【四川卷】四川省遂宁市射洪中学高2025届高三下学期3月二模考试（3.5-3.6）数学试卷含答案或解析

射洪中学高2025届高三二模考试数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将答题卡交回。第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1．若集合，，则（

）A． B． C． D．2．在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（

）A． B．2 C．3 D．43．已知复数，其中，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影向量坐标为（

）A． B． C． D．5．已知，，，则的最小值是（

）A． B． C． D．6．已知椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点作斜率为的直线，若直线与以为直径的圆相切，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．7．在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分）9．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（

）A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件C． D．10．声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（

）A． B．C． D．11．已知抛物线的焦点为F，过x轴下方一点作抛物线C的两条切线，切点为A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点，则下列结论中正确的是（

）A．当点P的坐标为时，则直线AB方程为B．若直线AB过点F，则四边形PMFN为矩形C．当时，D．时，面积的最大值为4第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共15分）12．某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，则至少选到1名女生的概率.13．在中，点分别在边上，，且，则.14．若函数（其中），方程在上有解，则的最小值为.四、解答题（共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、计算或证明过程）15．（13分）设函数．(1)若恒成立，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，当时，函数的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．▲16．（15分）已知地物线，直线．当时，与有且仅有一个交点．(1)求的方程；(2)若与交于两个不同的点，设的中点为，过点平行于轴的直线与交于点，求．▲17．（15分）在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，.(1)求证：平面；(2)求异面直线与的夹角的余弦值；(3)设点是三棱锥外接球上一点，求到平面距离的最大值.▲18．（17分）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品．(1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品．（ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率；（ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望；(2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值．▲19．（17分）对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数.(1)定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足.（Ⅰ）求证：是数列的生成函数；（Ⅱ）求数列的前n项和.已知是数列的生成函数，且.若数列的前n项和为，求证：（，）.▲

参考答案一、选择题题号1234567891011答案ABBBCCADBCABABD二、填空题：12、13、214、15．【详解】（1）函数的定义域为，不等式，令，依题意，恒成立，，当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，，则，所以实数a的取值范围是.（2）由函数，求导得，由，得，当时，，函数在上单调递减，，解得，无解；当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，，解得，符合题意，所以存在实数a，当时，函数的最小值是2，.16【详解】（1）当时，联立，得．因为与有且仅有一个交点，所以，解得．所以的方程为．（2）联立，得．因为与交于不同的两点，所以，即．设，，因为，所以．．，所以．【详解】（1）在中，因为，满，所以；因为平面平面，平面平面平，故平面；又因为平面，所以.因为是等腰直角三角形，，所以.又平面平面，所以平面.（2）如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，以垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系，取的中点，则，且，则点的坐标为.又，则，，，，，故异面直线与的夹角的余弦值为.（3）设三棱锥外接球的球心的坐标为，则由，可得，解得，即.球的半径，由（1）知，平面，则平面的一个法向量为，又因为，则球心到平面的距离为.故点到平面距离的最大值为.18．【详解】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件，则．（ii）根据题意可知的取值可能为、、、．则，，，．则的分布列为：所以．（2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为，则，其中，因为，所以在单调递增．注意