高考数学精准复习专项大招2极化恒等式含答案或解析

大招2极化恒等式大招总结结论:设是两个平面向量,则有恒等式,在三角形中,也可以用三角形的中线来表示,.极化恒等式的作用主要在于,它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量之和或之差,因此,当两个向量之和或之差为定值时,常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解.典型例题例1.(2012浙江15)在中,是的中点,,则解方法1:设,则.又,.故答案为.

方法2:由极化恒等式得.例2.如图,在中,是的中点,是上的两个三等分点,,则的值是解方法是的中点,是上的两个三等分点,,,又,

,故答案为.方法2:由极化恒等式得分别解出和的值,即可求解.例3.已知为圆的直径,为圆的弦上一动点,,则的取值范围是.解方法以所在的直线为轴,以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,且圆的直径为,设,则,;,又是圆的弦上一动点,且,所以,即,其中最小值在的中点时取得,所以的取值范围是.故答案为.方法2:直接使用极化恒等式得,例4.(2013•浙江)设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有,则()A.B.C.D.解方法1:设,则,过点作的垂线,垂足为,在上任取一点,设,则由数量积的几何意义可得,,

于是恒成立,整理得恒成立,只需即可,于是,因此我们得到,即是的中点,故是等腰三角形,所以.故选D.方法因为所以从而,过作交于,则考虑,所以,故,选例5.(2021•温州二模)如图,矩形中,,点分别为边上的动点,且,则的最小值是()A.13B.15C.17D.19解方法以为坐标轴建立平面直角坐标系,设,则令,则令,解得.当时,,当时,在上单调递减,在上单调递增,..故选B.方法2:如图为的中点,由极化恒等式,.显然,的轨迹是以点为圆心,1为半径的圆周在矩形内部的圆弧.所以例6.(2021•淮安二模)如图,在平面四边形中,为的中点,且,若,则的值是.解方法1:平面四边形中,为的中点,且若,则;方法2:如图,得,又例7.已知直线与抛物线交于两点,为的中点,为抛物线上一个动点,若满足,则下列一定成立的是()A.B.,其中是抛物线过的切线C.D.解方法1:,即求.其中是抛物线过的切线.故选.方法2:由得,由极化恒等式,,即,即抛物线上所有点到的距离最近的点为,故以为圆心,为半径的圆与抛物线内切,故选.例8.如图,已知正三角形内接于半径为2的圆为线段上一动点,延长交圆于点,则的取值范围是解方法1:取的中点,则.则.当点与点重合时,点和点重合,,即的取值为6.当点与点重合时,点和点重合,,即的取值为0,即的取值范围是,故答案为:.方法2:如图6,过点作,垂足为,则是中点连接有,由极化恒等式,因为点在劣弧上,有,所以.例9.(2021•衡阳三模)在三棱雉中,两两垂直且,点为三棱锥的外接球上任意一点,则的最大值为解方法1:如图所示:图1图2因为两两垂直且,所以三棱锥的外接球就是分别以为棱的正方体的外接球(如图1),外接球的球心为正方体的体对角线的中点,易知球的半径为.设线段的中点为而,当取得最大值时,有最大值.而当在同一个大圆上且,点与线段在球心的异侧时,最大(如图2),此时,.得:的最大值为.故答案为:方法2:由极化恒等式有如图,当在同一个大圆上且,点与线段在球心的异侧时,最大,此时线段长为,所以所以的最大值为例10.(2021•湖州二模)正方体的棱长为是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦最长时.的最大值为解方法1:设点是此正方体的内切球的球心,半径.当弦最长时,为球的直径,此时,而,当且仅当点为正方体的一个顶点时上式取得最大值,.故答案为2.方法2:由正方体的棱长为2,得内切球半径为1,正方体的体对角线为.当弦的长度最大时,为球的直径.设内切球的球心为,则.由于为正方体表面上的动点,故.所以.自我检测1.(2021•浙江二模)如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上(含原点)上滑动,则的最大值是.第1题图2.(2018•天津)如图,在平面四边形中,,,.若点为边上的动点,则的最小值为()A.B.C.D.3第2题图3.(2017•新课标II)已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是()A.B.C.D.4.(2021春•龙山区校级月考)已知圆为的内切圆,,过圆心的直线交圆于两点,则的取值范围是A.B.C.D.5.(2021•绍兴一模)已知点分别在直线上,为坐标原点,且.当取到最小值时,的值为()A.0B.2C.3D.66.(2021•日照一模)在锐角中,已知,则的取值范围是.7.(2021•绍兴二模)设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则最小值为.8.(2021秋•苏州期末)如图,在中,已知,点分别在边,上,且,点为中点,则的值为.9.(2021•浙江模拟)已知的斜边的长为4,设是以为圆心1为半径的圆上的任意一点,则的取值范围是()A.B.C.D.10.(2021•江苏模拟)已知为圆的直径,为圆的弦上一动点,,则.的取值范围是.11.(2021•闵行区校级模拟)已知点是棱长为1的正方体的底面上一点(包括边界),则的取值范围是.12.(2021•上城区校级模拟)已知点为单位圆上的动点,点为坐标原点,点在直线上,则的最小值为.13.在中,,当分别在平面直角坐标系的轴、轴上运动时,的最大值是.(2021-余杭区校级模拟)如图,是边长为4的正方形,动点在以为直径的圆弧上,则的取值范围是__________. 答案：方法1:以中点为坐标原点,所在直线为轴建立如图坐标系，则圆弧方程为因此设,,由此可得化简得∵∴当或时,;当时,.由此可得的取值范围是故答案为:方法2:取中点,由极化恒等式得:.15.已知过原点的直线交椭圆于两点,若点为抛物线上的一个动点,则的最小值为()A.1B.2C.2D.答案：方法1:如图,设,则,∴,∴..∵.∴当时,有最小值为.故选.方法2:根据极化恒等式,要求最小值,最小,最大,此时,16.(2021-衡中高三测试题)已知为椭圆的一条动弦,且经过原点,为直线上的一个动点,则的最小值为()A.B.C.5D.8答案：如图,连接,根据极化恒等式有这