上海市2025届高三下学期2月高考调研数学试卷含答案

/上海市2025届高三下学期2月高考调研数学试卷一、填空题（本大题共12小题）1．设，则不等式的解集为.2．若是首项为2，公差为3的等差数列，则.3．二项式的展开式中，项的系数为.4．已知一组数据为2.4，2.6，3.3，3.8，4.0，4.1，则这组数据的中位数为.5．在中，若，，，则的长为.6．实数满足，则的最大值为.7．双曲线()的焦点为、，且为该双曲线上一点，若，，则该双曲线的离心率为.8．为了增强法治观念，甲、乙两位老师在共所学校中各自选所学校开展普法讲座.在甲、乙一共选择了所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为.9．设，已知，若，则的取值范围为.10．在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则.11．如图所示，是一处观景台，、分别为观景区域的边界，未教星工程队计划修建与两条道路.已知与的距离为1km，且，为了便于工程队测量观景台的观景效果，现给出如下假设：假设1：观景台的观景范围为四边形；假设2：观景台、道路与均处于同一平面内，其中；假设3：，.当四边形的面积为最大值时，则.(结果精确至0.01)12．设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为.二、单选题（本大题共4小题）13．若集合满足，则可以是（

）A． B． C． D．14．在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（

）A．的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”B．的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”C．的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小D．的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大15．若复数在复平面中的对应点都在一个过原点的圆上，则的对应点均在（

）A．一条直线上 B．一个圆上C．一条抛物线上 D．一支双曲线上16．设定义域为的函数，函数的导函数是.

对于，函数在上存在极值点.

记.

则中的函数一定不具有的性质是（

）A．B．C．函数在上为严格增函数D．函数是偶函数三、解答题（本大题共5小题）17．如图所示，在四棱锥中，平面，//.(1)若平面，求证：平面平面；(2)若，若，，求平面与平面所成锐二面角的大小.18．已知，.(1)若函数的最小正周期为，求的值；(2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围.19．为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查：第次检查抽取号零件，测量其尺寸(单位：厘米).检查员共进行了100次检查，整理并计算得到如下数据：，，.(1)这批零件共有1000个.若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零件数量；(2)若变量与存在线性关系，记，求回归系数的值；(3)在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件中有对相邻序号的零件，求的数学期望.示例零件序号为“1、2、4、5”与“1、2、3、5”时均恰有2对相邻序号的零件.参考公式：（1）线性回归方程：，其中，.（2）期望的线性性质：，其中是若干随机变量.20．在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点.(1)若是的左焦点，且，求的值；(2)设，上存在轴上方一点.若，求的坐标；(3)设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围.21．设定义域为的函数，对于，定义.(1)设，求；(2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，.若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”.

