数二 基本知识点

数二——基本知识点DeranPan2017.8.11

目录第一章 极限 4一、 定理 4二、 重要极限 4三、 等价无穷小 4六、 积分和求极限 4四、 佩亚诺余项泰勒展开 4第二章 一元函数微分 5一、 函数微分 5二、 微分运算法则 5三、 基本微分公式 5四、 变限积分求导 5五、 N阶导数 5六、 参数方程导数 5七、 隐函数求导法则，幂指函数求导法则 5八、 反函数的一阶、二阶求导 5九、 单调、极值、凹凸、拐点 5十、 渐近线 5十一、 曲率 6十三、 泰勒定理 6十四、 极限与无穷小的关系 6十五、 附 6第三章 一元函数积分 7一、 定理 7二、 基本积分公式 7三、 基本积分方法 7四、 一个重要的反常积分 7五、 定积分的应用 7第四章 多元函数微分 8一、 如果limx→x0y→y0fx,y存在，则二、 求重极限方法 8三、 可微性讨论 8四、 复合函数微分 8五、 高阶偏导 8六、 隐函数求导 8七、 二元函数极值的充分条件 8八、 条件极值、拉格朗日乘数法 8九、 二重积分 8十、 柯西积分不等式 10第五章 常微分方程 11一、 一阶微分方程 11二、 可降阶的高阶微分方程 11三、 高阶常系数微分方程 11第一章 行列式 12一、 余子式&代数余子式 12二、 几个重要公式 12三、 抽象n阶方阵行列式公式 12第二章 矩阵 12一、 运算规则 12二、 特殊矩阵 12三、 可逆矩阵 12四、 秩 13第三章 向量 13一、 线性表出、线性相关、极大线性无关组 13二、 施密特正交化 13三、 正交矩阵 13第四章 线性方程组 14一、 克拉默法则 14二、 齐次线性方程组、基础解系 14三、 非齐次线性方程组、通解结构 14第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 14一、 特征值、特征向量 14二、 相似矩阵 14三、 实对称矩阵 15四、 矩阵、特征值、特征向量 15五、 判断A是否相似于对角 15第六章 二次型 15一、 二次型 15二、 标准型 15三、 规范型 15四、 化二次型为标准型，规范型 15五、 合同 16六、 惯性定理 16七、 实对称矩阵A、B合同的充要条件 16八、 正定 16九、 正定阵性质 16后记 17

极限定理夹逼定理，单调有界定理重要极限 1.limx→0 3.limn→∞ 5.等价无穷小当x→0时sinxtanx1-eIn1+arcsinarctanαx洛必达法则积分和求极限lim佩亚诺余项泰勒展开esincosIn1+x

一元函数微分函数微分d微分运算法则uuCu基本微分公式Cxαelogcossincottanseccscarcsinarccosarctanarccot变限积分求导φ1=N阶导数uu+参数方程导数yy隐函数求导法则，幂指函数求导法则反函数的一阶、二阶求导dxφ单调、极值、凹凸、拐点渐近线水平渐近线：lim铅直渐近线：lim斜渐近线：lim曲率k=R=定理费马定理（驻点）、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。泰勒定理f极限与无穷小的关系lim其中附麦克劳林公式：fxx泰勒公式：fn=0拉格朗日余项：n=0Rff拉格朗日中值定理n=1佩亚诺余项：n=1Rff∆增量与微分的关系式

一元函数积分定理定积分存在定理原函数存在定理积分中值定理a基本积分公式x1αesincostancotseccscseccsc1111基本积分方法凑微分法换元积分法含a2-含x2+a含x2-a部分积分法利用被积函数的奇偶性拆项积分一个重要的反常积分-∞定积分的应用平面图形的面积

A平面曲线的弧长

S=旋转体体积

V=π旋转曲面面积

S=2π

多元函数微分如果limx→x0y→y求重极限方法利用极限性质、四则运算、夹逼准则等消除分母中为零的因子，有理化、等价无穷小等转化为一元函数求极限利用无穷小乘以有节量仍为无穷小可微性讨论可微考察fx'x0考察

