清远市田家炳实验中学高三第一次模拟考试数学（文）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精清远市田家炳中学2017届高三第一次高考模拟统一考试数学(文）试题第Ⅰ卷选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A=｛x｜｜x|＜1｝，N={x｜x2﹣x＜0｝，则A∩B=（）A． B． C．(0,1］ D．（0，1）2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=(）A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0,x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤04．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（)A．2 B．4 C．5 D．65．本学期王老师任教两个平行班高三A班、高三B班，两个班都是50个学生，如图图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比，根据图表，不正确的结论是（)A．A班的数学成绩平均水平好于B班B．B班的数学成绩没有A班稳定C．下次考试B班的数学平均分要高于A班D．在第1次考试中，A、B两个班的总平均分为986．抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的渐近线的距离是（）A．1 B． C．2 D．27．已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（）A．f（x）的图象关于（,1）中心对称B．f（x）在(,)上单调递减C．f（x）的图象关于x=对称D．f(x）的最大值为38．一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2，=3，=λ（λ∈R），则λ=（）A．2 B． C．3 D．59．对任意a∈R,曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0,1﹣2a）处的切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能10．如图所示的程序框图，输出的值为（）A． B． C． D．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．4π B．12π C．48π D．6π12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c,g（x）=3x2+2ax+b(a，b，c是常数），若f（x）在(0，1）上单调递减，则下列结论中:①f（0）•f（1)≤0;②g（0）•g（1)≥0;③a2﹣3b有最小值．正确结论的个数为（)A．0 B．1 C．2 D．3第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．设x，y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最小值为．14．已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点P（﹣1，4），则曲线y=f（x）在点P处的切线方程为．15．在直角坐标系xOy中，有一定点M(﹣1，2），若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py（p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是．16．若数列{an｝的首项a1=2，且；令bn=log3（an+1），则b1+b2+b3+…+b100=．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图所示，在四面体ABCD中,AD=1，CD=3，AC=2，cosB=．（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．18．2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元．为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如表数据统计表,已知网购金额在2000元以上（不含2000元)的频率为0。4．网购金额(元）频数频率(0，500]50。05(500，1000]xp（1000，1500］150.15（1500，2000］250。25（2000，2500]300.3（2500，3000]yq合计1001。00（1）先求出x，y,p，q的值，再将如图所示的频率分布直方图绘制完整；（2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？x网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20总计100参考数据:P（K2≥k）0。150。100。050.0250.0100.0050。001k2。0722.7063。8415。0246.6357.87910.828(参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图,已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°,E,F分别是BC，PC的中点．(1）证明:AE⊥平面PAD;(2)取AB=2，在线段PD上是否存在点H,使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为，若存在，请求出H点的位置，若不存在，请说明理由．20．已知O为坐标原点,抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P(2，t）到焦点的距离为，C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．（1)求线段OQ的长;（2）设不经过点P和Q的动直线l2:x=my+b交C交点A和B，交l1于点E，若直线PA，PB的斜率依次成等差数列，试问:l2是否过定点？请说明理由．21．已知f（x）=x2﹣ax+lnx,a∈R．(1）若a=0，求函数y=f（x）在点（1，f(1）)处的切线方程；(2)若函数f(x）在上是增函数,求实数a的取值范围；（3）令g（x）=x2﹣f（x），x∈（0，e]（e是自然对数的底数）；求当实数a等于多少时,可以使函数g(x）取得最小值为3．选做题（请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ,将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C1，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C1交于A,B两点．（1)求曲线C1的直角坐标方程,并说明它是什么曲线；(2）设定点P(0，），求+．23．已知函数f（x）=|x+1｜．（1）求不等式f（x）+1＜f(2x)的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f(a)﹣f(﹣b）．

答案:DCAACDBDACCB二、13、-514、8x+y+4=015、16、5050三、17、解：(1）因为AD=1，CD=3，AC=2，所以由余弦定理得，cosD===，因为D∈（0，π)所以sinD==又AD=1，CD=3，所以△ACD的面积S==…（2）∵AC=BC=2，∴∠BAC=B,则∠ACB=π﹣2B,由正弦定理得,，则，即，又cosB=，所以AB=AC•cosB=2×=4．…18．解:（1）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4，所以网购金额在相应的2×2列联表为：网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35540购物金额在2000元以下402060合计7525100由公式K2=≈5.56，…因为5.56＞5.024,所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关．…19．（1)证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形,∵E为BC的中点,∴AE⊥BC．又BC∥AD,因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD；(2）解：设线段PD上存在一点H,连接AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴当AH最短时，即当AH⊥PD时,∠EHA最大，此时，因此AH=．∴线段PD上存在点H，当DH=时，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为．20．解：（Ⅰ）由抛物线y2=nx（n＞0)在第一象限内的点P（2,t）到焦点的距离为，得2+=，∴n=2，抛物线C的方程为y2=2x,P（2，2)．…C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=，则y′=，故C在点P处的切线斜率为,切线的方程为y﹣2=（x﹣2）,令y=0得x=﹣2，所以点Q的坐标为（﹣2,0）．故线段OQ的长为2．…（Ⅱ）l2恒过定点（2，0）,理由如下：由题意可知l1的方程为x=﹣2，因为l2与l1相交，故m≠0．由l2:x=my+b,令x=﹣2，得y=﹣,故E（﹣2，﹣）设A（x1,y1）,B(x2，y2）由消去x得：y2﹣2my﹣2b=0则y1+y2=2m,y1y2=﹣2b…直线PA的斜率为,同理直线PB的斜率为,直线PE的斜率为．因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列,所以+=2×…整理得：=，因为l2不经过点Q，所以b≠﹣2，所以2m﹣b+2=2m，即b=2．故l2的方程为x=my+2，即l2恒过定点（2,0）．…21解：(1）a=0时，f（x)=x2+lnx，x＞0∴f′（x）=2x+，∴f′(1）=3，f（1）=1,∴数y=f（x）在点（1，f（1）)处的切线方程为3x﹣y﹣2=0,（2）函数f（x）在上是增函数，∴f′(x)=2x﹣a+≥0，在上恒成立，即a≤2x+,在上恒成立，令h（x）=2x+≥2=2，当且仅当x=时，取等号，∴a≤2,∴a的取值范围为（﹣∞,2]（3）g（x)=x2﹣f（x）=ax﹣lnx，x∈（0,e]．∴g′（x)=a﹣=(0＜x≤e),①当a≤0时，g（x）在（0,e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；②当a＞0且＜e时，即a＞，g（x）在（0,）上单调递减，在（，e］上单调递增，∴g（x）min=g（）=1+lna=3，解得a=e2，满足条件；③当a＞0，且≥e时，即0＜a≤，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）;综上,存在实数a=e2,使得当x∈（0，e］时,g（x）有最小值3．22、解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0即(x﹣1)2+y2=1．∴曲线C1的直角坐标方程为=1,∴曲线C表示焦点坐标为（﹣，0)，(，0）,长轴长为4的椭圆（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程=1中，得．设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，∴t1+t2=﹣,t1t2=，∴+=|=．23（1)解：不等式f（x）+1＜f（2x)即|x+1｜＜|2x+1|﹣1，∴①,或②，或③．解①求得x＜﹣1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1．故要