令，解得，所以。所以，所以。当时也成立。所以。方法2：设M为AB的中点，，，所以。例5.(2021秋·山东期末)已知椭圆(a>b>0)的离心率为，若与圆E:相交于M,N两点,且圆E在内的弧长为.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线,分别交椭圆于A,B、C,D,求证:为定值.解(Ⅰ)圆E:的圆心为，半径，圆E在内的弧长为，可得，即有，设M在第一象限，可得，即为，代入椭圆的方程可得，由，又，解得。(Ⅱ)方法1：证明：椭圆的方程，，上准线的方程为，上焦点为，，当直线AB的斜率为0，可得，，则；当直线的斜率存在时，设，则，又设点。联立方程组，消去y并化简得，所以，既有，将k转化为，可得，即有。综上所述，为定值。方法2：根据结论，（证明过程见结论）例6.)(2021秋·淄博期末)已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆过点的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过右焦点F作一条不与坐标轴平行的直线l,交椭圆C于A,B两点,求△AOB面积的取值范围.解：（1）因为椭圆，过点，离心率为，得，解得，所以椭圆C的标准方程。（2）方法1：设直线，联立方程组，消去x，整理得。设，，所以。又，则令，则在上单调递增，则，则，所以△AOB面积的取值范围为。方法2：设倾斜角为，诡高,因为直线l不与x轴平行，所以，。7.(2010·山东)如图,已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为,一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设Р为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为A、B和C、D.(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;(Ⅱ)设直线、的斜率分别为,证明;(Ⅲ)是否存在常数,使得|AB|+｜CD｜=|AB|·|CD|恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.解方法1：(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为,得,又2a＋2c=，所以可解得a=,c=2,所以，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点坐标为(2,0)。因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为.(Ⅱ)设点，则，所以，又点在双曲线上，所以，即，所以。(Ⅲ)假设存在常数,使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立，则由(Ⅱ)知，设直线AB的方程为,则直线CD的方程为，由方程组，消去y得：，设，则由韦达定理得，，所以，同理可得，因为|AB|+|CD|=|AB|·|CD|，所以，所以存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立。方法2：，两个倾斜角互余。(焦半径公式在高考中可采用余弦定理证明)，，。例8.(2014·新课标Ⅱ)设分别是(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且与轴垂直,直线与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;⑵若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N｜,求a,b.解（1）因为M是C上一点且与轴垂直，所以M的极坐标为c，当时，，即，若直线MN的斜率为，即，即，即，则，即，解得或（舍），即。(Ⅱ)方法1:由题意,原点O是的中点,则直线与y轴的交点D(O,2)是线段的中点，设M(c,y),(y>0)，则，即，解得，因为OD是△的中位线，所以，即，由|MN|=5|F1N｜，则，解得，即设，由题意知，则。即，即代入椭圆方程得，将代入得，解得。方法2：。例9.(2016·新课标Ⅰ)设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB｜为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线Cl,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解(Ⅰ)证明:圆即为，可得圆心A(,0),半径r=4，由BE//AC,可得，由AC=AD,可得，即为,即有EB=ED，则|EA|＋|EB｜=|EA|+|ED｜=|AD|=4，故E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，且有2a=4,即a=2,c=1,b=，则点E的轨迹方程为(y≠0);(Ⅱ)方法1：椭圆，设直线，由，设，由，可得，设，可得，则，A到PQ的距离为，，则四边形MPNQ的面积，当时，取得最小值12，又，可得，即四边形的面积的取值范围是。方法2：圆心到PQ的距离为2，，，所以，四边形MPNQ面积的取值范围是。自我检测1.(2021●陕西校级模拟)平面xOy内，动点P到点F(，0)的距离与它到直线x=2的距离之比为；(1)求动点P的轨迹方程;(2)设0为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值.1.解:(1)设P(x,y),则因为动点P到点F(,0)的距离与它到直线x=2的距离之比为,所以，化简可得动点P的轨迹方程为。(2)设点A,B的坐标分别为,其中≠0.