参考答案1．【答案】【详解】由.所以不等式的解集为：.故答案为：2．【答案】11【详解】由题意：，所以.故答案为：113．【答案】【详解】试题分析：展开式的通项为，令，则，所以的系数为.考点：二项式定理.4．【答案】3.55【详解】显然这组数据共6个数，且已经按照从小到大的顺序排好，因此这组数据的中位数为第三个数和第四个数的平均数，即.故答案为：3.55.5．【答案】【详解】，所以,故答案为：6．【答案】【详解】因为实数满足，所以由基本不等式可得：（当且仅当时等号成立），所以.即的最大值为.故答案为：.7．【答案】/【详解】根据双曲线的定义可得：，所以.又，所以.所以双曲线的离心率为：.故答案为：8．【答案】/【详解】记事件：甲、乙一共选择了所不同的学校进行普法，事件：恰有一位老师选择学校开展普法讲座，因为，，所以，故答案为：.9．【答案】【详解】若，即时，，可得；若，即时，，可得，不符合前提；综上，的取值范围为.故答案为：10．【答案】【详解】设斜三棱柱的高为，，则，，，则.故答案为：.11．【答案】【详解】设，则，由题意知，则，如图，连接.在中，，则，；在中，同理可得，；故四边形的面积，.令，，即.由，则，令，则，即，解得，由，故不妨设，且，当，即时，，即，在单调递增；当，即时，，即，在单调递减；故，即当时取到最大值.由，可得，则.此时，故答案为：.12．【答案】【详解】设方程表示的区域为，用代换方程不变，可知区域关于y轴对称；用代换方程不变，可知区域关于x轴对称；当时，区域可化为，据此可得区域的图形如图阴影所示，取，可知区域为正方形及其内部，设，点均在区域内，因为，，即，，可知点在线段上，又因为，记为过点的线段的长度的最大值，若求，不妨假设点在正方形的边界上，若，即，可知的最大值为的最小值，取的中点分别为，可知区域关于直线对称，根据对称性只需假定点在线段上即可，此时，可知当点与点重合时，取到最小值，所以的最大值为.故答案为：.2.根据向量相关知识分析的最大值表示的意义.13．【答案】A【详解】由，则或.故选：A14．【答案】B【详解】因为，则的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”，A选项错误，B选项正确；的值的大小不能说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差，C，D选项错误.故选：B.15．【答案】A【详解】设，复数在复平面中的对应点都在一个过原点的圆上，设此圆方程为，不同时为0，将代入，得，，，故对应的点坐标为，将两边同时除以得，故对应的点在直线上.故选：A16．【答案】D【详解】A项，定义域为，且满足.存在极值点，则，且，且对，有；且；满足，故，故选项A有可能成立；B项，定义域为，且存在极值点，又，，且对，有；且；满足，故，可知选项B，C均有可能成立.假设选项D成立，即是偶函数，则是奇函数，所以.设，，则.从而对任意有，故，但这对不成立，所以选项D不可能成立.故选：D.17．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）由平面，平面，得，而，则，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，因此平面平面.（2）取中点为，连接，则，而，，则四边形是矩形，，，又平面，因此直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面法向量为，则，令，得，显然平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角的大小为，因此，所以平面与平面所成锐二面角的大小为.18．【答案】(1)(2)【详解】（1），因为且函数的最小正周期为，故.（2）当时，.若时，，当时，函数取得最大值，即.

而函数与存在相同的最大值，故当时，函数在内取得最大值，因此可得，

①当时，可得，则有，解得；

②当时，可得，则有，解得.当时，，此时，，当时，，此时，.综上所述，的取值范围为.19．【答案】(1)600个(2)(3)个【详解】（1）因为在这100个零件中，合格的零件为60个，故质量合格的零件所占样本比例为.而在这1000个零件中，质量合格的零件数为：(个).（2）由可得，，又因为，，因此可得：.代入数据可得：.（3）用表示抽查的结果，若第个零件与第个零件被选中，则记；若结果是其余情况，则记，.由线性期望的性质可得：(个).20．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为与的左焦点重合，故，因此.又因为，而，所以，解得：(负舍).（2）因为，又因为，而，代入解得.若在第一象限，则，故在第二象限.设，而，整理可得.代入椭圆方程，可得：.所以解得(增根舍去)，所以.因此.（3）由题意可知：直线的解析式为，设直线的解析式为()，且、.联立，可得，.根据韦达定理，，.

因为、两点均在直线的左侧，故.又因为，，因此，代入化简可得方程.

设，又因为，故.①若，此时直线与存在两个交点.

若存在，使得，而，故，可得，故，因此.

②若，而此时在的外部，，故.若存在，使得，而，故，可得，故.综上所述，的取值范围为.21．【答案】(1)；(2)存在，；(3)证明见解析.【详解】（1）由题设，将化简得，解得，故.（2）因为，代入定义得：，构造函数，故，令，当时，存在，；所以当、时，，进一步，列表可得：000↘极小值↗极大值↘极小值↗由此是函数的极大值点，故当时，是一段闭区间，因此，特别地，当时，，，，故仍是一段闭区间，故.当时，当且仅当时，.同理，是函数的极小值点，且取得最小值，当时，是一段闭区间，由此得，综上所述，存在满足条件的，且.（3）假设，若，则，因此矛盾，故，先证必