lim∆x→0∆y→0可微的必要条件：可微必可导，不可导一定不可微。可微的充分条件：有连续一阶偏导函数一定可微。复合函数微分一元与多元复合

d多元与多元复合

∂z全微分形式不变

d高阶偏导∂∂∂∂fxy''x,y与fyx隐函数求导利用公式一元：d二元：∂z∂方程组两端分别求导利用微分形式不变，方程两端求微分二元函数极值的充分条件若fx'x0设A=fxx''则：AC-B2>0，取的极值，A>0AC-AC-条件极值、拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数F解方程组∂F∂F∂F所有满足解的点是可能的极值点二重积分性质比较定理估值定理中值定理计算直角坐标系下的计算适合先y后x的积分域D适合先x后y的积分域D极坐标下的计算极点O在区域D之外D=极点O在区域D的边界上D=极点O在区域D的内部D=环形域D=利用对称性和奇偶性对称性若积分域关于x或y对称若积分关于直线x=y对称，则

f柯西积分不等式f(x)∙g

常微分方程一阶微分方程可分离变量方程齐次方程dydx=fydy线性方程y'y=可降阶的高阶微分方程反复积分，y不是含有y的二阶微分方程y''=fy则：y不是含有x的二阶微分方程y''=则：y高阶常系数微分方程齐次方程：+解特征值：τ有不相同的两个实根：y有一对相等的实根：y=有一对共轭复根α±iβy非齐次方程：y通解形式为y=若fx=eλxk为特征值λ的重数若fx=ek为特征值α±iβ

行列式余子式&代数余子式几个重要公式上（下）三角形行列式AA副对角线行列式AAA、B分别是m阶，n阶矩阵AO范德蒙行列式1抽象n阶方阵行列式公式AkAAAAA若A∼B，矩阵运算规则加法数乘乘法转置AkAABA伴随矩阵AAAkAAA方阵的幂AA特殊矩阵单位阵 数量阵 对角阵 上\下三角阵对称阵 发对称阵 正交阵 初等矩阵伴随矩阵可逆矩阵运算性质kAABAAA求逆矩阵公式法：A初等变换：A分块矩阵：BO秩rrrr若A可逆，r若A是m×n阵，B是n×s阵，AB=O分块矩阵：

r向量线性表出、线性相关、极大线性无关组施密特正交化βββτ1=β1τ1正交矩阵AA是正交矩阵⇔AT=A-1如A是正交矩阵，则行列式A

线性方程组克拉默法则齐次线性方程组、基础解系非齐次线性方程组、通解结构特征值、特征向量、相似矩阵特征值、特征向量若Aα=λα，则：

则称λ是A的特征值，α是A对应于λ的特征向量性质i=1i=1求法λE-λiE相似矩阵若P-1AP=N阶矩阵A可对角化

⇔特征向量α1λ1≠λ2是A的特征值

λ是A的ri重特征值，则该特征值得特征向量应小于等于性质：A~A，A~B若A~B两矩阵相似的必要条件A实对称矩阵元素aijA.实对称矩阵的特征值全部是实数

B.实对称矩阵属于不同特征值对应的特征向量相互正交

C.实对称矩阵必相似于对角阵，即存在P-1AP=Λ，且存在正交阵实对称矩阵相似于对角阵步骤λE-Aλi正交化λi将全部特征向量单位化即有Q矩阵、特征值、特征向量矩阵特征值特征向量AλαkAkλαAλαffαAλαAAαA1α判断A是否相似于对角A是否是实对称矩阵若A不是，看A是否有n个互不相同的特征值若A有r重根，看对应是否有r个线性无关的特征向量二次型二次型矩阵表示=其中AT=A是对称矩阵，为二次型若A、B是两个n阶对称阵，f=若A若A若r若A正定⇔f正定标准型若二次型fx1,xp+q=r≤n规范型在二次型的标准型中，若平方项的系数di只取1、-1、0化二次型为标准型，规范型对于任意一个n元二次型f=XTAX，必存在正交变换X=QY任意一个二次型f，都可以通过（配方法）可逆线性变换X=CY，其C可逆化为标准型：

合同设A、B两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得

C则称A合同于B，记A≃B惯性定理作可逆线性变换化标准型时，线性变化不唯一，标准型也不唯一。但是标准型中正平方项数p和负平方项数q都是由二次型唯一确定的。p：正惯性指数q：负惯性指数p+q：二次型的秩p-q：符号差实对称矩阵A、B合同的充要条件实对称阵A≃B

正定fx1,可逆线性变化不改变二次型的正定性f正定的充要条件：

f正定的必要条件：

正定阵性质任意秩为r的n阶实对称矩阵钧与对角矩阵合同，其中p由A唯一确定，Λ称为A的合同标准型。Λn阶矩阵A正定时与A有关的矩阵kA、A

后记离开学已近在咫尺，从辞职考研到现在也已经过去一年多的时间。回想这一年多时间虽然有遗憾和不满，但更多的