云南省昭通市第一中学等三校2024−2025学年高三下学期2月高考联考卷（六）数学试题含答案

/云南省昭通市第一中学等三校2024−2025学年高三下学期2月高考备考实用性联考卷（六）数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则中元素的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．若复数满足，则的虚部为（

）A． B．3 C．4 D．3．已知等比数列的公比为4，则（

）A．2 B．4 C．6 D．84．已知向量满足，，则（

）A．1 B． C． D．25．已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（

）A．60 B． C．448 D．6．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．函数，若在上有且只有个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知对于，都有，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．有一组样本数据：，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：，那么这两组样本数据一定有相同的（

）A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差10．如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（

）A．存在点，使得平面B．过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形C．三棱锥的体积不为定值D．三棱锥的外接球表面积为11．已知抛物线，为坐标原点，为抛物线的焦点，准线与轴的交点为点，过作不垂直于轴的直线交于、两点，设为轴上一动点，为的中点，且，则（

）A．当时，的斜率为B．C．D．当正三角形的三个顶点都在抛物线上时，则正三角形的周长为三、填空题（本大题共3小题）12．已知为圆内两点，过的直线与圆交于两点，若，则的面积为.13．设双曲线的离心率为，虚轴长为4，则双曲线上任意一点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为.14．已知直线与直线，点是与轴的交点.过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，依此方法一直继续下去，可得到一系列点，设坐标为，则；数列则集合中元素的个数为.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角的对边分别为边，若.(1)求角；(2)若，求的面积.16．如图所示，在四棱锥中，，底面为正方形，侧面底面，点是线段的中点.(1)求证：；(2)若，求所成二面角的正切值.17．2024年11月7日至11日昆明第二十一届国际汽车博览会在滇池会展中心举行，华为展厅拿出来20个问界M9汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：雅丹黑外观星河蓝外观赤茶橘内饰105月影灰内饰23(1)若小张从这些模型中随机拿出一个模型，记事件为小张取到雅丹黑外观的模型，事件为小张取到月影灰内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立；(2)华为公司现场举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下抽奖规则：①选到的两个模型会出现三种结果：即外观和内饰均同色，外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖金越高；③该抽奖活动的奖金为：一等奖760元，二等奖380元，三等奖190元.请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望.18．设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.

(1)求椭圆的方程；(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心，求点到直线的距离的最大值.19．定义函数的“原函数”如下：若存在函数，使，则称为函数的一个原函数.现已知是函数的一个原函数.(1)设，的定义域均为，证明：若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；(2)分别写出函数与的一个原函数与（不需证明）；(3)设且，若当时，，求实数的取值范围.

参考答案1．【答案】B【详解】由，当，，当，，当，，当，，当，，所以，所以中有3个元素，故选：B.2．【答案】A【详解】因为，所以的虚部为−3，故选：A.3．【答案】D【详解】由题意可知，即，所以数列是等差数列，且公差为2，所以，故选：D.4．【答案】C【详解】因为，，所以，，故选：C.5．【答案】A【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则，则展开式通项公式是，令，得，∴的系数为，故选：A.6．【答案】C【详解】由题意，，由，则函数为奇函数，即因，由于为单调递增函数，故为增函数，则，解得或，故选：C.7．【答案】B【详解】令，得，由于，所以.又因为在上有且只有个零点，所以，解得，因此，正实数的取值范围是.故选：B.8．【答案】D【详解】不等式可转化为因为，所以设，则，在上单调递增，又，所以又，所以对恒成立，即令，则由得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以则故选：D.9．【答案】AD【详解】由题意得，则新的平均数，A正确；举例：1，1，1，2，2，5满足平均数为2，中位数为，增加数据2后中位数变成了2，B错误；举例：1，2，2，2，2，3，其方差为，增加数据2后方差变为，C错误；根据平均数的概念知，当所有数据均相等时取等号，则数据增加一个数据2，极差不变，D正确，故选:AD.10．【答案】ABD【详解】当P为BD中点时，由中位线可得：，不在平面，在平面内，所以平面，A正确；由中位线易知，在正方体中，易证，所以，所以截面为梯形，B正确；因为，所以体积为定值，C错误；三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径，所以表面积D正确，故选：ABD.11．【答案】ABC【详解】对于A选项，易知，抛物线的焦点为，当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，因为，即，所以，，则，所以，，可得，，解得，所以，直线的斜率为，A对；

对于B选项，，，故点，且直线的方程为，即，在直线的方程中，令可得，即点，所以，，故，B对；对于C选项，，所以，直线平分，由角平分线定理可得，所以，，则，C对；对于D选项，设、，由为正三角形，则，所以，，即，即，因为，，可得，所以，且，所以，点与点关于轴对称，设点在第一象限，则直线的倾斜角为，由可得，所以，，即等边的边长为，故其周长为，D错.故选：ABC.12．【答案】4【详解】由垂径定理知O到直线AB的距离为，所以.故答案为：413．【答案】/【详解】由题意可得，即，又，即，得.设为双曲线C上任意一点，则，即.而双曲线C的渐近线为，所以点M到两条渐近线的距离之积为.故答案为：14．【答案】4864948【详解】由题意可得：，，则，，当时，易得，且，则，所以，而，故，所以，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，所以，所以，，，所以.，当时，递增，且，因此对于集合中的元素有：当时，可取共97种情况，当时，可取共98种情况，当时，可取共97种情况，当时，可取共96种情况，，当时，可取共2种情况，当时，可取共1种情况，综上，可取的情况共有.故答案为：486；4948.15．【答案】(1)或(2)【详解】（1）由得，则，由，得，则或所以或.（2）由，得，，在中，由及正弦定理，得，而，则，于是，又，则，解得，即，则，由，得，所以的面积.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图，取的中点，连接，连接，交于.在中，，，，平面平面，平面底面，平面，底面，平面，，在正方体中，，，又，，即，平面平面，平面.（2）过点作的平行线，交于，则，由（1）知底面，平面，，两两垂直，以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，因为平面平面，平面平面，平面平面，，则，，，则，，设平面的一个法向量为，则，令，，设平面的一个法向量为，则，令，，设所成二面角为，由图可知为锐角，，，，所成二面角的正切值为.17．【答案】(1)，事件和事件不独立(2)分布列见解析，数学期望为369元【详解】（1），，同时取到雅丹黑外观和月影灰内饰的模型有2个，即，.

因为，所以，即事件和事件不独立.（2）由题意知760，380，190，则外观和内饰均同色的概率外观和内饰都异色的概率仅外观或仅内饰同色的概率，因为，所以，，，则X的分布列为：（元）.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得整理得，解得，所以椭圆方程为.（2）（i）当直线斜率不存在时，设，则因为原点是的重心，所以，得到，，将，代入，解得，或，此时到直线的距离为.（ii）当斜率存在时，设所在直线方程为，由，消得，则，即，且，因为原点是的重心，所以，得到，故，又点在椭圆上，则，整理可得，所以点到直线的距离为.综上所述，得点到直线的距离的最大值为.19．【