因为OA⊥OB,所以,即,解得t=。又因为，所以。因为，且当时等号成立，所以，故线段AB长度的最小值为。2.(2021秋●原阳县校级月考)已知动点P到点F(2，0)的距离与到直线l:x=的距离之比为2.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)直线l的方程为x+y-2=0，l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长.2.解:(1)设点P的坐标为(x,y),则由题意得化简得,即为点P的轨迹C的方程。(2)将y=-x+2代入中,并化简得:，A,B两点的坐标分别为:，由韦达定理可得，所以|AB|==6.3.(2010.辽宁)设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，.(1)求椭圆C的离心率;(2)如果|AB|=，求椭圆C的方程.3.方法1：设，由题意知，。（1）直线l的方程为，其中。联立，得。解得。因为，所以，即，解得离心率。（2）因为，所以。由，得，所以，解得。故椭圆C的方程为。方法2：，所以，解得，故椭圆的方程为。4.(2010.宁夏)设分别是椭圆E:(a>b>0)的左、右焦点，过斜率为1的直线L与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率;(2)设点P(0，-1)满足|PA|=|PB|，求E的方程.4.方法1:解:(Ⅰ)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又2|AB|=|AF2|+|BF2|得.l的方程为y=x+c,其中.设,则A、B两点坐标满足方程组,化简的则因为直线AB斜率为1,，得，故，所以E的离心率。方法2：，用结论（为AB与x轴的夹角45°）所以，，，，。(Ⅱ)设AB的中点为N(),由(Ⅰ)知由|PA|=|PB|,得,即，得c=3,从而a=,b=3故椭圆E的方程为.5.(2012.江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为.已知(1，e)和(e，)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P. （Ⅰ）若，求直线的斜率；（Ⅱ）求证：是定值。5.方法1:由题设知，,由点(1,e)在椭圆上,得，所以。由点在椭圆上，得,所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）由（1）得，又因为直线与直线平行，所以与的方程分别为。设，，由，可得。所以（舍），所以①同理②由①②得，所以，解得。因为注意到，所以。所以直线的斜率。另解：设直线的方程为（t为参数，为倾斜角），代入椭圆方程，可得，可设，因为在x轴的上方，在x轴的下方，设直线交椭圆于C，则，由于对称，B、C坐标互为相反数，所以。由题意可得，解得，即有。所以直线的斜率为。证明：因为直线与直线平行，所以，即。由点B在椭圆上知，，所以。同理。所以，由①②得，，所以，所以为定值。方法2：因为，故。6.(2007●重庆)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3，0)，右准线l的方程为:x=12.(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三个不同点P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，证明:为定值，并求此定值.6.解:(Ⅰ)设椭圆方程为因焦点为F(3,0),故半焦距c=3又右准线l的方程为x=,从而由已知=12,a2=36，因此a=6,b=，故所求椭圆方程为(Ⅱ)记椭圆的右顶点为A,并设(i=1,2,3),不失一般性，假设,且，，又设点在l上的射影为，因为椭圆的离心率，从而有解得因此而，故为定值。7.(2021秋●东湖区校级期中)过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点.(1)求|AB|;(2)求三角形AOB的面积;(3)求证:.7.由双曲线的方程得，所以。所以直线AB的方程为。设，由，得。所以。所以。（2）解：直线AB的方程变形为，所以原点O到直线AB的距离为，所以三角形AOB的面积。（3）证明：如图，由双曲线的定义得，所以。8.(2021●怀化二模)已知椭圆为(a>b>0)上一点与它的左、右两个焦点F1，F2的距离之和为，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数.(1)求椭圆的方程;(2)如图，点A为椭圆上一动点(非长轴端点)，AF1的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C.①当直线AB的斜率存在时，求证:直线AB与BC的斜率之积为定值;②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程.8.解:(1)由椭圆的定义知,双曲线的离心率为，故椭圆的离心率,故a=,c=1,b=1;故椭圆的方程为;（2）方法1：①证明：设，则设直线BA的方程为，联立方程化简得，所以，，所以；②当直线AB的斜率不存在时，可知，故。当直线AB的斜率存在时，由①得，，，故，故，点C到直线AB的距离，故，故面积的最大值为，此时直线AB的方程为。方法2：①证明：点差法证明第三定义，略②底高，当时，最小最大，此时，直线AB的方程为。9.(2021●河南一模)已知椭圆(a>b>0)的左、右两个焦点F1，F2，离心率e=，短轴长为2.(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)如图，点A为椭圆上一动点(非长轴端点)，AF2的延长线与椭圆交于B点，AO